\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Corrigé Liban juin 204}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban juin 2004~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \begin{enumerate} \item Soient les évènements : \begin{itemize} \item $F$ : \og La personne interrogée est une femme \fg \item $H$ : \og La personne interrogée est un homme \fg \item $S$ : \og La personne interrogée est un soignant \fg \item $AT$ : \og La personne interrogée est un membre du personnel administratif ou technique \fg. \end{itemize} L'énoncé se traduit par les probabilités suivantes : $p(H) = 0,12$ ; $p(S) = 0,71$ : $p_{M}(H) = 0,67$ ; $p_{S}(F) = 0,92$. \begin{enumerate} \item $p(S) \neq 0$,~donc $p_{S}(F) = \dfrac{p(S \cap F)}{p(S)} \iff p(S \cap F) = p_{\text{S}}(F) \times p(S) = 0,71 \times 0,92 = 0,653\:2$. \item De même $p(M\cap \text{F}) = p_{M}(F) \times p(M) = 0,33 \times 0,12 = 0,039\:6$. \item Par définition $p_{AT}(F) = \dfrac{p(AT) \cap p(F)}{p(AT)}$. On sait que $p(M) + p(\S) + p(AT) = 1 \iff p(AT) = 1 - p(M) - p(S) =$ $ 1 - 0,12 - 0,71 = 0,17$. D'autre part les femmes sont 80\:\% et se répartissent en trois catégories : médecin, soignant, personnel administratif ou technique. Donc : $p(F) = 0,80 = p(F \cap M) + p(F \cap S) + p(F \cap AT) \iff p(F \cap AT) = $ $ p(F) - p(F \cap M) - p(F \cap S) = 0,80 - \np{0,0396} - 0,653 = \np{0,1072}$. \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire uniformément répartie sur [0~;~1] égale à la durée en heure de la durée du transport. On sait que si $x$ et $y$ sont tels que $0 \leqslant x \leqslant 1$, alors $p(x \leqslant X \leqslant y) = y - x$. On a donc ici avec 15~min = $\dfrac{1}{4}$~h et 20~min = $\dfrac{1}{3}$~h, \[p\left(\dfrac{1}{4} \leqslant X \leqslant \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \approx \np{0,0883}~\text{à}~10^{-4}~\text{près}\] \item On a ici un schéma de Bernoulli, avec $n = 40$ et $p = 0,25 = p(\text{M})$. On a $p_{10/40} = \binom{40}{10}0,12^{10} \times (1 - 0,12)^{40 - 10} \approx \np{0,0113}$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item $(z-2\text{i})\left(z^2 - 2z + 2\right) = 0 \iff z-2\text{i}=0 \text{ ou } z^2 - 2z + 2=0$. On résout les deux équations séparément. On trouve 3 solutions (il faut détailler les calculs : $z^2 - 2z + 2=0 \iff (z - 1)^2 + 1 = 0 \iff (z - 1)^2 - \text{i}^2 = 0 \iff z - 1 + \text{i} = 0~\text{ou}~z - 1 - \text{i} = 0 \iff \ldots$). \medskip $z_0=2\text{i}=2\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{2}}$ $z_1=1-\text{i}=\sqrt{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$ $z_2=1+\text{i}=\sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ \item \emph{Dans ce type d'exercice, on retrouve toujours les solutions de la première question dans la suite de l'énoncé.} Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$ À tout complexe $z$ différent de ${\text{A}}$ on associe le complexe \[z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $z'_B = \frac{2\text{i} - 2\text{i}}{2\text{i} - 1 - \text{i}}=0$. $0=0\text{i}$ est bien un imaginaire pur, donc B $\in (E)$. \item Détermination de $(E)$. On peut remplacer $z$ par $x + \text{i}y$ et obtenir l'équation de $(E)$. Une méthode géométrique est plus rapide: $\begin{array}[t]{rcl} z' \:\text{imaginaire pur} & \iff & \text{arg} (z')= \frac{\pi}{2} (\pi)\\ & \iff & \text{arg} ( \frac{z - z_{\text{B}}}{z - z_{\text{A}}})= \frac{\pi}{2} (\pi) \\ & \iff & \left( \vect{\text{A}M};\vect{\text{B}M} \right) = \frac{\pi}{2} (\pi) \\ & \iff & \text{A}M\text{B}~ \text{est un triangle rectangle en }~ B \end{array}$ L'ensemble $(E)$ est donc le cercle de diamètre [AB] privé du point A (en effet, $z'_{\text{A}}$ n'est pas défini). {\emph Remarque: quand on écrit $\alpha = \frac{\pi}{2} (\pi)$, cela signifie que l'angle mesure $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ (à $2k\pi$ près), bref, que c'est un angle droit.\\ Plusieurs notations coexistent, on peut aussi écrire $\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.