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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
\item Soient les évènements :
	\begin{itemize}
	\item $F$ : \og La personne interrogée est une femme \fg
	\item $H$ : \og La personne interrogée est un homme \fg
	\item $S$ : \og La personne interrogée est un soignant \fg
	\item $AT$ : \og La personne interrogée est un membre du personnel administratif ou technique \fg.
	\end{itemize}
	
L'énoncé se traduit par les probabilités suivantes :

$p(H) = 0,12$ ;

$p(S) = 0,71$ :

$p_{M}(H) = 0,67$ ;

$p_{S}(F) = 0,92$. 
	\begin{enumerate}
		\item $p(S) \neq 0$,~donc $p_{S}(F) = \dfrac{p(S \cap F)}{p(S)} \iff p(S \cap F) = 
p_{\text{S}}(F) \times p(S) = 0,71 \times 0,92 = 0,653\:2$.
		\item De même $p(M\cap \text{F}) = p_{M}(F) \times p(M) = 0,33 \times 0,12 = 0,039\:6$.
		\item Par définition $p_{AT}(F) = \dfrac{p(AT) \cap p(F)}{p(AT)}$.
		
On sait que $p(M) + p(\S) + p(AT) = 1 \iff p(AT) = 1 - p(M) - p(S) =$

$ 1 -  0,12 - 0,71 = 0,17$.
 
D'autre part les femmes sont 80\:\% et se répartissent en trois catégories : médecin, soignant, personnel administratif ou technique. Donc :

$p(F) = 0,80 = p(F \cap M) + p(F \cap S) + p(F \cap AT) \iff p(F \cap AT) = $

$ p(F) - p(F \cap M) - p(F \cap S) = 0,80 - \np{0,0396} - 0,653 = \np{0,1072}$.
	 \end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire uniformément répartie sur [0~;~1] égale à la durée en heure de la durée du transport.

On sait que si $x$ et $y$ sont tels que $0 \leqslant x \leqslant 1$, alors $p(x \leqslant X \leqslant y) = y - x$.

On a donc ici avec 15~min = $\dfrac{1}{4}$~h  et 20~min = $\dfrac{1}{3}$~h,

\[p\left(\dfrac{1}{4} \leqslant X \leqslant  \dfrac{1}{3}\right) =  \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} =  \dfrac{1}{12} \approx \np{0,0883}~\text{à}~10^{-4}~\text{près}\]

\item On a ici un schéma de Bernoulli, avec $n = 40$ et $p = 0,25 = p(\text{M})$.

On a $p_{10/40} = \binom{40}{10}0,12^{10} \times (1 - 0,12)^{40 - 10} \approx \np{0,0113}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
$(z-2\text{i})\left(z^2 - 2z +  2\right) = 0 \iff z-2\text{i}=0 \text{ ou } z^2 - 2z +  2=0$.

On résout les deux équations séparément. On trouve 3 solutions (il faut détailler les calculs  : $z^2 - 2z +  2=0 \iff (z - 1)^2 + 1 = 0 \iff (z - 1)^2 - \text{i}^2 = 0 \iff z - 1 + \text{i} = 0~\text{ou}~z - 1 - \text{i} = 0 \iff \ldots$).

\medskip
 
$z_0=2\text{i}=2\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{2}}$
 
$z_1=1-\text{i}=\sqrt{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$  
 
$z_2=1+\text{i}=\sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$  
\item \emph{Dans ce type d'exercice, on retrouve toujours les solutions de la première question dans la suite de l'énoncé.}

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + 
\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$

À tout complexe $z$ différent de ${\text{A}}$ on associe le complexe 

\[z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item 
\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item $z'_B = \frac{2\text{i} - 2\text{i}}{2\text{i} - 1 - \text{i}}=0$. $0=0\text{i}$ est bien un imaginaire pur, donc   B $\in (E)$.
\item Détermination de $(E)$.
 
On peut remplacer $z$ par $x + \text{i}y$ et obtenir l'équation de $(E)$. Une méthode géométrique est plus rapide:
 
$\begin{array}[t]{rcl}
z'  \:\text{imaginaire pur} & \iff & \text{arg} (z')= \frac{\pi}{2} (\pi)\\
 & \iff &  \text{arg} ( \frac{z - z_{\text{B}}}{z - z_{\text{A}}})= \frac{\pi}{2}  (\pi) \\
 & \iff & \left( \vect{\text{A}M};\vect{\text{B}M}  \right) = \frac{\pi}{2} (\pi) \\
 & \iff & \text{A}M\text{B}~ \text{est un triangle rectangle en }~ B
 \end{array}$
 
L'ensemble $(E)$ est donc le cercle de diamètre [AB] privé du point A (en effet, $z'_{\text{A}}$ n'est pas défini).
 
