\documentclass[10pt]{article} %\documentclass[a4paper, 11pt]{book} % cette partie permet de gérer les chapitres \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{pst-node} \usepackage{tikz,tkz-tab} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{wrapfig} \usepackage{blindtext} \usepackage{array} \usepackage{colortbl} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Tapuscrit de Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esperance}{\mathbb{E}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Variance}{\mathbb{V}} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{changepage} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath})$} \def\Oijk{$(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k})$} \def\Ouv{$(\text{O},~\vect{u},~\vect{v})$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage{enumitem} \usepackage{hyperxmp} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[babel=true]{csquotes}%permet la gestion des guillements :exemple Je cite : \enquote{citation}. \newtheorem{definition}{Définition} \newtheorem{theoreme}{Théorème} \newcommand{\itab}[1]{\hspace{0em}\rlap{#1}} \newcommand{\tab}[1]{\hspace{.2\textwidth}\rlap{#1}} \newcounter{nexo} % déclaration du numéro d'exo \setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero \newcommand{\exo}{ \stepcounter{nexo} \par{\textsf{\textbf{\textcolor{black}{{E\small{XERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}} \usepackage{mathtools} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L} \lfoot{\small{Liban }} \rfoot{\small{27 mai 2015}} \setlength{\parindent}{0pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 27 mai 2015 ~\decofourright}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item %1 On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [-3 ; 1]. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$ /1,Variations de $f$ /1.5}{$-3$, $-1$, $0$, $1$} \tkzTabVar{-/$-6$, +/$-1$, -/$-2$,+/$4$} \tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha$}{$0$} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Sur l'intervalle [-3~;~0], $f$ admet un maximum -1 qui est atteint pour $x=-1$, $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur cette intervalle. \item[$\bullet~~$] Sur l'intervalle [0~;~1], $f$ est continue et strictement croissante de plus 0 est compris entre $f(0)$ et $f(1)$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de la fonction $f(x)=0$ admet une solution unique sur cet intervalle. On l'appellera $\alpha$. \end{itemize} En conséquence, $f(x)=0$ admet une solution unique sur [-3~;~1]. \textbf{La proposition 1 est donc vraie}. \item %2 Par lecture graphique : $g'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle [0~;~4], la fonction $g$ est donc croissante sur cet intervalle. \\\textbf{La proposition 2 est fausse}.\\ \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(13,8) \uput[dl](2,6){$\mathcal{C}_{g'}$} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=13,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(13,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(13,8) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{2.71828 2 0.5 x mul sub exp 1 sub} \uput[d](4,0){4}\uput[d](1,0){1}\uput[d](13,0){13} \uput[l](0,1){$1$}\uput[dl](0,0){$0$} \uput[u](13,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$} \end{pspicture} \end{center} Comme $g'$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~13], $g$ est concave sur cet intervalle, \\\textbf{la proposition 3 est donc vraie}. \newpage \item %3 On a : \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,1.5) \uput[dl](2,1){$\mathcal{C}_{h}$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,1.5) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 x div} \psline[linestyle=dashed](2.71828,0.368)(2.71828,0) \uput[d](2.71828,0){e}\uput[u](3.4,0){$x$} \uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){$0$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $h(x) \geqslant 0$ \item[$\bullet~~$] $h$ est continue sur l'intervalle [1~;~e]. \item[$\bullet~~$] une primitive de $h$ vaut : $H(x)=\ln x$. Et $\displaystyle\int_{1}^{\e}\dfrac{1}{x}\text{d}x=\left[H(x)\right]_1^\e=\ln \e -\ln 1=1$ \end{itemize} La fonction $h$ est bien une fonction de densité. \\\textbf{La proposition 4 est donc vraie}. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \iffalse \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=.5] \tkzInit[xmin=0,xmax=21.5,ymin=0,ymax=105.5,ystep=5] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain=1:18,thick]{2*\x+5+40/exp(.2*\x-1)} \tkzDefPoints{5/55/A,10/25/B,12/13/B',0/85/A',10/55/C} \tkzDrawSegment(A',B') \tkzDrawSegments[->,>=latex,thick](A,C C,B) \tkzLabelSegment[above](A,C){$5$} \tkzLabelSegment[above right](C,B){$-30$} \tkzDrawPoints(A,B) \tkzLabelPoint[below left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](B){$B$} \tkzText(2.5,85){$\mathcal{C}$} \tkzText(13,10){$(T_A)$} \end{tikzpicture} \end{center} \fi \begin{enumerate} %\setcounter{enumi}{1} \item %1 \begin{enumerate} \item %a $f'(5)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $A$, c'est donc le coefficient directeur de la droite $(AB)$.\\ \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm} % permet de jouer sur la largeur du graphique \def\xmin{0} \def\xmax{22} \def\ymin{0} \def\ymax{110} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % pour des graduiations particulières \psgrid[gridwidth=0.5pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=5](\xmin,\ymin)(\xmax,22) %\psgrid[gridwidth=1pt,gridcolor=lightgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[comma,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](\xmax,0){$x$} \uput[dl](0,\ymax){$y$} \uput[dl](4,80){$\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{1}{18}{2 x mul 5 add 40 2.71828 0.2 x mul 1 sub exp div add} %----------- point particulier A avec tangente \def\xA{5} \def\yA{55} \psdots(\xA,\yA) \uput[d](\xA,\yA){$A$} \def\xB{10} \def\yB{25} \psdots(\xB,\yB) \uput[d](\xB,\yB){$B$} \psline[linecolor=blue]{-}(0,85)(14.16666666666666666667,0)%y=-6x+85 % on trace la flèche \psline[linewidth=0.5pt]{->}(\xA,\yA)(\xB,\yA) \uput[u](7.5,\yA){$5$} \psline[linewidth=0.5pt]{->}(\xB,\yA)(\xB,\yB) \uput[ur](\xB,40){$-30$} \uput[l](13.5,17){$(T_A)$} \uput[d](\xB,\yB){$B$} \end{pspicture} \end{center} \medskip Nous pouvons le lire graphiquement, voir ci-dessus.\\ Nous pouvons le calculer, $A(5~;~55)$ et $B(10~;~25)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut : \[\dfrac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A} } = \dfrac{25-55 }{10-5 } = -\dfrac{30}{5} = -6.\] \item %b $f$ est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables sur [1~;~18].\\ \[ f'(x)= 2+40\times\underbrace{(-0,2)}_{u'}\times\text{e}^{\overbrace{-0,2x+1}^{u}}= 2-8\text{e}^{- 0,2x + 1}\] %$f'(x)=2+0+40\times \e^{-0,2x+1}\times (-0,2)=2-8\e^{-0,2x+1}$ \item %c $f'(5)=2-8\e^{-0,2\times 5+1}=2-8\e^0=2-8=-6$, on retrouve bien le résultat de la partie \textbf{1.a.}. \end{enumerate} \item %2 \begin{enumerate} \item %a Ici, nous travaillons avec des expressions qui sont définies sur tout $\R$, les équivalences seront toujours vraies.\\ $\left.\begin{array}{ccl} 2-8\e^{-0,2x+1} \geqslant 0 & \Leftrightarrow & -8\e^{-0,2x+1}\geqslant -2\\ & \Leftrightarrow & \e^{-0,2x+1}\leqslant \dfrac{-2}{-8}\\ & \Leftrightarrow & \ln \e^{-0,2x+1}\leqslant \ln \dfrac{1}{4}\\ & \Leftrightarrow & -0,2x+1\leqslant -\ln 4\\ & \Leftrightarrow & -0,2x \leqslant -\ln 4-1\\ & \Leftrightarrow & -5\times (-0,2x) \geqslant -5\times (-\ln 4-1)\\ & \Leftrightarrow & x \geqslant 5\ln 4+5) \end{array}\right.$ \item %b Dans un premier temps, on constate que : $5\ln 4+5 \approx 11,93$ qui est bien compris dans [1~;~18]. \begin{center} \begin{tikzpicture}%[x=10mm,y=8mm] \tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,$\small 2-8\e^{-0,2x+1}$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$5\ln 4+5$,$18$} \tkzTabLine{,-,z,+} \tkzTabLine{,-,z,+} \tkzTabVar{+/$f(1)$,-/$f(5\ln 4+5)$,+/$f(18)$} \end{tikzpicture} \end{center} Et : $f(5\ln 4+5) \approx 38,86$, $f(1)\approx 96,02$ et $f(18)\approx 43,97$. \end{enumerate} \item %3 Par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l'entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal est à choisir parmi $f(11) \approx 39,05$ ou $f(12) \approx 38,86$, le coût sera donc minimal pour 12 parasols. \item %4 \begin{enumerate} \item %a Il suffit de dériver $F$,\\ $F'(x)=2x+5-200\e^{-0,2x+1}\times (-0,2)=2x+5+40\e^{-0,2x+1}=f(x)$.