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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{6 juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban juin 2005 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \og Faux \fg ; exemple $a = 1,~f(x) = \dfrac{1}{x}$.
\item \og Faux \fg ; exemple $f(x) = x,~g(x) = x^2 + 1$.
\item \og Vrai \fg Si $x > 0$, alors $\dfrac{1}{x} > 0$ et en multipliant chaque membre de l'encadrement, on obtient $0 \leqslant \dfrac{f(x)}{x}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Le théorème des \og gendarmes \fg permet de conclure.
\item \og Faux \fg ; exemple $f(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\item \og Vrai \fg : il suffit de faire le calcul.
\item \og Vrai \fg : associativité du barycentre : 

G bar $\{(\text{A},~3),~(\text{B},~-2),~(\text{C},~1)\} = \text{bar}\{(\text{I},~1),~(\text{C},~1)\}$ qui est le milieu de [IC].
\item \og Faux \fg{} : $\left\|3\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 1 \iff \left\|2\vect{M\text{G}}\right\| = 1 \iff \text{G}M = \dfrac{1}{2}$. Le rayon du cercle n'est pas 1.
\item \og Faux \fg{} : tous les points $M$ appartenant au cercle de diamètre [AB] vérifient la relation (y compris A et B).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p\left(T_{1}\right) = 0,7$. Sur les $30\,\%$ ne passant pas le premier test  $65\,\%$ soit une probabilité de $0,30 \times 0,65 = 0,195$.

Donc $p(C) = 0,7 + 0,195 = 0,895$.
\item Les écrans passant le premier test procurent un \og gain \fg{} de $a - \np{1000}$ ; ceux passant le second test un  \og gain \fg{} de $a - 1050$ et les autres un \og gain \fg{} de $- \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item D'où la loi de probabilité :

\[\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline
 & 1\up{er}\: \text{test}&  2\up{e}\: \text{test} & \text{refusés}\\ \hline
p(X = x_{i}) & 0,7 & 0,195 & 0,105\\
\text{\og gain \fg}& a - \np{1000} & a - \np{1050} & - \np{1050}\\ \hline
\end{array}\]

		\item $E(X) = 0,7 \times (a - \np{1000}) + 0,195 \times (a - \np{1050}) + 0,105 \times (- \np{1050}) =\\ E(X) = 0,895a - \np{1015}$.
		\item L'entreprise peut espérer un bénéfice si l'espérance de gain est positive, soit $E(X) \geqslant 0 \iff a \geqslant \dfrac{1015}{0,895} \approx \np{1134,08}$ \euro. (à un centime près par excès)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dérivée : $\left[(2 - t)\text{e}^t\right]' = - \text{e}^t + (2 - t)\text{e}^t = (1 - t)\text{e}^t$.

$u_{1} =  \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t) \text{e}^t\, \text{d}t$.

D'après la question précédente $u_{1} = \left[2 - t)\text{e}^t\right]_{0}^1 = \text{e} - 2.$
\item $u_{n+1} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^{n+1} \text{e}^t\, \text{d}t$.

$\begin{array}{l l l}
\text{En posant} & u(t) = (1 - t)^{n+1}& \text{d}v = \text{e}^t\\
 & \text{d}u = -(n + 1)(1 - t)^n & v = \text{e}^t\\
 \end{array}$
 
Toutes ces fonctions étant continues et dérivables, en intégrant par parties : 
 
$u_{n+1} = \left[(1 - t)^{n+1}\text{e}^t\right]_{0}^1 + (n + 1) \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t = - 1 + (n + 1)u_{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Il semble avec la première calculatrice que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 0, mais la deuxième conduit à penser que celle-ci est divergente...