{\emph Remarque: quand on écrit $\alpha = \frac{\pi}{2} (\pi)$, cela signifie que l'angle mesure $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ (à $2k\pi$ près), bref, que c'est un angle droit.\\
 Plusieurs notations coexistent, on peut aussi écrire $\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item
$\begin{array}[t]{rcl}
\left|z'\right|  = 1  & \iff & \left| \frac{z - z_{\text{B}}}{z - Z_{\text{A}}} \right| = 1 \\
& \iff & |z-z_{\text{B}}| = |z-z_{\text{A}}| \\
& \iff &  \text{B}M = M\text{A} \\
\end{array}$.

L'ensemble $F$ est la médiatrice du segment [AB].
	\end{enumerate}
\item Soit $R$ la rotation de centre 
$\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$  et d'angle 
$\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Écriture complexe de la rotation :
		 
$z'-z_{\Omega} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z-z_\Omega)$
 
$z_{B'}=\text{i}\left(2\text{i}-\frac{3}{2}-\text{i}\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{2}+\text{i}\frac{5}{2}
 =\ldots=2+\text{i}$.
 
Par un calcul similaire, on obtient $z_{I'}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\text{i}$
 		\item Pour cette question, il faut remarquer que I est le milieu de [AB].

Ainsi, $(E)$ est le cercle de centre I et de rayon IB. Son image par la rotation $R$ est le cercle de centre $I'$ et de rayon $I'B'$.

On remarque aussi que $\Omega$ est un point de la médiatrice de [AB]. $(F)$ est la droite $(\Omega I)$. 

L'image de $\Omega$ par $R$ est $\Omega$ (le centre d'une rotation est un point fixe), donc l'image de $(F)$ est la droite $(\Omega I')$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,9)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(8,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2,-1)(8,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\rput{45}(1,1){$\times$}  \rput{45}(2,1){$\times$}  \rput{45}(2,2){$\times$}  \rput{45}(1,2){$\times$}  \rput{45}(0,4){$\times$}  \rput{45}(4,2){$\times$}  \rput{45}(0,4){$\times$}  \rput{45}(-1,6){$\times$}  \rput{45}(6,3){$\times$}  \rput{45}(4,8){$\times$}
\uput[dl](1,1){I} \uput[r](2,1){A}  \uput[r](2,2){P}  \uput[l](1,2){B} 
\uput[r](4,2){M}  \uput[r](6,3){C}  \uput[r](3,5){J}  \uput[ur](0,4){N} 
\uput[u](4,8){Q}  \uput[l](-1,6){D} \uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(1,1)(4,2)(3,5)(0,4)
\pspolygon(1,1)(6,3)(4,8)(-1,6) 
\psline(0,4)(4,2) \pspolygon(1,1)(3,5)(4,8)
\psline(1,1)(2,2)(3,5)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Figure

\item La similitude $f$.

Comme A $\neq$ C et B $\neq$ D, il existe une unique similitude directe $f$ telle que 

$f$(A) = B et $f$(C) = D.

On sait que l'écriture d'une telle similitude est $z' = az + b$, avec $a \in \Z$ et $b \in \Z$, $z'$ étant l'affixe du point $M'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par $f.$

On a $\left\{\begin{array}{l c l}
z_{\text{B}}&=&az_{\text{A}} + b\\
z_{\text{D}}&=&az_{\text{C}} + b\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 + 2\text{i} &= &a(2 + \text{i}) + b\\
- 1 + 6\text{i}&=&a(6 + 3\text{i}) + b\\
\end{array}\right.$

Par différence on obtient $- 2 + 4\text{i} = a(4 + 2\text{i}) \iff - 1 + 2\text{i} = a(2 + \text{i}) \iff\\ a = \dfrac{- 1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}} = \dfrac{\text{i}(\text{i} + 2)}{2 + \text{i}} = \text{i}$.

En substituant dans l'une des équations du système initial : $b = 1 + 2\text{i} - \text{i}(2 + \text{i}) = 1 + 1 = 2.$

Conclusion : l'écriture complexe de $f$ est donc $z' = \text{i} z + 2.$

On a $|a| = |\text{i}| = 1$ et arg $a = \text{arg~} \text{i} = \dfrac{\pi}{2}$.

Donc la similitude a pour rapport 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ : c'est une rotation et plus précisément un quart de tour direct.

Son centre vérifie $c = \text{i}c + 2 \iff c(1 - \text{i}) = 2 \iff c = \dfrac{2}{1 - \text{i}} = \dfrac{2(1 + \text{i}}{1 + 1} = 1 + \text{i}$.