\\ $F$ est bien une primitive de $f$. \item %b $I = \displaystyle\int_{5}^{15}f(x)\text{d}x = \left[F(x)\right]_5^{15}=F(15)-F(5)=15^2+5\times 15-200\e^{-3+1}-\left(5^2+5\times 5-200\e^{-1+1}\right)\\=300-200\e^{-2}-(-150)=450-200\e^{-2}$ \item %c Rappel : la valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a~;~b \right]$ vaut :$\mu = \dfrac{1}{b-a }~\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$.\\ ici : $\dfrac{1}{10}~I =\dfrac{1}{15-5}~\displaystyle\int_{5}^{15}f(x)\text{d}x$.\\ C'est le calcul de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [5~;~15] et cette valeur moyenne vaut : $$45-20\e^{-2}\approx 42,29$$ C'est le coût de production unitaire moyen. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item %1 \begin{enumerate} \item %a Voici l'arbre de probabilité :\\ \begin{center} \pstree[treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,arrows=->]{\Tr{}} {\pstree[ref=c] {\Tr{$\ A \ $}\naput{$0,4$}} { {\pstree[ref=c] {\Tr{$\ D \ $}\naput{$0,02$}} { \Tr{$\ \Proba(A\cap D)=\Proba_{A}(D)\times \Proba(A) \ $} } } \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput{$0,98$} } \pstree[ref=c] {\Tr{B}\nbput{$0,6$}} { \Tr{$\ D \ $}\naput{$0,03$} \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput{$0,97$} } } \end{center} \item %b Nous utilisons la formule des probabilités totales :\\ $\Proba(D)=\Proba(A \cap D)+\Proba(B \cap D)$\\ $\Proba(D)=\Proba(A) \times \Proba_A(D)+\Proba(B) \times \Proba_B(D)$\\ $\Proba(D)=0,4 \times 0,02+0,6 \times 0,03$\\ $\Proba(D)=0,026$. \item %c $\Proba_D(A)=\dfrac{\Proba(A\cap D)}{\Proba(D)}=\dfrac{0,4\times 0,02}{0,026}\approx 0,308$%0,307692308 \end{enumerate} \item %2 \begin{enumerate} \item %a Nous sommes dans le cas d'une expérience de Bernoulli (on a affaire à une médaille défectueuse ou non).\\ Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise, nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli.\\ Comme $X$ est une variable aléatoire comptant le nombre de médaille défectueuse, nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale : $X=\mathcal{B}(n,p)$, o\`u $n=20$ et $p=0,026$. \item %b Ici nous calculons : \[\Proba(X \leqslant 1)=\Proba(X=0)+\Proba(X=1)=\binom{20}{0}0,026^0\times (1-0,026)^{20}+\binom{20}{1}0,026^1\times (1-0,026)^{19}\approx 0,906\] Ou encore :\\ \[\Proba(X \leqslant 1)=\text{BinomFrep}(20,0.026,1)\approx 0,906\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=6cm} \begin{pspicture*}(72.9,-0.1)(77.1,0.51) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.1pt] \multido{\n=0.000+0.125}{5}{\psline[linewidth=0.1pt](73,\n)(77,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75]{->}(75,0)(73,-0.01)(77,0.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75](75,0)(73,-0.01)(77,0.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{73}{77}{0.398942 2.71828 x 75 sub 0.25 div dup mul 2 div exp div} \uput[d](75,-0.02){$\mu = 75$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item %1 Nous pouvons lire : $\mu=75$. \item %2 $\Proba(74,4\leqslant Y \leqslant 75,6) = \text{NormalFrep}(74.4,75,6,75,0.25) \approx 0,984$. %0,9836 \item %3 Le résultat de cours est : $\Proba(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)\approx 0,95$,\\ ici $h=2\sigma=0,50$. \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item %1 La fréquence de médaille défectueuse est de : $f=\dfrac{11}{180} \approx 0,061$.%0,0611111111 \item %2 $X_n$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. la variable $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ représente la fréquence de médaille défectueuse. La proportion de médaille défectueuse de l'échantillon de taille $n$ est $p$. \medskip Ici : $n = 180$ et $n \geqslant 30$, $n \times p= 180 \times 0,03=5,4\geqslant5$ et $n \times (1-p)= 180 \times 0,97=174,6\geqslant5$\\ \medskip L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% vaut : \[I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right].