\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Centres étrangers groupe 1 Sujet 1 17 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.3} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{17 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers Groupe 1 17 mai 2022~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \vspace{0,25cm} Le sujet propose 4 exercices Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices} Chaque exercice est noté sur 6 points (le total sera ramené sur 20 points). La clarté et la précision de l'argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 6 points\hfill Thème: Fonction exponentielle} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Principaux domaines abordés :} Probabilités\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur : \begin{itemize} \item un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ; \item un forfait SENIOR pour les autres. \end{itemize} Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l'\emph{option coupe-file} qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques. On admet que: \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 20\,\% des skieurs ont un forfait JUNIOR ; \item[$\bullet~~$] 80\,\% des skieurs ont un forfait SENIOR ; \item[$\bullet~~$] parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6\,\% choisissent l'option coupe-file ; \item[$\bullet~~$] parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5\,\% choisissent l'option coupe-file. \end{itemize} On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $J$ : \og le skieur a un forfait JUNIOR \fg ; \item[$\bullet~~$] $C$ : \og le skieur choisit l'option coupe-file \fg. \end{itemize} \medskip \emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Traduire la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R, nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}} { \pstree{\TR{$J~~$}\taput{0,2}} {\TR{$C$} \taput{0,06} \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,94} } \pstree{\TR{$\overline{J}~~$}\tbput{0,8}} {\TR{$C$} \taput{0,125} \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,875} } } \end{center} \item %Calculer la probabilité $P $P(J \cap C) = P(J) \times P_J(C) = 0,2 \times 0,06 = 0,012$. La probabilité de rencontrer un skieur de moins de 25 ans ayant le coupe-fil est égale à 0,012 \item %Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$. On a aussi $P\left( \overline{J} \cap C\right) = P\left(\overline{J}\right) \times P_{\overline{J}}(C) = 0,8 \times 0,125 = 0,1$. D'après la loi des probabilités totales ; $P(C) = P(J \cap C) + P\left( \overline{J} \cap C\right) = 0,012 + 0,1 = 0,112$. \item %Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un %skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$. Il faut trouver $P_{C}\left( \overline{J}\right) = \dfrac{P\left(C \cap \overline{J}\right)}{P(C)} = \dfrac{P\left(\overline{J} \cap C \right)}{P(C)} = \dfrac{0,1}{0,112} \approx \np{0,8928}$, soit 0,893 au millième près. \item %Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15\,\% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer. La probabilité d'interroger au hasard un skieur de moins de 25 ans ayant acheté le coups-file est égale à 0,012 sur une probabilité totale de 0,112 ce qui représente $\dfrac{0,012}{0,112} \approx 0,107$, soit moins de 11\,\%, donc moins de 15\,\% des titulaires du coupe-file. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112. On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file. \medskip \begin{enumerate} \item %On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. On suppose qu'il y a assez de skieurs pour que chaque skieur ait une probabilité d'avoir choisi le coupe-file de 0,112 et que ces tirages sont indépendants. La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 30$ et $p = 0,112$. \item %Calculer la probabilité qu'au moins un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$. On a $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{30}{0} \times 0,112^0 \times (1 - 0,112)^{30} = 1 - 0,888^{30} \approx \np{0,9716}$ soit 0,972 au millième près. \item %Calculer la probabilité qu'au plus un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$. On a $P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,88^{30} + 30 \times 0,112 \times 0,888^{29} \approx \np{0,0283} + \np{0,1072}$, soit environ \np{0,1355} donc 0,136 au millième près. \item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. On sait que E$(X) = n \times p = 30 \times 0,112 = 3,36$. En moyenne sur 30 skieurs rencontrés à peu près 3 ont pris le coupe-file. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 6 points\hfill Thème: Fonction exponentielle } \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Principaux domaines abordés:} Suites ; Fonctions, Fonction logarithme.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \bigskip \begin{enumerate} \item Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil. Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15\,\%. Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 2 heures &\textbf{b.~~} 8 heures .&\textbf{c.~~} 9 heures &\textbf{d.~~} 13 heures \end{tabularx} \end{center} Enlever 15\,\%, revient à multiplier par 0,85 $\left(1 - \dfrac{15}{100} = \dfrac{85}{100} = 0,85 \right)$. Il faut donc trouver $n \in \N$ tel que $1 \times 0,85^n < 0,25$ soit en prenant le logarithme népérien $n\ln 0,95 < \ln 0,25 \iff n > \dfrac{\ln 0,25}{\ln 0,85}$. Or $\dfrac{\ln 0,25}{\ln 0,85} \approx 8,5$ : il faut donc attendre au moins la 9\up{e} heure. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 4\ln (3x)$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ , on a : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f(2x) = f(x) + \ln (24)$&\textbf{b.~~} $f(2x) = f(x) + \ln (16)$\\ \textbf{c.~~} $f(2x) = \ln (2) + f(x)$& \textbf{d.~~} $f(2x) = 2f(x)$ \end{tabularx} \end{center} $\bullet~~$ On a $f(x) + \ln (16) = 4 \ln (3x) + \ln 2^4= \ln (3x)^4 + \ln 2^4 = \ln \left[2^4 \times (3x)^4\right] = \ln \left[(6x)^4\right] = 4 \ln (6x) = f(2x)$ Réponse \textbf{b.} $\bullet~~$ Autre solution : $f(2x) = 4\ln (3 \times 2x) = 4 \ln (2 \times 3x) = 4\ln 2 + 4\ln (3x) = \ln 2^4 + 4\ln (3x) =$ $ \ln 16 + 4\ln (3x) = f(x) + \ln 16$. \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{\ln (x)}{x - 1}.\] On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet : $\bullet~~$Limite de la fonction $g$ au voisinage de plus l'infini : $g(x) = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{x}{x - 1}$. Or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x - 1} = 1$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. $\bullet~~$Limite de la fonction $g$ au voisinage de 1 : on a : $g(x) = \dfrac{\ln (x)}{x - 1} = \dfrac{\ln (x) - \ln (1)}{x - 1}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln (x) - \ln (1)}{x - 1} = [\ln (x)]'_{x = 1}$, nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en $x = 1$, soit $\dfrac{1}{1} = 1$ : il n'y a pas d'asymptote verticale au voisinage de 1. Réponse : \textbf{c.} %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{a.~~} une asymptote verticale %et une asymptote horizontale.&\textbf{b.~~} une asymptote verticale %et aucune asymptote horizontale.\\ %\textbf{c.~~} aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.&\textbf{d.~~} %aucune asymptote verticale .et aucune asymptote horizontale. %\end{tabularx} %\end{center} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle ]0~;~2] par: \[h(x) = x^2[1 + 2\ln (x)].\] On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0~;~2]. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~2], on a : \[h'(x) = 4x[1 + \ln (x)].\] \begin{enumerate}[resume] \item Sur l'intervalle $\left]\frac{1}{\text{e}}~;~2\right]$, la fonction $h$ s'annule : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} exactement 0 fois. &\textbf{b.~~} exactement 1 fois.\\ \textbf{c.~~} exactement 2 fois. &\textbf{d.~~} exactement 3 fois. \end{tabularx} \end{center} On a $h(x) = 0 \iff x^2(1 + 2\ln (x)) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} x^2 &=&0\\ 1 + 2\ln (x)&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&0\\ 1 + 2\ln (x)&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&0\\ 2\ln (x)&=&- 1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&0\\ \ln (x)&=&- \dfrac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&0\\ x&=&\text{e}^{- \frac{1}{2}}\end{array}\right.$ Comme 0 ne peut être solution et que $\text{e}^{- \frac{1}{2}} \in \left]\frac{1}{\text{e}}~;~2\right]$, $\left(\text{e}^{- \frac{1}{2}} \approx 0,606\: \text{et}\: \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,368\right)$ l'équation a une solution : réponse \textbf{b.} \item Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right).{} x $& \textbf{b.~~} $y = \left(6\sqrt{\text{e}}\right).{} x + 2\text{e}$\\ \textbf{c.~~} $y = 6\text{e}^{\frac{x}{2}}$ &\textbf{d.~~} $y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right) .