Le centre de la rotation est le point I(1~;~1).
\item La rotation R est définie par $z' - (3 + 5\text{i}) = - \text{i}[z - (3 + 5\text{i})] \iff z' = - \text{i}z - 2 + 8\text{i}.$

On a donc $z_{\text{R(A)}} = -\text{i}(2 + \text{i}) - 2 + 8\text{i} = - 1 + 6\text{i} = z_{\text{D}}$ ;

De même $z_{\text{R(C)}} = -\text{i}(6 + 3\text{i}) - 2 + 8\text{i} = 1 + 2\text{i} = z_{z_{\text{B}}}$.

Conclusion : les images respectives de A et C par R sont D et B.
\item Dans la rotation $f$ [AC] a pour image [BD] et son milieu M a pour image le milieu de [BD] soit N.

De même, dans la rotation R [AC] a pour image [DB], donc son milieu M a pour image le milieu de [DB] soit N.
Les triangles IMN et JMN sont donc des triangles rectangles isocèles de même hypoténuse [MN]. Donc IMJN a ses quatre côtés de même longueur : c'est donc un losange, qui a un angle droit : c'est  un carré (de sens direct).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Affixe de P : l'égalité $\vect{\text{IA}} = \vect{\text{BP}} \Rightarrow 1 = z_{\text{P}} - 1 - 2\text{i} \iff z_{\text{P}}  = 2 + 2\text{i}.$
		
Affixe de Q : de même  $\vect{\text{DQ}} = \vect{\text{IC}} \Rightarrow
 = z_{\text{Q}} - (-1 + 6\text{i}) = 5 + 2\text{i} \iff  $
 
 $z_{\text{Q}} = -1 + 6\text{i} + 5 + 2\text{i} = 4 + 8\text{i}$.
 		\item IAP est un triangle rectangle (en A) isocèle : on a donc IP $ = \text{IA}\sqrt{2} \iff \dfrac{\text{IP}}{\text{IA}} = \sqrt{2}$ et $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{IP}} \right) = \dfrac{\pi}{4}.$
		
De la même façon on démontre que $\dfrac{\text{IQ}}{\text{IC}} = \sqrt{2}$ et $\left(\vect{\text{IC}},~\vect{\text{IQ}} \right) = \dfrac{\pi}{4}.$

On a donc de façon classique : la similitude $g$ de centre I, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ transforme A en P et C en Q : les points étant distincts, elle est unique.
		\item On a vu que IMJN est un carré direct : on a donc IJ $= \text{IM}\sqrt{2}$ et 
		
$\left(\vect{\text{IM}},~\vect{\text{IJ}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$. Donc J est l'image de M dans la similitude $g$.
		
Par $g$ l'image de [AC] est le segment [PQ], donc l'image du milieu M de [AC] est le milieu de [PQ] soit J.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Récurrence sur $n$ :
		
		\begin{itemize}
			\item Initialisation : Pour $n = k,~\dfrac{k^k}{k!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$ ;
			\item Hérédité : supposons qu'il existe $n \geqslant k$, tel que $\dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$. On a 
			
$0 \leqslant k \leqslant n < n + 1$, d'où par quotient par $n+1,~\dfrac{k}{n+1} \leqslant 1$ ;
			
			Donc par produit : $\dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!} ~\text{et}~\dfrac{k}{n+1} \leqslant 1 \Rightarrow \dfrac{k^n}{n!} \times \dfrac{k}{n+1} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}\times 1 \iff \dfrac{k^{n+1}}{(n+1)!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$ : l'inégalité est vraie au rang $n+1$.
			
			On a montré par récurrence que  : pour tout entier $n \geqslant k,~~\dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$.
\end{itemize}
		\item On a $\dfrac{x^n}{n!} = \dfrac{x^n}{k^n} \times \dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{x^n}{k^n} \times \dfrac{k^k}{k!}$ soit $\dfrac{x^n}{n!} \leqslant \left(\dfrac{x}{k} \right)^n \times \dfrac{k^k}{k!}$.
		\item On sait que $x < k$,~donc $\dfrac{x}{k} < 1$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{x}{k} \right)^n = 0$ et ensuite d'après l'inégalité précédente $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x^n}{n!} = 0$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\dfrac{n^{n-1}}{n!} = \dfrac{n}{2}\times \dfrac{n}{3} \times \ldots \times \dfrac{n}{n}$. Chacun des facteurs du produit est supérieur ou égal à $1$, donc $\dfrac{n^{n-1}}{n!} \geqslant 1$.
		\item $\dfrac{n^n}{n!} = \dfrac{n^{n-1}}{n!} \times n \geqslant n$, d'après la question précédente ; $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}n = + \infty$, donc 
		\[\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^n}{n!} = + \infty.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\[f(x) = x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1}\]

\begin{enumerate}
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty =  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x + 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{\text{e}^x+1} = 0.$

Conclusion $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

De même $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)  = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$.
\item $f(x) + f(-x) = x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1}- x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^{-x}+1} = 2\ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1} + \dfrac{2\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = 2\ln 4 + \dfrac{2\left(1 + \text{e}^x\right)}{1 + \text{e}^x} = 2\ln 4 + 2$ (après multiplication par $\text{e}^x$ du second quotient).

