\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Métropole Sujet 2 21 mars 2023 - corrigé}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[np]{numprint} %\renewcommand\arraystretch{1.3} %\frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2 - corrigé} \lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, Maroc}} \rfoot{\small{21 mars 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole\footnote{Antilles-Guyane, Maroc} 21 mars 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ %Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\ %Aucune justification n'est demandée.\\ %Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.} % %\bigskip Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux \og mondes \fg : soit le monde A, soit le monde B. On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs. Lorsqu'il joue une partie, on admet que: \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac25$ ; \item[$\bullet~~$] si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu'il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ; \item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$. \end{itemize} On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le joueur choisit le monde A \fg{}; \item[$\bullet~~$] $B$ : \og Le joueur choisit le monde B \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $G$ : \og Le joueur gagne la partie \fg. \end{itemize} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} On sait donc que $P(A)=\dfrac{2}{5}$, $P_{A}(G)=\dfrac{7}{10}$ et $P(G)=\dfrac{12}{25}$. \end{tabular} \begin{enumerate} \item La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.~~} $\dfrac{7}{10}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{25}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{25}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{24}{125}$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} $P(A\cap G)=P(A)\times P_{A}(G)=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10}=\dfrac{7}{25}$ \hfill\textbf{Réponse c.} \end{tabular} \item La probabilité $P_B(G)$ de l'événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{15}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{5}{12}$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} $P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$ D'après la formule des probabilités totales: $P(G)=P(A\cap G)+P(B\cap G)$ donc $P(B\cap G)=P(G)-P(A\cap G)=\dfrac{12}{25}-\dfrac{7}{25}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}$. $P_{B}(G) = \dfrac{P(B\cap G)}{P(B)} =\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{3}$ \hfill\textbf{Réponse b.} \end{tabular} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, un joueur effectue 10 parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de succès sur 10 parties; la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$. \end{tabular} \begin{enumerate}[resume] \item La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.~~} $0,859$&\textbf{b.~~}0,671&\textbf{c.~~}0,188&\textbf{d.~~} 0,187 \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} $P(X=6)=\ds\binom{10}{6}\times \left ( \dfrac{12}{25}\right )^{6}\times \left (1-\dfrac{12}{25}\right )^{10-6} \approx 0,188$ \hfill\textbf{Réponse c.} \end{tabular} \item On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.~~} $n = 2$&\textbf{b.~~} $n = 3$&\textbf{c.~~} $n = 4$&\textbf{d.~~} $n = 5$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} On cherche $n$ tel que $P(X\leqslant n) \approx 0,207$; à la calculatrice, on trouve $n=3$. \hfill\textbf{Réponse b.} \end{tabular} \item La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.~~} $1 - \left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{b.~~} $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$&\textbf{c.~~} $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{d.~~}$1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} $P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1-\ds\binom{10}{0}\left (\dfrac{12}{25}\right )^{0}\left (1-\dfrac{12}{25}\right )^{10-0}=1-\left (\dfrac{13}{25}\right )^{10}$ \hfill\textbf{Réponse d.} \end{tabular} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique. Au début de l'étude la population est de \np{100000}~insectes. Pour préserver l'équilibre du milieu naturel le nombre d'insectes ne doit pas dépasser \np{400000}. \bigskip \textbf{Partie A : Étude d'un premier modèle en laboratoire} \medskip L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60\,\% chaque mois. En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l'évolution de la population d'insectes à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0 = 0,1$. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n = 0,1 \times 1,6^n$. Augmenter de 60\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{60}{100}=1,6$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,6$. La forme explicite d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ est: $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n = 0,1 \times 1,6^n$ pour tout $n$ de $\N$. \item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $1,6>1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 1,6^n = +\infty$ On en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,1\times 1,6^n = +\infty$ et donc que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$. \item On résout l'inéquation $u_n > 0,4$. $u_n>0,4 \iff 0,1\times 1,6^n >0,4 \iff 1,6^n >4 \iff \ln\left (1,6^n\right ) > \ln(4) \iff n\times \ln(1,6)>\ln(4)\\ \phantom{u_n>0,4} \iff n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)}$ Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)}\approx 2,95$, donc le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est 3. \item %Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse. $u_3>0,4$ signifie que le nombre d'insectes dépasse \np{400000} dès le 3\ieme{} mois; selon ce modèle le milieu naturel n'est donc pas préservé. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude d'un second modèle} \medskip En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation. Ils modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0 = 0,1$ et, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = 1,6v_n - 1,6v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n,\: v_n$ est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. \medskip \begin{enumerate} \item $v_1=1,6v_0 - 1,6 v_0^2 = 1,6\times 0,1 - 1,6\times 0,1^2 = 0,144$. Le nombre d'insectes au bout d'un mois est donc égal à \np{144000}. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$ par $f(x) = 1,6x - 1,6x^2$. \begin{enumerate} \item On résout l'équation $f(x) = x$. $f(x)=x \iff 1,6x-1,6x^2=x \iff 0,6x - 1,6x^2=0 \iff x\left (0,6-1,6x\right )=0\\ \phantom{f(x)=x} \iff x=0 \text{ ou } 0,6-1,6x=0 \iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{0,6}{1,6} \iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{3}{8}$ Les deux solutions appartiennent à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$, donc l'équation $f(x)=x$ admet deux solutions dans cet intervalle: 0 et $\dfrac{3}{8}$. \item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$. $f'(x)=1,6\times 1 - 1,6\times 2x = 1,6\left (1-2x\right )$ $x\in\left[0~;~\dfrac12\right]$ donc $x\leqslant \dfrac{1}{2}$ et donc $1-2x\geqslant 0$. Sur $\left[0~;~\dfrac12\right]$, $f'(x)\geqslant 0$ donc $f$ est croissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On va montrer par récurrence que la propriété $n$, $0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac12$ est vraie pour tout entier naturel $n$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} $v_0=0,1$ et on a vu que $v_1= 0,144$; on a donc $0 \leqslant v_0 \leqslant v_1 \leqslant \dfrac{1}{2}$. La propriété est donc vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac12$; c'est l'hypothèse de récurrence. On a: $0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac12$ et on sait que la fonction $f$ est croissante sur $\left[0~;~\dfrac12\right]$; on en déduit que: $f(0) \leqslant f(v_n) \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f\left (\dfrac12\right )$. $f(0)=0$; $f(v_n)=v_{n+1}$; $f(v_{n+1})=v_{n+2}$ et $f\left (\dfrac{1}{2}\right )=1,6\times \dfrac{1}{2}-1,6\times \left (\dfrac{1}{2}\right )2=0,4$ Donc $f(0) \leqslant f(v_n) \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f\left (\dfrac12\right )$ équivaut à $0 \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f(v_{n+2}) \leqslant 0,4$ ce qui entraine $0 \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f(v_{n+2}) \leqslant \dfrac{1}{2}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n$; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout $n$, on a: $0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac12$. \item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. \begin{list}{\textbullet}{On sait que:} \item $v_n \leqslant v_{n+1}$ pour tout $n$, donc la suite $(v_n)$ est croissante; \item $v_n\leqslant \dfrac{1}{2}$ pour tout $n$, donc la suite $(v_n)$ est majorée par $\dfrac{1}{2}$. \end{list} La suite $(v_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, on peut dire que la suite $(v_n)$ est convergente. On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$. \item %Déterminer la valeur de $\ell$. La suite $(v_n)$ est croissante et admet pour limite $\ell$; donc pour tout $n$, on aura $v_n \leqslant \ell$. En particulier $v_1\leqslant \ell$ donc $\ell\geqslant 0,1$. La limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$ donc c'est soit $0$, soit $\dfrac{3}{8}$. Mais $\ell\geqslant 0,1$ donc $\ell$ ne peut être égale à 0. Donc $\ell=\dfrac{3}{8}=0,375$. Pour tout $n$, on aura $v_n\leqslant \ell$, donc $v_n \leqslant 0,375$; il y aura donc toujours moins de \np{375000} insectes. Donc, selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel sera préservé. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{enumerate}[resume] \item On donne ci-contre la fonction \texttt{seuil}, écrite en langage Python. \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \item %Qu'observe-t-on si on saisit \texttt{seuil(8.4)} ? La fonction \texttt{seuil(a)} donne la première (et plus petite) valeur de \texttt{n} telle que \texttt{v>=a}, c'est-à-dire telle que $v_n\geqslant a$. On a vu que $v_n\leqslant 0,375$ pour tout $n$; il n'y a donc pas de valeur de $n$ pour laquelle $v_n\geqslant 0,4$. Le programme ne s'arrête jamais. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.36\linewidth} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline def seuil(a) :\\ \qquad v=0.1\\ \qquad n=0\\ \qquad while v0$, est réalisé pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ et vaut $f\left (-\dfrac{b}{2a}\right )$. Donc le minimum de $2t^2 - 8t + 11$ est réalisé pour $t=-\dfrac{-8}{2\times 2}=2$, et vaut $2\times 2^2 -8\times 2 + 11 = 3$. On en déduit que $\text{AH}=\ds\sqrt{3}$. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point A et H$_1$ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}_1$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$. La droite $\mathcal{D}_1$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ donc le vecteur $\vect{n_1}$, normal au plan $\mathcal{P}_1$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}_1$. De plus la droite $\mathcal{D}_1$ passe par le point A. Elle a donc pour représentation paramétrique: $\left \{ \begin{array}{l !{=} r l} x & x_{\text A} + 2t\\ y & y_{\text A} +t & t\in \R\\ z & z_{\text A} -t \end{array} \right .$ c'est-à-dire $\left \{ \begin{array}{l !{=} r l} x & 1 + 2t\\ y & 1 +t & t\in \R\\ z & 1 -t \end{array} \right .$ \item %En déduire que le point H$_1$ a pour coordonnées $\left(- \dfrac13~;~\dfrac13~;~\dfrac53\right)$. La droite $\mathcal{D}_1$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ donc le projeté orthogonal de A sur $\mathcal{P}_1$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}_1$ et de $\mathcal{P}_1$; ses coordonnées vérifient le système: $\left \{ \begin{array}{r !{=} l} x & 1 + 2t\\ y & 1 +t \\ z & 1 -t\\ 2x +y-z+2 & 0 \end{array} \right .$ Donc $t$ vérifie $2(1+2t) +(1+t) -(1-t) +2=0$, soit $2+4t+1+t-1+t+2=0$, ce qui donne $t=-\dfrac{2}{3}$. $x=1+2t = 1-\dfrac{4}{3} =-\dfrac{1}{3}$, $y=1+t = 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ et $z=1-t= 1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$ Le point H$_1$ a donc pour coordonnées $\left (-\dfrac{1}{3}\;;\; \dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{5}{3} \right )$. \end{enumerate} \item Soit H$_2$ le projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}_2$. \begin{minipage}{0.48\linewidth} %\begin{enumerate}[resume] On admet que H$_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac43~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)$ et que H a pour coordonnées (0~;~0~;~2). Sur le schéma ci-contre, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points A, H$_1$, H$_2$, H. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \scalebox{0.8}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.4,8.6) %\psgrid \pspolygon(0,2.7)(5.5,0.5)(7.2,4.3)(1.7,6.5) \psline(2.5,0)(2.5,4.7)(4.2,8.4)(4.2,5.3) \psline(1.8,0)(3.1,2.7) \psline[linestyle=dashed](3.1,2.7)(3.6,3.62) \psline[linestyle=dashed](4.2,5.3)(4.2,1.1) \psline(3.6,3.62)(5.6,8) \psline(4.2,1.1)(3.7,0) \pspolygon(3.1,2.7)(4.6,2.3)(4.6,3.4)(3.1,3.8)%HH2AH1 \uput[l](2,0.4){$\Delta$}\rput(0.4,2.8){$\mathcal{P}_2$}\rput(4,7.4){$\mathcal{P}_1$} \uput[dl](3.1,2.7){H}\uput[dr](4.6,2.3){H$_2$}\uput[ur](4.6,3.4){A}\uput[ul](3.1,3.8){H$_1$} \end{pspicture} } \end{minipage} %Montrer que AH$_1$HH$_2$ est un rectangle. Le vecteur $\vect{\text{AH}_1}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -\frac{1}{3}-1 \\ \frac{1}{3}-1 \\ \frac{5}{3}-1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$. Le vecteur $\vect{\text{H}_2\text{H}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0- \frac{4}{3}\\ 0- \frac{2}{3} \\ 