{} x - 4\text{e}$. \end{tabularx} \end{center} Une équation de la tangente est $y - h\left(\sqrt{\text{e}}\right) = f'\left(\sqrt{\text{e}}\right)\left(x - \sqrt{\text{e}}\right)$. $\bullet~~$$h'\left(\sqrt{\text{e}}\right) = 4 \times \sqrt{\text{e}}\left(1 + \ln \left(\sqrt{\text{e}}\right)\right) = 4 \times \sqrt{\text{e}} \times \left(1 + \dfrac12\right) = 6\sqrt{\text{e}}$. $\bullet~~$$h\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \left(\sqrt{\text{e}}\right)^2\left(1 + 2 \ln \left(\sqrt{\text{e}}\right)\right) = \text{e}\ln \left(1 + 2 \times \dfrac12\ln \text{e}\right) = \text{e}\times (1 + 1) = 2\text{e}$. L'équation de la tangente s'écrit donc : $y - 2\text{e} = 6\sqrt{\text{e}}\left(x - \sqrt{\text{e}}\right) \iff y = 2\text{e} + 6x\sqrt{\text{e}} - 6\text{e}\iff y = 6x\sqrt{\text{e}} - 4\text{e}$. Réponse \textbf{d.} \item Sur l'intervalle $]0~;~2]$, le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~} 1 &\textbf{c.~~} 2 &\textbf{d.~~} 3 \end{tabularx} \end{center} La fonction $h'$ produit de fonctions dérivables sur ]0~;~2] est dérivable et sur cet intervalle : $h''(x) = 4[1 + \ln (x)] + 4x \times \dfrac{1}{x} = 4 + 4\ln (x) + 4 = 8 + 4\ln (x) = 4(2 + \ln (x)$. %De même $h''(x) = 4\times \dfrac 1x = \dfrac 4x$. Sur l'intervalle ]0~;~2], $h''(x) > 0$, donc $h'(x)$ est croissante et s'annule si $h'(x) = 0 \iff 2 + \ln (x) = 0 \iff \ln (x) = - 2 \iff x = \text{e}^{-2} \approx 0,135 \in ]0~;~2]$. $\bullet~~h''(x) > 0 \iff 4(2 + \ln (x) > 0 \iff 2 + \ln (x) > 0 \iff \ln (x) > - 2 \iff x > \text{e}^{- 2}$ (par croissance de la fonction exponentielle) ; $\bullet~~h''(x) < 0 \iff 4(2 + \ln (x) < 0 \iff 2 + \ln (x) < 0 \iff \ln (x) < - 2 \iff x < \text{e}^{- 2}$ (par croissance de la fonction exponentielle) ; $\bullet~~h''(x) = 0 \iff 4(2 + \ln (x) = 0 \iff 2 + \ln (x) = 0 \iff \ln (x) = - 2 \iff x = \text{e}^{- 2} \approx 0,135$, donc $\text{e}^{- 2} \in ]0~;~2]$. La dérivée seconde s'annule donc une seule fois sur l'intervalle ]0~;~2] en changeant de signe. La courbe $\mathcal{C}_h$ a donc un seul point d'inflexion. Réponse \textbf{b.} \item\footnote{Uniquement au Liban} $\left\{\begin{array}{l c r} u_0&=&6\\ u_{n+1}&=&\dfrac12 u_n + 3 \end{array}\right.$. Par récurrence : on démontre, que quel que soit $n \in \N,\:u_n = 6$. \emph{Initialisation} : $u_0 = 6$ : la relation est vraie au rang 0 ; \emph{Hérédité} : supposons que $u_n = 6$, pour $n \in \N$, alors $u_{n+1} = \dfrac12 \times 6 + 3 = 3 + 3 = 6$. Conclusion : la relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$, elle est vraie au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence, quel que soit $n \in \N$, \: $u_n = 6$ : la suite est constante. \emph{Remarque }: on peut constater graphiquement que les droites d'équations $y = \dfrac12 x + 3$ et $y = x$ sont sécantes au point de coordonnées (6~;~6) : ce point est un point fixe de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 6 points\hfill Thème: Fonction exponentielle } \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Principaux domaines abordés :} Suites; Fonctions, Fonction exponentielle.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par: \[f(x) = 1+x - \text{e}^{0,5x - 2}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 0,5x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 0,5x - 2 = - \infty$ et par composition de limites avec $X = 0,5x - 2$, $\displaystyle\lim_{X \to - \infty} \text{e}^X = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. \item Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1+ 0,5x\left(2 - \dfrac{\text{e}^{0,5x}}{0,5x} \times \text{e}^{-2}\right)$. On a $f(x) = 1 + \left[x - \text{e}^{0,5x - 2}\right]$ et en factorisant $0,5x$ dans le crochet : $f(x) = 1 + 0,5x\left[2 - \dfrac{\text{e}^{0,5x - 2}}{0,5x} \right] = 1+ 0,5x\left(2 - \dfrac{\text{e}^{0,5x}}{0,5x} \times \text{e}^{-2}\right)$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Avec $X = 0,5x$, on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}0,5x = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} X = + \infty$. mais $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^X}{X} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^X}{X} \times \text{e}^{-2} = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}-\dfrac{\text{e}^X}{X} \times \text{e}^{-2} = - \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}2 -\dfrac{\text{e}^X}{X} \times \text{e}^{-2} = - \infty$ Enfin par produit de limites : $\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to + \infty} 0,5x = + \infty\\ \displaystyle\lim_{x \to + \infty}2 -\dfrac{\text{e}^X}{X} \times \text{e}^{-2} = - \infty \end{array}\right. \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle : $f'(x) = 1 - 0,5\text{e}^{0,5x - 2}$. \item %Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ est l'intervalle On a dans $\R$, $f'(x) < 0 \iff 1 - 0,5\text{e}^{0,5x - 2} < 0 \iff 1 < 0,5\text{e}^{0,5x - 2} \iff 2 < \text{e}^{0,5x - 2}$ par croissance sur $\R_{+}^*$ de la fonction logarithme népérien $ \ln 2 < 0,5x - 2 \iff 2 + \ln 2 < 0,5x \iff 4 + 2\ln 2 < x$. Conclusion : $S = ]4 + 2\ln (2)~;~+\infty[$ %$]4 + 2\ln (2)~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item %Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4 + 2\ln (2)$ par $f$. On démontrerait de la même façon que $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $]- \infty~;~4 + 2\ln 2[$. La fonction $f$ est donc croissante sur $]- \infty~;~4 + 2\ln 2[$ puis décroissante sur $]4 + 2\ln (2)~;~+\infty[$. $f\left(4 + 2\ln 2 \right) = 1 + 4 + 2\ln 2 - \text{e}^{2 + \ln 2 - 2} = 5 + 2\ln 2 - \text{e}^{\ln 2} = 5 + 2\ln 2 - 2 = 3 + 2\ln 2$. C'est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{0,5x - 2} = 0$, on a par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. \item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1~;~0]$. L'intervalle $[-1~;~0]$ est inclus dans l'intervalle $]- \infty~;~4 + 2\ln 2[$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle de $f(-1) = 1 - 1 - \text{e}^{-1,5} = - \text{e}^{-1,5} < 0$ à $f(0) = 1 - \text{e}^{-2} \approx 0,85 > 0$. La fonction $f$ étant continue puisque dérivable le théorème des valeurs intermédiaires montre qu'il existe un réel unique $\alpha \in[-1~;~0]$ tel que $f(\alpha) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, \: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie à la partie A. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\] \emph{Initialisation } : On a $u_0 = 0$, puis $u_1 = f\left(u_0\right) = f(0) = 1 - \text{e}^{-2} \approx 0,85$. On a donc bien pour $n= 0$ : $u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4$. \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. On a vu dans la partie A que sur l'intervalle $]- \infty~;~4 = 2\ln 2[$, donc sur l'intervalle $]- \infty~;~4[$, la fonction est croissante et l'hypothèse de récurrence donne $f\left(u_n \right) \leqslant f\left(u_{n+1} \right) \leqslant f(4)$. Or $f(4) = 1 + 4 - \text{e}^{2 - 2} = 5 -1 = 4$. On a donc $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$. Conclusion : l'encadrement est vrai au rang 0, et s'il est vrai pour $n \in \N$, il l'est aussi pour $n + 1$. Le principe de récurrence montre donc que pour tout $n \in \N$, \: $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On notera $\ell$ la limite. Le résultat précédent montre que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 4 : elle donc convergente vers une limite $\ell$ telle que $\ell \leqslant 4$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On rappelle que $f$ vérifie la relation $\ell = f(\ell)$. %Démontrer que $\ell = 4$ $\ell = f(\ell) \iff \ell = 1 + \ell - \text{e}^{0,5\ell - 2} \iff \text{e}^{0,5\ell - 2} = 1 \iff 0,5\ell - 2 = 0$ (par croissance de la fonction logarithme népérien sur $\R_{+}^*$), d'où $0,5\ell = 2 \iff \ell = 4$. La suite $\left(u_n\right)$ a pour limite 4. \item ~ %\begin{minipage}{0.48\linewidth}On considère la fonction \textsc{valeur} écrite ci-contre dans le langage Python : % \end{minipage}\hfill %\begin{minipage}{0.48\linewidth} %\begin{tabular}{|l|}\hline %def valeur (a) :\\ %\quad u = 0\\ %\quad n = 0\\ %\quad while u $\leqslant$ a:\\ %\qquad u=1 + u - exp(0.5*u - 2)\\ %\qquad n = n+1\\ %\quad return n\\ \hline %\end{tabular} %\end{minipage} % %L'instruction \textsc{valeur}(3.99) renvoie la valeur 12. % %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. L'algorithme calcule les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ jusqu'à celui qui est supérieur à 3,99 : 12 signifie que $u_{12}$ est le premier terme supérieur à 3,99. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 6 points\hfill Thème: Fonction exponentielle } \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Principaux domaines abordés :} Géométrie dans l'espace\\ \hline \end{tabularx} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les points A$(5~;~0~;~-1)$, B$(1~;~4~;~-1)$, C(1~;~0~;~3), D(5~;~4~;~3) et E(10~;~9~;~8). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Soit R le milieu du segment [AB]. %Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$. $\bullet~~$On a R$(3~;~2~;~-1)$ ; $\bullet~~$$\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$. \item %Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point R et dont $\vect{\text{AB}}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan Pl est: $x- y - 1 =0$. Si $\vect{\text{AB}}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ on sait qu'une équation de ce plan est : $-4x + 4y + 0z = d$, avec $d \in \R$. Comme R$(3~;~2~;~-1) \in \mathcal{P}_1 \iff -12 + 8 + 0 = d \iff d = - 4$. Donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P}_1 \iff - 4x + 4y = -4 \iff x - y - 1 = 0$. \item Démontrer que le point E appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que EA = EB. On a E$(10~;~9~;~8) \in \mathcal{P}_1 \iff 10 - 9 - 1 = 0$ : cette égalité est vraie. D'autre part $\vect{\text{EA}}\begin{pmatrix}-5\\-9\\-9\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{EB}}\begin{pmatrix}-9\\-5\\-9\end{pmatrix}$. On en déduit : EA$^2 = 25 + 81 + 81 = 187$ et EA$^2 = 81 + 25 + 81 = 187$. EA$^2 = \text{EB}^2 \Rightarrow \text{EA} = \text{EB}$. \end{enumerate} \item On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$. \begin{enumerate} \item %Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants. On a vu que le plan $\mathcal{P}_1$ a pour vecteur normal $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$ et $\mathcal{P}_2$ a pour vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants. \item %On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. %Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : %\[\left\{\begin{array}{l c r} %x&=&2+t\\ %y&=&1+t \\ %z&=&t\end{array}\right.(t \in \R).\] Si $M(x~;~y;~z)$ est commun aux deux plans ses coordonnées vérifient les équations des deux plans, donc le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x - y - 1 &=& 0\\ x - z - 2 &=& 0 \end{array}\right.$. En posant $z = t$ le système devient : $\left\{\begin{array}{l c l} x - y - 1 &=& 0\\ x - z - 2 &=& 0\\ z&=&t \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l} x - 1 &=&y\\ x &=&z + 2\\ z&=&t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 1 &=&y\\ x &=&t + 2\\ z&=&t \end{array}\right. \iff$ $\left\{\begin{array}{l c l} t + 2 - 1 &=&y\\ x &=&t + 2\\ z&=&t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&t + 2\\ y&=&t + 1\\ z&=&t \end{array}\right.$, avec $t \in \R$. \end{enumerate} \item %On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$. %Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées. Si $\Omega(x~;~y~;~z)$ est commun à la droite $\Delta$ et au plan $\mathcal{P}_3$ ses coordonnées vérifient l'équation du plan et les équations paramétriques de la droite, soit le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t + 2\\ y&=&t + 1\\ z&=&t\\ y + z - 3&=&0 \end{array}\right.$. En remplaçant $x,\:y,\:z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation du plan on obtient : $t + 1 + t - 3= 0 \iff 2t - 2 = 0 \iff 2t = 2 \iff t = 1$. On a donc $\Omega\left(3~;~2~;~1 \right)$. \end{enumerate} \medskip Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$,\: $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD]. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item %Justifier que $\Omega \text{A} = \Omega \text{B} = \Omega \text{C} = \Omega \text{D}$. Sans admettre que les plans $\mathcal{P}_1$,\: $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD], on peut calculer : $\vect{\Omega \text{A}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix},\quad \vect{\Omega \text{B}}\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}, \quad \vect{\Omega \text{C}}\begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix},\quad \vect{\Omega \text{D}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$. On a donc $\Omega\text{A}^2 = 4 + 4 + 4 = 12, \: \Omega\text{B}^2 = 12,\: \Omega\text{C}^2 = 12, \: \Omega\text{D}^2 = 12$ et par conséquent : $\Omega\text{A} = \Omega\text{B} = \Omega\text{C} = \Omega\text{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$. \item %En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont %on précisera le centre et le rayon. Le résultat précédent montre que $\Omega$ est équidistant de A, B, C et D donc est le centre de la sphère de rayon $2\sqrt{3}$ contenant A, B, C et D. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}