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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technologique Hôtellerie},
pdftitle = {Métropole juin  2009},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole juin 2009}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Le gérant d'un restaurant développe une nouvelle formule de restauration rapide, en ouvrant son établissement uniquement le midi. Il propose un menu comprenant un plat et un dessert. Les clients ont le choix entre deux plats (viande ou poisson) et trois desserts (pâtisserie, laitage ou fruit).
%
%Au cours d'un mois où il teste sa nouvelle activité, il recense toutes les commandes pour mieux connaître sa clientèle.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Parmi les $600$~repas servis au cours de ce mois, $72$\:\% comprenaient un plat de viande.
%\item $45$\:\% des clients ont pris une pâtisserie ; parmi eux, $44$ avaient choisi le plat de poisson.
%\item Parmi les $138$ repas comprenant un fruit comme dessert, $73$ comprenaient du poisson.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant, qui récapitule les résultats de l'enquête.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Pâtisserie	&Laitage&Fruit	&Total\\ \hline
Viande					&226		&141	&65		&432\\ \hline
Poisson					&44			&51		&73		&168\\ \hline
Total					&270		&192	&138	&600\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %On choisit un de ces clients au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.

%On définit les évènements suivants :
%
%$A$ : \og Le client a pris du poisson. \fg
%
%$B$ : \og Le client a pris une pâtisserie. \fg
%
%Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B (vous donnerez les valeurs exactes).
$p(A) = \dfrac{168}{600} = \dfrac{28}{100} = 28\,\% = 0,28$.

$p(B) = \dfrac{270}{600} = \dfrac{27}{60} = \dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100} = 45\,\% = 0,45$.
\item  %Dans la suite de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer sa probabilité.
$A \cap B$ : \og Le client a pris du poisson et une pâtisserie \fg.

$(A \cap B) = \dfrac{44}{600} = \dfrac{11}{150} \approx 0,07$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
$A \cup B$ : \og Le client a pris du poisson ou une pâtisserie \fg.

$(A \cap B) = \dfrac{168 + 270 - 44}{600} = \dfrac{394}{600} \approx 0,66$.
 	\end{enumerate}
\item  %On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont mangé de la viande. Calculer la probabilité qu'il ait pris un fruit en dessert.
432 personnes ont pris de la viande ; parmi elles 65 ont pris un fruit ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{65}{432} \approx 0,15$.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Tous les résultats de la partie A seront arrondis à l'unité.}

\medskip

%Afin de prévoir son approvisionnement, le gérant de ce restaurant estime que, à la suite de ses efforts de publicité, le nombre de repas servis mensuellement augmentera de 15\,\% tous les mois.
%
%On note $u_{0}$ le nombre de repas servis durant le mois de test ($u_{0} = 600$), $u_{1}$ le nombre de repas servis durant le premier mois d'exploitation, et $u_{n}$ le nombre de repas servis au cours du $n$-ième mois.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $u_{1}$ et $u_{2}$.
Augmenter de 15\,\%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{15}{100} = 1 + 0,15 = 1,15$.

Donc $u_1 = u_0 \times 1,15 = 600 \times 1,15690$ ;

$u_2 = u_ \times 1,15 = 690 \times 1,15 = 793,5 \approx 794$.
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

%Quelle est sa raison ?
La suite est géométrique de raison 1,15 de premier terme $u_0 = 600$.
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $r$ étant la raison, on a pour tout naturel $n, \: u_n = u_0 \times r^n$, doit ici :

$u_n = 600 \times 1,15^n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre de repas prévus le sixième mois d'exploitation.
On a $u_6 = 600 \times 1,15^6 =\approx \np{1387,84}$ soit environ \np{1388}.
		\item %Calculer le nombre de repas prévus le dix-huitième mois d'exploitation. Ce nombre vous parait-il réaliste ? Justifier.
On a $u_{18} = 600 \times 1,15^{18} \approx \np{7425}$.

Ce nombre parait improbable et impossible à réaliser. Sur un long terme ce modèle n'est pas réaliste.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

%Compte tenu des limites imposées par la taille de son restaurant, le gérant étudie une autre estimation du nombre de repas servis le $x$-ième mois. Elle est donnée par la fonction $f$ définie par :
\[f(x) = \np{2000} - \np{1400}\text{e}^{-0,14x},\]

%pour $x$ compris dans l'intervalle [0~;~18].

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f'(x) = 196\text{e}^{-0,14x}$.
Sur l'intervalle [0~;~18], $f$ est dérivable et $f'(x) = - 0,14 \times \left(- \np{1400}\text{e}^{-0,14x} \right) = 196\text{e}^{-0,14x}$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$  lorsque $x$ varie dans l'intervalle [0~;~18], puis dresser le tableau de variations de $f$.
On sait que quel que soit le réel $x,\: \text{e}^{-0,14x} > $, donc $f'(x) > 0$ sur [0~;~18].

La fonction est donc croissante sur [0~;~18] de $f(0) = \np{2000} - \np{1400} = 600$ à $f(18) = \np{2000} - \np{1400}\text{e}^{-0,14\times 18}\approx \np{1887,36}$.
\item %Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs à la dizaine.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0		&3			&6			&9			&12			&15			&18\\ \hline
$f(x)$	&600	&\np{1080}	&\np{1400}	&\np{1600}	&\np{1740}	&\np{1830}	&\np{1890}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item ~%Représenter, sur une feuille de papier millimétré, la fonction $f$ dans un repère orthogonal (échelles : 1~cm pour 1~unité en abscisses, 1~cm pour $100$~unités en ordonnées).
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.006cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-100)(18,2000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(18,2000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(18,2000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{2000 1400 2.71828 0.14 x mul exp div sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](18,0)(18,1887)(0,1887)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,1800)(13.9,1800)(13.9,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Selon cette nouvelle estimation, combien de repas le gérant prévoit-il de vendre le dix-huitième mois ? (arrondir à l'entier le plus proche)
$\bullet~~$Par le calcul pour $x = 18$, \: $f(18) \approx \np{1887}$~repas.

$\bullet~~$Graphiquement : la droite d'équation $x = 18$ coupe la courbe en un point d'ordonnée approximative\np{1890}
\item %D'après le graphique, à partir de quel mois dépassera-t-il les \np{1800}~repas mensuels ?

%On fera apparaître sur le graphique les constructions utiles.
La droite d'équation $y = \np{1800}$ coupe la courbe en un point d'abscisse approximative $13,9$, donc il faudra attendre le 14\up{e} mois pour dépasser les \np{1800}~repas..
\end{enumerate}
\end{document}