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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Hôtellerie ~\decofourright\\Métropole--juin 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

%Cet exercice a pour but d'étudier l'évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation de nature expérimentale.
%
%\medskip
% 
%On dépose un morceau de viande sur un comptoir l'été à 14~h~00, la température avoisine les 35\degres~C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes.
% 
%On note $u_{0}$ le nombre de bactéries à 14~h~00, $u_{1}$ le nombre de bactéries à 14~h~15, $u_{2}$ le nombre de bactéries à 14~h~30, et $u_{n}$ le nombre de bactéries $n$ quarts d'heure après 14~h~00, $n$ étant un entier naturel.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le temps de l'expérience) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Heure 						&14 h 00	&14 h 15&14 h 30&14 h 45&15 h 00\\ \hline 
Rang : $n$					&0 			&1 		&2 		&3 		&4\\ \hline 
Nombre de bactéries $u_{n}$	&100		&200	&400	&800	&\np{1600}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item %Si $u_{n}$ est le nombre de bactéries à un moment déterminé, $u_{n+1}$ correspond au nombre de bactéries 15~minutes plus tard.
 
%Quelle est la relation entre $u_{n}$ et $u_{n+1}$ ? 
On a pour tout naturel $n,\: u_{n+1} = 2u_n$.
\item %Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie précédemment et sa raison. 
La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $u_0 = 100$.
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que, $r$ étant la raison, $u_n = u_0 \times r^n$, soit ici : $u_n = 100 \times 2^n$. 
\item %Calculer le nombre de bactéries à 17 h 00.
Il s'est écoulé 12 quarts d'heure ; $u_{12} = 100 \times 2^{12} = \np{409600}$~(bactéries). 
\item %On estime qu'à partir de \np{150000}~bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau impropre à la consommation pour l'être humain.
 
%Jusqu'à quelle heure, arrondie au quart d'heure, l'être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande ? 
Il faut résoudre l'inéquation :

$100 \times 2^n < \np{150000} \iff 2^n < \np{1500} \iff n \ln 2 < \ln \np{1500} \iff n < \dfrac{\ln \np{1500}}{\ln 2}$.

Or $\dfrac{\ln \np{1500}}{\ln 2}  \approx 10,5$.

Il faut qu'il s'écoule au maximum 10 quarts d'heure soit 2 h et demie.

La viande est propre à la consommation jusqu'à 14 h 30 min.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

%Un restaurateur voudrait maintenant faire une étude sur le coût unitaire de fabrication d'un menu proposé dans sa carte.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~30] par : 

\[f(x) = x + 50 -18\ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer que la dérivée est $f'(x) = \dfrac{x -18}{x}$.
Sur l'intervalle [1~;~30], on a $f'(x) =  1 - 18 \times \dfrac{1}{x} = 1 -\dfrac{18}{x} = \dfrac{x - 18}{x}$.

\item %Étudier le signe de la dérivée sur l'intervalle [1~;~30]. 
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $x - 18$.

$\bullet~~$$x - 18 > 0 \iff x > 18$, donc $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $]18~;~30]$ ;

$\bullet~~$$x - 18 < 0 \iff x < 18$, donc $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $[1~;~18[$ ;

$\bullet~~$$x - 18 = 0 \iff x = 18$, donc $f'(18) = 0$.
\item %En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [1~;~30].
De la question précédente, il découle que :

$\bullet~~$$f$ est décroissante sur  $[1~;~18[$ de $f(1) = 51$ à $f(18) = 68 - 18\ln 18$, puis croissante de $f(18)$ à $f(30) = 80 - 18 \ln 30$.
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant: (on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près).
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&1 	&5 		&10 	&15 	&18 	&20 	&25 	&30\\ \hline
$f(x)$	&51	&26,03	&18,55	&16,26	&15,97	&16,08	&17,06	&18,78\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  ~%Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormal : 

%Unités graphiques : 1~cm pour 2~unités sur les deux axes.
\begin{center}
\psset{unit=0.3cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(0,0)(31,52)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,xsubticks=5]{->}(0,0)(0,0)(31,52)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,xsubticks=1](0,0)(0,0)(31,52)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{x 50 add x ln 18 mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](18,0)(18,15.97)(0,15.97)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](0,30)(3.74,30)(3.74,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip

%Le coût total de fabrication de $x$ menus \textbf{en euros}, est donné par la fonction :
 
\[g(x) = x^2 + 50x - 18x \ln x\quad  \text{où}\,\,  x\:\: \text{est le nombre de menus fabriqués.}\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le coût unitaire d'un menu est égal à $f(x)$. 
Le coût unitaire d'un menu est égal à $\dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{x^2 + 50x - 18x \ln x}{x} = \dfrac{x(x + 50 - 18 \ln x)}{x} = x + 50 - 18 \ln x = f(x)$.
\item %Déterminer alors le nombre de menus qu'il faut servir pour que le coût unitaire soit minimal. Quel est ce coût ?
On a vu que la fonction $f$ a un minimum pour $x = 18$ égal à $f(18) \approx 15,97$. 
\item %Un menu est vendu 30~\euro. Combien faut-il vendre de menus pour ne pas être en déficit ?

%Faire apparaître les traits de construction sur le graphique et répondre à la question. 
L'horizontale $y = 30$ représente la recette pour un repas et pour $x$ repas servis le coût unitaire est $f(x)$ ; il faut donc que la droite soit au dessus de la courbe. 

La droite $y = 30$ coupe la courbe coût unitaire en un point dont l'abscisse est à peu près : 3,75.

Pour ne pas être en déficit  il faut faire au moins 4 repas.
\end{enumerate}
\end{document}