} \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item $\begin{array}[t]{rcl} \left|z'\right| = 1 & \iff & \left| \frac{z - z_{\text{B}}}{z - Z_{\text{A}}} \right| = 1 \\ & \iff & |z-z_{\text{B}}| = |z-z_{\text{A}}| \\ & \iff & \text{B}M = M\text{A} \\ \end{array}$. L'ensemble $F$ est la médiatrice du segment [AB]. \end{enumerate} \item Soit $R$ la rotation de centre $\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Écriture complexe de la rotation : $z'-z_{\Omega} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z-z_\Omega)$ $z_{B'}=\text{i}\left(2\text{i}-\frac{3}{2}-\text{i}\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{2}+\text{i}\frac{5}{2} =\ldots=2+\text{i}$. Par un calcul similaire, on obtient $z_{I'}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\text{i}$ \item Pour cette question, il faut remarquer que I est le milieu de [AB]. Ainsi, $(E)$ est le cercle de centre I et de rayon IB. Son image par la rotation $R$ est le cercle de centre $I'$ et de rayon $I'B'$. On remarque aussi que $\Omega$ est un point de la médiatrice de [AB]. $(F)$ est la droite $(\Omega I)$. L'image de $\Omega$ par $R$ est $\Omega$ (le centre d'une rotation est un point fixe), donc l'image de $(F)$ est la droite $(\Omega I')$ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(8,9) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(8,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2,-1)(8,9) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \rput{45}(1,1){$\times$} \rput{45}(2,1){$\times$} \rput{45}(2,2){$\times$} \rput{45}(1,2){$\times$} \rput{45}(0,4){$\times$} \rput{45}(4,2){$\times$} \rput{45}(0,4){$\times$} \rput{45}(-1,6){$\times$} \rput{45}(6,3){$\times$} \rput{45}(4,8){$\times$} \uput[dl](1,1){I} \uput[r](2,1){A} \uput[r](2,2){P} \uput[l](1,2){B} \uput[r](4,2){M} \uput[r](6,3){C} \uput[r](3,5){J} \uput[ur](0,4){N} \uput[u](4,8){Q} \uput[l](-1,6){D} \uput[dl](0,0){O} \pspolygon(1,1)(4,2)(3,5)(0,4) \pspolygon(1,1)(6,3)(4,8)(-1,6) \psline(0,4)(4,2) \pspolygon(1,1)(3,5)(4,8) \psline(1,1)(2,2)(3,5) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Figure \item La similitude $f$. Comme A $\neq$ C et B $\neq$ D, il existe une unique similitude directe $f$ telle que $f$(A) = B et $f$(C) = D. On sait que l'écriture d'une telle similitude est $z' = az + b$, avec $a \in \Z$ et $b \in \Z$, $z'$ étant l'affixe du point $M'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par $f.$ On a $\left\{\begin{array}{l c l} z_{\text{B}}&=&az_{\text{A}} + b\\ z_{\text{D}}&=&az_{\text{C}} + b\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1 + 2\text{i} &= &a(2 + \text{i}) + b\\ - 1 + 6\text{i}&=&a(6 + 3\text{i}) + b\\ \end{array}\right.$ Par différence on obtient $- 2 + 4\text{i} = a(4 + 2\text{i}) \iff - 1 + 2\text{i} = a(2 + \text{i}) \iff\\ a = \dfrac{- 1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}} = \dfrac{\text{i}(\text{i} + 2)}{2 + \text{i}} = \text{i}$. En substituant dans l'une des équations du système initial : $b = 1 + 2\text{i} - \text{i}(2 + \text{i}) = 1 + 1 = 2.$ Conclusion : l'écriture complexe de $f$ est donc $z' = \text{i} z + 2.$ On a $|a| = |\text{i}| = 1$ et arg $a = \text{arg~} \text{i} = \dfrac{\pi}{2}$. Donc la similitude a pour rapport 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ : c'est une rotation et plus précisément un quart de tour direct. Son centre vérifie $c = \text{i}c + 2 \iff c(1 - \text{i}) = 2 \iff c = \dfrac{2}{1 - \text{i}} = \dfrac{2(1 + \text{i}}{1 + 1} = 1 + \text{i}$. Le centre de la rotation est le point I(1~;~1). \item La rotation R est définie par $z' - (3 + 5\text{i}) = - \text{i}[z - (3 + 5\text{i})] \iff z' = - \text{i}z - 2 + 8\text{i}.$ On a donc $z_{\text{R(A)}} = -\text{i}(2 + \text{i}) - 2 + 8\text{i} = - 1 + 6\text{i} = z_{\text{D}}$ ; De même $z_{\text{R(C)}} = -\text{i}(6 + 3\text{i}) - 2 + 8\text{i} = 1 + 2\text{i} = z_{z_{\text{B}}}$. Conclusion : les images respectives de A et C par R sont D et B. \item Dans la rotation $f$ [AC] a pour image [BD] et son milieu M a pour image le milieu de [BD] soit N. De même, dans la rotation R [AC] a pour image [DB], donc son milieu M a pour image le milieu de [DB] soit N. Les triangles IMN et JMN sont donc des triangles rectangles isocèles de même hypoténuse [MN]. Donc IMJN a ses quatre côtés de même longueur : c'est donc un losange, qui a un angle droit : c'est un carré (de sens direct). \item \begin{enumerate} \item Affixe de P : l'égalité $\vect{\text{IA}} = \vect{\text{BP}} \Rightarrow 1 = z_{\text{P}} - 1 - 2\text{i} \iff z_{\text{P}} = 2 + 2\text{i}.