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $0 \leqslant  t \leqslant 1$, donc $1 - t \geqslant 0,~(1 - t)^n \geqslant 0$ et $1 \leqslant \text{e}^t \leqslant \text{e}$. Donc $(1 - t)^n\text{e}^t \geqslant 0$. Conclusion l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ est positive et $u_{n} \geqslant 0$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item On a vu que $0 \leqslant  t \leqslant 1 \longleftrightarrow \text{e}^t \leqslant \text{e} \longleftrightarrow (1 - t)^n\text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n$.
		\item En \og intégrant cette inégalité sur l'intervalle [0~;~1], on a 
		
$u_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \text{e} \times (1 - t)^n \iff u_{n} \leqslant  \dfrac{\text{e}}{n+1}[-(1 - t)]_{0}^1$ et finalement :
\[u_{n}  \leqslant  \dfrac{\text{e}}{n+1}.\]
	\end{enumerate}
\item On a donc démontré au \textbf{1.} et au \textbf{2. b.} que :
\[0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+1}.\]

Par application du théorème des \og gendarmes \fg, la limite de  $u_{n}$ au voisinage de plus l'infini est égale à zéro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\bullet~$ \emph{Initialisation} : $v_{1} = u_{1} + 1!(a + 2 - \text{e}) = \text{e} - 2 + a + 2 - \text{e} = a$ ; la relation  est vraie au rang 1.

$\bullet~$ \emph{Hérédité} : soit un naturel $n \geqslant 1$ et supposons la relation vraie à ce  rang $n$, soit $v_{n} = u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})$.

Calculons $v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1 = (n + 1)[u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})] = u_{n+1} + 1 + (n + 1)!(a + 2 - \text{e}) - 1 = u_{n+1} + (n + 1)!(a + 2 - \text{e})$ qui démontre l'hérédité.

La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rang supérieur ou égal à 1, elle est vraie au rang $n + 1$ ; on a donc démontré par récurrence que pour $n \geqslant 1$, \: $v_{n} = u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})$.
\item On rappelle que $u_{n} \geqslant 0$.

-- Si $a + 2 - \text{e} > 0 \iff a > \text{e} - 2$ alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n!)(a + 2 - \text{e}) = + \infty$, d'où \\$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} = + \infty$.

-- Si $a + 2 - \text{e} < 0 \iff a < \text{e} - 2$ alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n!)(a + 2 - \text{e}) = - \infty$, d'où \\$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} = - \infty$.

-- Si $a + 2 - \text{e} = 0 \iff a = \text{e} - 2$ alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n!)(a + 2 - \text{e}) = 0$, d'où \\$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n} = 0$.
\item L'explication de la divergence des résultats des deux calculatrices provient sûrement de la valeur initiale de e $- 2$.

On a e $\approx \np{2,7182818284590}$. On ne connait pas la douzième décimale de la première calculatrice, mais il y a toutes les raisons de penser que c'est 9 alors que la onzième décimale de la deuxième calculatrice est fausse (6 au lieu de 5), d'où la divergence vers $+ \infty$ car on est dans le premier cas de la question~\textbf{2.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Figure

\begin{center}\psset{unit=0.38cm} \begin{pspicture}(-14,-14)(14,13)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-14,-14)(14,13)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-14,0)(14,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-14)(0,13)
\pspolygon(8,0)(-3,5.19615)(-4,-6,9282)%ABC
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](8,0)(-4,6.9282)(-4,-6,9282)%AB_{1}C
\psline(-4,-6,9282)(-14,0)(-3,5.19615)%CA'B
\psline(-3,5.19615)(7,12,1244)(8,0)%BC'A
\psline(8,0)(8,-13,8564)(-4,-6,9282)%AB'C
\psline(-3,5.19615)(-4,6.9282)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](8,0){A} \uput[ul](-3,5.19615){B} \uput[dl](-4,-6,9282){C} 
\uput[ul](-14,0){$A'$} \uput[ur](8,-13,8564){$B'$} \uput[ur](7,12,1244){$C'$}
\uput[ul](-4,6.9282){$B_{1}$}
\psline(0,0)(8,0)  \psline(-3,5.19615)(0,0)  \psline(0,0)(-4,-6,9282)
\psline[linestyle=dashed] (0,0)(7,12,1244)
\psline[linestyle=dashed] (0,0)(8,-13,8564)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On a j $= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\text{j}^2 = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $a' - c = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(b - c) \iff $
		
$a' = 8\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) +
 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left[6\left( - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) -  8\left(- \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] =$
 
$ - 4 + 4\text{i}\sqrt{3} +  \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(1 + 7\sqrt{3}\right) = - 4 - 4\text{i}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}- \dfrac{21}{2} + \dfrac{7\text{i}\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2} =$

$ - 4 - 10 = -14$.
 