\] Ici : $p=0,03$ et $n=180$.\\ $$I\approx \left[0,00507895133~;~0,0549210487\right]$$ Or : $f\notin I$, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_B$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \medskip La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$. Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m$^3$ est $u_0 = \np{100000}$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 0, $u_n$ désigne le volume d'eau en m$^3$ au matin du $n$-ième jour qui suit le 1\up{er} juillet 2013. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Volume d'eau $u_1$ au matin du 2 juillet 2013 : \[ u_0 = \np{100000} \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times\np{100000}= \np{96000} \overbrace{\longrightarrow}^{-500} \np{96000} - 500 = \np{95500} = u_1 \] \item Volume d'eau $u_2$, au matin du 3 juillet 2013: \[ u_1=\np{95500} \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times\np{95500}= \np{91680} \overbrace{\longrightarrow}^{-500} \np{91680}- 500 = \np{91180} = u_2 \] \item Pour tout entier naturel $n$ \[ u_n \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times u_n \overbrace{\longrightarrow}^{-500} 0,96u_n - 500 = u_{n+1} \] Ainsi, $u_{n+1}= 0,96u_n - 500$. \end{enumerate} \item Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes \texttt{L6}, \texttt{L7} et \texttt{L9} de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu. \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|lX|}\hline \texttt{L1} & \textbf{Variables :} & $u$ est un nombre réel\\ \texttt{L2} & & $n$ est un entier naturel\\ \texttt{L3} & \textbf{Traitement :} & Affecter à $u$ la valeur \np{100000}\\ \texttt{L4} & & Affecter à $n$ la valeur 0\\ \texttt{L5} & & Tant que $u > 0$\\ \texttt{L6} & & \hspace{1cm} Affecter à $n$ la valeur \textcolor{red}{$n + 1$}\\ \texttt{L7} & & \hspace{1cm} Affecter à $u$ la valeur \textcolor{red}{$0,96* u - 500$}\\ \texttt{L8} & & Fin Tant que\\ \texttt{L9} & \textbf{Sortie :} & Afficher \textcolor{red}{$n$}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n + \np{12500} \iff u_n = v_n - \np{12500}$. \medskip \begin{enumerate} \item La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$: \[ v_{n+1} = u_{n+1} + \np{12500}= 0,96u_n - 500 + \np{12500} =0,96u_n + \np{12000} = 0,96\left(u_n + \np{12500}\right) = 0,96\times v_n \] \[ v_0 = u_0 + \np{12500} = \np{100000}+\np{12500}=\np{112500} \] \item Ainsi: $v_n = \np{112500}\times(0,96)^n$. \item Donc: \[ v_n = u_n + \np{12500}\Leftrightarrow u_n = v_n -\np{12500}=\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500} \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500} \leqslant 0$: \begin{align*} \np{112500} \times 0,96^n - \np{12500} \leqslant 0&\Leftrightarrow \np{112500} \times 0,96^n\leqslant \np{12500}\\ &\Leftrightarrow 0,96^n\leqslant \frac{\np{12500}}{\np{112500}}\simeq 0,111\\ &\Leftrightarrow \ln\left(0,96^n\right)=n\ln 0,96\leqslant \ln\frac{\np{12500}}{\np{112500}}\\ &\Leftrightarrow n\geqslant \dfrac{\ln\dfrac{\np{12500}}{\np{112500}}}{\ln 0,96}\simeq 53.825 \end{align*} \item Au matin du 54\up{e}{} jour, il n'y aura plus d'eau dans le bassin. \end{enumerate} \end{enumerate} %le des entiers naturels l'inéquation: $- 0,17 \times 0,5^n + 0,82 \geqslant 0,80$. \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} %\setcounter{enumi}{1} \item %1 Voici le graphe probabiliste d'ordre 2 de la situation :\\ \begin{center} \begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.4,colsep=2.0] {S} & & {T} \end{psmatrix} \psset{arrows=->, shortput=nab} \ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,3}^{0,41} \ncarc[arcangle=20]{1,3}{1,1}^{0,09} %\ncurv[angleA=90,angleB=-90]{1,1}{1,1} \nccurve[angleA=130,angleB=230,ncurv=10]{1,1}{1,1}\Bput{0,59} %\nccircle[angleA=90,nodesep=3pt]{->}{1,1}{.7cm}\nbput{0,64} %\nccircle[angleA=-90,nodesep=3pt]{->}{1,3}{.7cm}\nbput{0,86} \nccurve[angleA=50,angleB=310,ncurv=10]{<-}{1,3}{1,3}\Aput{0,91} \end{center} \item %2 L'état stable $P$ vérifie : %P=PM<=>[[a;b]]=[[a;b]]*[[0,59;0,41];[0,09;0,91]] $P = PM \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,59 & 0,41 \\ 0,09 & 0,91 \end{pmatrix}$ %<=>[[a;b]]=[[0,59a+0,09b;0,41a+0,91b]] $ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,59~a+0,09~b & 0,41~a+0,91~b \end{pmatrix}$\\ Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux :\\ %openbrace((a=0,59a+0,09b) crl (b=0,41a+0,91b))<=>openbrace((0=-0,41a+0,09b) crl (0,41a-0,09b)) $\left\{ {\Large\substack{a = 0,59a+0,09b \\b = 0,41a+0,91b}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{0 = -0,41a+0,09b \\0=0,41a-0,09b }} \right.$\\ Une des deux lignes peut être éliminée et comme $a+b=1$, on en déduit :\\ $\left\{\begin{array}{l c l} 0,41a - 0,09b&=&0\\ a + b &=& 1\end{array}\right.$. \item %3 Comme tous les coefficients de $M$ sont différents de 0, $P_n$ va converger vers $P$. L'opérateur TECIM va bien atteindre son objectif, en effet $a_n$ et $b_n$ vont converger vers $a=0,18$ et $b=0,82$.\\ 82\% des clients vont aller chez TECIM. \\ L'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme clients au moins 80\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item %1 La répartition des clients au bout de 2 ans est donnée par : $$P_2=P_0\times M^2=(0,35~~0,65)\times \begin{pmatrix} 0,59 & 0,41 \\ 0,09 & 0,91 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0,2225 & 0,7775 \end{pmatrix} $$ Au bout de deux ans, 22,25\% des clients seront chez SAFIR et 77,75\% chez TECIM. \item %2 $p_{n+1}=P_n\times M \Leftrightarrow \begin{pmatrix} s_{n+1} & t_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_{n+1} & t_{n+1} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,59 & 0,41 \\ 0,09 & 0,91 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow ( s_{n+1} ~~~ t_{n+1})=(0,59s_n+0,09t_n~~~0,41s_n+0,91t_n)$\\ Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux :\\ Ainsi : $t_{n+1}=0,41s_n+0,91t_n$\\ Or : $s_n+t_n=1 \Leftrightarrow s_n=1-t_n$\\ On en déduit que : $t_{n+1}=0,41(1-t_n)+0,91t_n \Leftrightarrow t_{n+1}=0,41+0,5t_n$. \item %3 Voici le tableau complété :\\ \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l X|}\hline L1&\textbf{Variables :}& $T$ est un nombre\\ L2&& $N$ est un nombre entier\\ L3&\textbf{Traitement :}& Affecter à $T$ la valeur 0,65\\ L4&& Affecter à $N$ la valeur 0\\ L5&& Tant que $T < 0,80$\\ L6&& Affecter à $T$ la valeur \textcolor{red}{$0,5*T+0,41$}\\ L7&& Affecter à $N$ la valeur \textcolor{red}{$N+1$}\\ L8&& Fin Tant que\\ L9&\textbf{Sortie :}& Afficher \textcolor{red}{$N$}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %4 \begin{enumerate} \item %a $u_{n+1}=t_{n+1}-0,82$\\ $ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,41+0,5t_n-0,82$\\ $ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5t_n-0,41$\\ $ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5(t_n-0,82)$\\ $ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5u_n$\\ La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,5$. \item %b Le terme général de $(u_n)$ vaut : $u_n=u_0\times q^n$.\\ Or : $u_0=t_0-0,82=0,65-0,82=-0,17$.\\ Ainsi : $u_n=-0,17\times 0,5^n$.\\ Comme : $t_n=u_n+0,82$\\ On conclut que : $t_n=-0,17\times 0,5^n+0,82$. \item %c On pourrait utiliser l'algorithme, ou passer par les logarithmes :\\ $\left.\begin{array}{rcl} t_n & \geqslant & 0,80\\ -0,17\times 0,5^n+0,82 & \geqslant & 0,80\\ -0,17\times 0,5^n & \geqslant & -0,02\\ 0,5^n & \leqslant & \dfrac{0,02}{0,17}\\ \ln (0,5^n) & \leqslant & \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right)\\ n\ln 0,5 & \leqslant & \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right)\\ n & \geqslant & \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right) \div \ln 0,5~~~~(\text{en effet : $\ln 0,5 < 0$})\\ n & \geqslant & 3,08746284\\ n & \geqslant & 4\\ \end{array}\right.$ \item %d Au bout de 4 ans le nombre de client de TECIM sera supérieur ou égal à 80\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}