On a donc : quel que soit $x \in \R,~f(x) + f(-x) = 2(\ln 4 + 1)$.

On en déduit que le point A de coordonnées $(0~;~\ln 4 + 1)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}$.
\item La fonction $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables, la fonction $x \longmapsto \text{e}^x + 1$ ne s'annulant pas sur $\R$.

On a $f'(x) = 1 - \dfrac{2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1  \right) ^2} =  \dfrac{\left(\text{e}^x + 1  \right) ^2 - 2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1  \right) ^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + 1}{\left(\text{e}^x + 1  \right) ^2}$.

Ce quotient est supérieur à zéro car quotient de termes positifs le numérateur étant supérieur ou égal à $1$.

Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur $\R$.

\begin{center}
\textbf{Tableau de variations}

\medskip

\begin{pspicture}(6,4)
\psframe(6,4)
\psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,3)(6,3)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](5.6,3){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2){$f'(x)$} \uput[u](4,2){$+$} 
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.3,0.1){$- \infty$} \uput[d](5.6,2){$+ \infty$} 
\psline{->}(2.7,0.4)(5.3,1.7)
\end{pspicture}
 \end{center}
 \item
	 \begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est continue comme somme de fonctions continues et croissante sur $\R$, les images appartenant à $\R$ (cf. le tableau de variations). Donc tout réel $m$ a un antécédent par $f$.
		
Quel que soit $m \in \R,~f(x) = m$ a une solution unique dans $\R$.
		\item Solution de $f(x) = 3$.
		La calculatrice donne :
		
$f(1,1) \approx 2,986,~f(1,2) \approx 3,049$.

Si $f(a) = 3$, de $f(1,2) < f(a) < f(1,3)$ on déduit par croissance de la fonction $f$, que :
		
\[1,1 < a < 1,2\]
		
		\item D'après la question 2 on sait que $f(a) + f(-a) = 2(\ln (4) + 1) \iff $
		
		$f(-a) = 2(\ln (4) + 1) - f(a) = 2(\ln (4) + 1) - 3 = 2\ln (4) - 1$.

Conclusion $(-a)$ est solution de l'équation $f(x) = 2\ln (4) - 1$.		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On peut écrire $f(x) = x + 2 + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1} - 2 =  x + 2 + \ln 4 +\dfrac{2 - 2\text{e}^x - 2}{\text{e}^x+1} = x + 2 + \ln 4 -\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1}$.
		\item D'après la question 1 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (x  + \ln 4) = 0_{+}$.
		
Il en résulte que la droite d'équation $y = x  + \ln 4$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini, la courbe étant au dessus de son asymptote.
		
De même d'après la question  a. précédente $f(x) - (x + 2 + \ln 4) = - \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1} = 0_{-}$, ce qui signifie que la droite d'équation $y = x + 2 + \ln 4$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de moins l'infini en étant au dessus de la courbe $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On vient de voir que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de la droite d'équation $y = x + 4$, donc $f(x) - (x + 4) > 0$. Le nombre $\alpha $ étant positif, l'intégrale est égale à l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$.
		\item D'après 5. a. on peut écrire
		 
$I(\alpha) = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} [f(x) - (x + \ln 4]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} [x + 2 + \ln 4 - 2 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} - x  - \ln 4]\:\text{d}x$ 

$= \displaystyle\int_{0}^{\alpha} \left[2 - 2\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\right]\:\text{d}x = \left[ 2x - 2 \ln \left( \text{e}^x + 1\right)\right]_{0}^{\alpha}= 2\alpha + 2\ln 2 - 2\ln \left(\text{e}^{\alpha} + 1\right) =$
		
$2\ln \text{e}^{\alpha} + 2 \ln 2 - 2\ln \left(\text{e}^{\alpha} + 1\right) = 2\ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1}  \right)$.
		 \item Cherchons $\alpha$ tel que $I(\alpha) = 1 \iff 2\ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1}  \right) =
		  1 \iff \ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1}  \right) =
\dfrac{1}{2} \iff \dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} =\text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}} \iff 2\text{e}^{\alpha} =\sqrt{\text{e}}\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right) \iff \text{e}^{\alpha}\left(2 - \sqrt{\text{e}}\right) = \sqrt{\text{e}} $

$\iff \text{e}^{\alpha} =\dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2 - \sqrt{\text{e}}} \iff \alpha =\ln \left( \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2 - \sqrt{\text{e}}} \right) \approx 1,54$.

Pour $\alpha \approx 1,5,~I(\alpha) \approx 1$.

En fait $I(1,5) \approx 0,983,~I(1,54) \approx 0,998,~I(1,546\:1) \approx \np{0,99997}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}