		 \item De même $b' - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - a) \iff b' = 8 + \left( \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(- 4 - 4\text{i}\sqrt{3} - 8) = 8 - 6 + 6 - 2\text{i}\sqrt{3} - 6\text{i}\sqrt{3} = 8 - 8\text{i}\sqrt{3} = 16\left(\dfrac{1}{2}- \text{i}
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 16\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

On en déduit que $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{O}B'}\right)  = \left(\vect{\text{OB}},~\vect{u}\right)  + \left(\vect{u},~\vect{\text{O}B'}\right) = - \text{arg}  b + \text{arg} b' = - \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = - \pi\quad [2\pi]$.

Cette égalité montre que les points O, B et $B'$ sont alignés.
		\item En admettant que $c' = 7 + 7\text{i}\sqrt{3} = 7\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 7 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

On démontre de même qu'au \textbf{b.} que 
\[\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{O}C'}\right)  = \pi\]
 qui démontre que O, C et $C'$ sont alignés.

Autre méthode : C$\left(- 4 ~;~- 4\text{i}\sqrt{3}\right)$ et $C'\left(7 ~;~- 7\text{i}\sqrt{3}\right)$. On a de fa\c{c}on évidente $\vect{\text{O}C'} = - \dfrac{7}{4}\vect{\text{OC}}$ qui montre que $C'$ appartient à la droite (OC).

Enfin les affixes de A et  $A'$sont réelles, donc ces points sont alignés avec O.

Conclusion : les droites (A$A'$), (B$B'$) et (C$C'$) contenant toutes le point O sont concourantes en ce point.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item OA + OB + OC $= |a| + |b| + |c| = 8 + 6 + 8 = 22$.
		\item $\text{j}^3 = \left(\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right)^3 = \text{e}^{2\text{i}\pi} = 1$.

$1 + \text{j} + \text{j}^2$

Méthode 1 : soit B$_{1}$ le point d'affixe 8j. Les points A, B$_{1}$ et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 8.

Le triangle AB$_{1}$C est un triangle équilatéral (trois angles inscrits de $\dfrac{\pi}{3}$). Le point O est le centre de gravité  de ce triangle, donc l'isobarycentre. L'égalité $\vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}_{1}} + \vect{\text{OC}} = \vect{0}$ se traduit en affixes par : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.

Méthode 2 : $\text{j}\left(1 + \text{j} + \text{j}^2\right) = \text{j} + \text{j}^2 + \text{j}^3 = \text{j} + \text{j}^2 + 1$.

Or $\text{j}\left(1 + \text{j} + \text{j}^2\right) = 1 + \text{j} + \text{j}^2 \iff \left(1 + \text{j} + \text{j}^2\right)(\text{j} - 1) = 0$. Comme $ \text{j} \neq 1$ il en résulte que 
$1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0.$

Méthode  3 : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 1 - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

		\item $\left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| = \left|a - z + b\text{j}^2 - z\text{j}^2 + c\text{j} - z\text{j}\right| =\\ \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j} -z\left(1 + \text{j} + \text{j}^2\right)\right| = \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right|$ (d'après la question précédente.)

Or $\left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right| = \left|8 + 6\text{j}\text{j}^2 + 8\text{j}^2\text{j}\right| = |8 + 6 + 8| = |22| = 22$.
		\item D'après l'inégalité triangulaire admise :

$\left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| \leqslant |a - z| + |(b - z)\text{j}^2| + |(c - z)\text{j}|$.

Or $|(b - z)\text{j}^2| = |b - z|$ et $|(c - z)\text{j}| = |c - z|$.

Donc $\left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| \leqslant M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ soit d'après \textbf{c.}\\ $22 \leqslant M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$.

D'après \textbf{a.} OA + OB + OC = 22. Donc la valeur minimale de $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est atteinte quand $M$ = O.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 (spécialité)} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'algorithme d'Euclide donne :

$226 = 2 \times 109 + 8, \quad 109 = 13 \times 8 + 5,\quad 8 = 1 \times 5 + 3\\
5 = 1 \times 3 + 2, \quad 3 = 1\times 2 + 1, \quad 2 = 2 \times 1 + 0$.