2- \frac{4}{3} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$. $\vect{\text{AH}_1} = \vect{\text{H}_2\text{H}}$ donc la quadrilatère AH$_1$HH$_2$ est un parallélogramme. La droite (AH$_1$) est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ et H$_1$ appartient à ce plan; donc (AH$_1$) est perpendiculaire à toutes les droites de $\mathcal{P}_1$ passant par H$_1$, en particulier la droite (HH$_1$). Le parallélogramme AH$_1$HH$_2$ possède un angle droit donc c'est un rectangle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. % %La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=2.25cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-0.8)(2.4,2.6) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0.8)(2.4,2.6) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-3}{2.4}{2.71828 x neg exp 1 add ln} \psplotTangent[linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp 1 add ln} \psline[linestyle=dashed](-3,2.7)(3.4,-0.45) \psdots(-2.2,2.3)(2.3,0.1) \uput[u](-2.2,2.3){$M_a$}\uput[u](2.3,0.1){$N_a$} \uput[dl](-1.6,1.8){\red $\mathcal{C}$}\uput[d](2.3,-0.43){$T_0$} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On détermine la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. $\ds\lim_{x\to -\infty} -x = +\infty$ et $\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to -\infty} 1+\e^{-x}=+\infty$. $\ds\lim_{x\to -\infty} 1+\e^{-x}=+\infty$ et $\ds\lim_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to -\infty} \ln\left (1+\e^{-x}\right )=+\infty$. Donc $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$. \item On détermine la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-x} = 0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} 1+\e^{-x} = 1$ . $\ds\lim_{X\to 1} \ln(X)= \ln(1) = 0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \ln\left (1+\e^{-x}\right ) = 0$. Donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$. %Interpréter graphiquement ce résultat. On en déduit que la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. $f(x)$ est de la forme $\ln(u(x))$ avec $u(x)=1+\e^{-x}$. Sa dérivée est de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ donc $f'(x)= \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} = \dfrac{-\e^{-x}\times \e^{x}}{\left (1+\e^{-x}\right )\times \e^{x}} = \dfrac{-1}{\e^{x}+1}=\dfrac{-1}{1+\e^{x}}$ %Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$,\: $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x}$. \item Pour tout réel $x$, on a $\e^{x}>0$ donc $f'(x)<0$. On dresse le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & -\infty & \esp & +\infty \\ \hline f'(x) & & \pmb{-} & \\ \hline & \Rnode{max}{+\infty} & & \\ f(x) & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max}{min} %\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}} %\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{enumerate} \item On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. \begin{enumerate} \item La tangente $T_0$ a pour équation $y=f'(0)\left (x-0\right )+f(0)$. $f(0) = \ln\left (1+\e^{0}\right )=\ln(2)$ et $f'(0) = \dfrac{-1}{1+\e^{0}} = -\dfrac{1}{2}$ $T_0$ a donc pour équation: $y=-\dfrac{1}{2}x + \ln(2)$. \item %Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$. $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^{x}}$ donc $f''(x)= \dfrac{0 - (-1)\times \e^{x}}{(1+\e^{x})^2} = \dfrac{\e^{x}}{(1+\e^{x})^2}$ Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $f''(x)>0$. donc la fonction $f$ est convexe sur $\R$. \item %En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a: $f(x) \geqslant - \dfrac12x + \ln (2)$. La fonction $f$ est convexe, donc la courbe $\mathcal{C}$ est située au dessus de toutes ses tangentes, en particulier $T_0$. Donc pour tout réel $x$, on a $f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2} x + \ln(2)$. \end{enumerate} \item Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a\left(-a~;~ f(-a)\right)$ et $N_a\left(a~;~ f(a)\right)$. \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = - x$. $f(x)-f(-x)=\ln \left (1+\e^{-x}\right ) - \ln \left (1+\e^{x}\right ) = \ln \left ( \dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^{x}}\right ) = \ln \left ( \dfrac{\e^{-x}\left (\e^{x}+1\right )}{1+\e^{x}}\right ) = \ln \left (\e^{-x}\right )= -x$ \item% En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles. La droite $\left(M_aN_a\right)$ a pour coefficient directeur: $\dfrac{y_{N_a}-y_{M_a}}{x_{N_a}-x_{M_a}} = \dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} = \dfrac{-a}{2a}=-\dfrac{1}{2}$ La droite $T_0$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$. Les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}