$ Affixe de Q : de même $\vect{\text{DQ}} = \vect{\text{IC}} \Rightarrow = z_{\text{Q}} - (-1 + 6\text{i}) = 5 + 2\text{i} \iff $ $z_{\text{Q}} = -1 + 6\text{i} + 5 + 2\text{i} = 4 + 8\text{i}$. \item IAP est un triangle rectangle (en A) isocèle : on a donc IP $ = \text{IA}\sqrt{2} \iff \dfrac{\text{IP}}{\text{IA}} = \sqrt{2}$ et $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{IP}} \right) = \dfrac{\pi}{4}.$ De la même façon on démontre que $\dfrac{\text{IQ}}{\text{IC}} = \sqrt{2}$ et $\left(\vect{\text{IC}},~\vect{\text{IQ}} \right) = \dfrac{\pi}{4}.$ On a donc de façon classique : la similitude $g$ de centre I, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ transforme A en P et C en Q : les points étant distincts, elle est unique. \item On a vu que IMJN est un carré direct : on a donc IJ $= \text{IM}\sqrt{2}$ et $\left(\vect{\text{IM}},~\vect{\text{IJ}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$. Donc J est l'image de M dans la similitude $g$. Par $g$ l'image de [AC] est le segment [PQ], donc l'image du milieu M de [AC] est le milieu de [PQ] soit J. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Récurrence sur $n$ : \begin{itemize} \item Initialisation : Pour $n = k,~\dfrac{k^k}{k!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$ ; \item Hérédité : supposons qu'il existe $n \geqslant k$, tel que $\dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$. On a $0 \leqslant k \leqslant n < n + 1$, d'où par quotient par $n+1,~\dfrac{k}{n+1} \leqslant 1$ ; Donc par produit : $\dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!} ~\text{et}~\dfrac{k}{n+1} \leqslant 1 \Rightarrow \dfrac{k^n}{n!} \times \dfrac{k}{n+1} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}\times 1 \iff \dfrac{k^{n+1}}{(n+1)!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$ : l'inégalité est vraie au rang $n+1$. On a montré par récurrence que : pour tout entier $n \geqslant k,~~\dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}$. \end{itemize} \item On a $\dfrac{x^n}{n!} = \dfrac{x^n}{k^n} \times \dfrac{k^n}{n!} \leqslant \dfrac{x^n}{k^n} \times \dfrac{k^k}{k!}$ soit $\dfrac{x^n}{n!} \leqslant \left(\dfrac{x}{k} \right)^n \times \dfrac{k^k}{k!}$. \item On sait que $x < k$,~donc $\dfrac{x}{k} < 1$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{x}{k} \right)^n = 0$ et ensuite d'après l'inégalité précédente $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x^n}{n!} = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On a $\dfrac{n^{n-1}}{n!} = \dfrac{n}{2}\times \dfrac{n}{3} \times \ldots \times \dfrac{n}{n}$. Chacun des facteurs du produit est supérieur ou égal à $1$, donc $\dfrac{n^{n-1}}{n!} \geqslant 1$. \item $\dfrac{n^n}{n!} = \dfrac{n^{n-1}}{n!} \times n \geqslant n$, d'après la question précédente ; $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}n = + \infty$, donc \[\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^n}{n!} = + \infty.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \[f(x) = x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1}\] \begin{enumerate} \item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x + 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{\text{e}^x+1} = 0.$ Conclusion $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. De même $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$. \item $f(x) + f(-x) = x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1}- x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^{-x}+1} = 2\ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1} + \dfrac{2\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = 2\ln 4 + \dfrac{2\left(1 + \text{e}^x\right)}{1 + \text{e}^x} = 2\ln 4 + 2$ (après multiplication par $\text{e}^x$ du second quotient). On a donc : quel que soit $x \in \R,~f(x) + f(-x) = 2(\ln 4 + 1)$. On en déduit que le point A de coordonnées $(0~;~\ln 4 + 1)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}$. \item La fonction $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables, la fonction $x \longmapsto \text{e}^x + 1$ ne s'annulant pas sur $\R$. On a $f'(x) = 1 - \dfrac{2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right) ^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x + 1 \right) ^2 - 2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right) ^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + 1}{\left(\text{e}^x + 1 \right) ^2}$. Ce quotient est supérieur à zéro car quotient de termes positifs le numérateur étant supérieur ou égal à $1$. Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur $\R$. \begin{center} \textbf{Tableau de variations} \medskip \begin{pspicture}(6,4) \psframe(6,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,3)(6,3) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](5.6,3){$+ \infty$} \uput[u](1,2){$f'(x)$} \uput[u](4,2){$+$} \rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.3,0.1){$- \infty$} \uput[d](5.6,2){$+ \infty$} \psline{->}(2.7,0.4)(5.3,1.7) \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est continue comme somme de fonctions continues et croissante sur $\R$, les images appartenant à $\R$ (cf. le tableau de variations). Donc tout réel $m$ a un antécédent par $f$. Quel que soit $m \in \R,~f(x) = m$ a une solution unique dans $\R$. \item Solution de $f(x) = 3$. La calculatrice donne : $f(1,1) \approx 2,986,~f(1,2) \approx 3,049$. Si $f(a) = 3$, de $f(1,2) < f(a) < f(1,3)$ on déduit par croissance de la fonction $f$, que : \[1,1 < a < 1,2\] \item D'après la question 2 on sait que $f(a) + f(-a) = 2(\ln (4) + 1) \iff $ $f(-a) = 2(\ln (4) + 1) - f(a) = 2(\ln (4) + 1) - 3 = 2\ln (4) - 1$. Conclusion $(-a)$ est solution de l'équation $f(x) = 2\ln (4) - 1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On peut écrire $f(x) = x + 2 + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x+1} - 2 = x + 2 + \ln 4 +\dfrac{2 - 2\text{e}^x - 2}{\text{e}^x+1} = x + 2 + \ln 4 -\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1}$. \item D'après la question 1 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (x + \ln 4) = 0_{+}$. Il en résulte que la droite d'équation $y = x + \ln 4$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini, la courbe étant au dessus de son asymptote. De même d'après la question a. précédente $f(x) - (x + 2 + \ln 4) = - \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1} = 0_{-}$, ce qui signifie que la droite d'équation $y = x + 2 + \ln 4$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de moins l'infini en étant au dessus de la courbe $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On vient de voir que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de la droite d'équation $y = x + 4$, donc $f(x) - (x + 4) > 0$. Le nombre $\alpha $ étant positif, l'intégrale est égale à l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$. \item D'après 5. a. on peut écrire $I(\alpha) = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} [f(x) - (x + \ln 4]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} [x + 2 + \ln 4 - 2 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} - x - \ln 4]\:\text{d}x$ $= \displaystyle\int_{0}^{\alpha} \left[2 - 2\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\right]\:\text{d}x = \left[ 2x - 2 \ln \left( \text{e}^x + 1\right)\right]_{0}^{\alpha}= 2\alpha + 2\ln 2 - 2\ln \left(\text{e}^{\alpha} + 1\right) =$ $2\ln \text{e}^{\alpha} + 2 \ln 2 - 2\ln \left(\text{e}^{\alpha} + 1\right) = 2\ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} \right)$. \item Cherchons $\alpha$ tel que $I(\alpha) = 1 \iff 2\ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} \right) = 1 \iff \ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} \right) = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{2\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} =\text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}} \iff 2\text{e}^{\alpha} =\sqrt{\text{e}}\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right) \iff \text{e}^{\alpha}\left(2 - \sqrt{\text{e}}\right) = \sqrt{\text{e}} $ $\iff \text{e}^{\alpha} =\dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2 - \sqrt{\text{e}}} \iff \alpha =\ln \left( \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2 - \sqrt{\text{e}}} \right) \approx 1,54$. Pour $\alpha \approx 1,5,~I(\alpha) \approx 1$. En fait $I(1,5) \approx 0,983,~I(1,54) \approx 0,998,~I(1,546\:1) \approx \np{0,99997}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}