Le dernier reste non nul étant égal à 1 le pgcd de 109 et 226 est égal à 1. 109 et 226 sont premiers entre eux et l'équation (E) admet au moins une solution.
		\item En remontant les égalités du \textbf{a.} :

$3 = 1\times 2 + 1 \iff 1 = 3 - 1\times 2 \iff 1 = 3 - 1\times (5 - 3) \iff 1 = 2\times 3 - 5\\
\iff 1 = 2(8 - 5) - 5 \iff 1 = 2\times 8 - 3 \times 5\\
\iff 1 = 2 \times 8 - 3(109 - 13 \times 8) \iff 1 = 41 \times 8 - 3 \times 109\\
\iff 1 = 41 \times (226 - 2 \times 109) - 3 \times 109 \iff 1 = 41 \times 226 - 85 \times 109$.

Donc le couple $(- 85~;~-41)$ est une solution particulière de l'équation (E).

On a $(x~;~y)$ étant un couple solution quelconque de (E) 

$\left\{\begin{array}{l c l}
109x - 226y&=&1\\
109\times(-85) - 226\times(-41)&=&1\\
\end{array}\right. \Longrightarrow 109(x + 85) - 226(y + 41) = 0 \iff 109(x + 85) = 226(y + 41) \quad (1)$.

D'après le \textbf{a.} 109 divise $226(y + 41)$, mais étant premier avec 226 divise $y + 41$ (d'après le théorème de Gauss) ; il existe donc un entier  $k'$ tel que : $y + 41 = 109k' \iff  y = -41 + 109k'$ et en reportant dans (1)

$109(x + 85) = 226 \times 109k' \iff x + 85 = 226k' \iff x = - 85 + 226k'$.

En posant $k = k' + 1$, on obtient $x = -85 + 226 + 226k = 141 + 226k$ et 

$y = - 41 + 109 + 109k = 68 + 109k$.

Inversement  $109(141 + 226k) - 226( 68 + 109k) = 109 \times 141 - 226 \times 68 = 1 \quad$ (2).

Conclusion : les couples solutions de l'équation (E) sont les couples d'entiers $(141 + 226k~;~68 + 109k)$ avec $k \in \Z$.

Si $x = d$ avec $0 < d \leqslant 226$ il existe un entier $k$ tel que  

$0 < 141 + 226k \leqslant 226 \iff -141 < 226k < 85 \iff - \dfrac{141}{226} < k \leqslant \dfrac{85}{226}$.

Or $- \dfrac{141}{226} \approx - 0,6$ et  $\dfrac{85}{226} \approx 0,4$. Conclusion $k = 0$. Donc $d = 141$ et par conséquent $e = 68$.
	\end{enumerate}
\item Ni 2, ni 3, ni 5, ni 5, ni 7, ni 11, ni 13, ni 17 ne divisent 227 et $17^2 > 227$. Donc 227 est un naturel premier.
\item On a A $ = \{a \in \N : 0\leqslant a \leqslant 226\}$.

Par définition de $f,\quad a^{109} \equiv f(a) \quad [227]$ et par définition de $g,~~ a^{141} \equiv g(a) \quad [227]$.
	\begin{enumerate}
		\item On a bien sûr $f(0) = 0$ et $g(0) = 0$. Donc  $g[f(0)] = g(0) = 0$.
		\item D'après le petit théorème de Fermat et 227 étant premier, $a^{226} \equiv 1 \quad [227]$.
		\item On sait déjà que $g[f(0)] = 0$.

Si $a \neq 0,\quad g[f(a)] \equiv [f(a)]^{141}\quad [227]$ ou encore 
$[g[f(a)] \equiv \left(a^{109}\right)^{141}\quad [227]$, soit  
$[g[f(a)] \equiv \left(a^{109 \times 141}\right)\quad [227]$. Or d'après la vérification (2) ci-dessus on a $109 \times 141 = 1 + 226 \times 68$.

Donc  $[g[f(a)] \equiv a^{1 + 226 \times 68}\quad [227] \iff  
[g[f(a)] \equiv a \times a^{226 \times 68}\quad [227] \iff
[g[f(a)] \equiv a \times \left(a^{226}\right)^{68}\quad [227] $.

Mais d'après le \textbf{b.} $a^{226} \equiv 1 \quad [227]$.

Donc finalement $g[f(a)] \equiv a \quad  227 $. Finalement dans tous les cas, 

$g[f(a)] = a$ si $a \in $\:A.

La même démonstration permet de montrer que $f[g(a)] = a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	 
\end{document}