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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS France--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]septembre 2008}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

%Le tableau suivant donne, en milliards d'euros, les dépenses de santé en France de 2001 à 2007. Ces dépenses sont déterminées au 31 décembre de chaque année.
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année						&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006	&2007\\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
%Dépenses de santé en
% milliards d'euros : $y_{i}$&122	&130	&137,5	&145	&150	&155	&157,5\\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\emph{D'après des données de l'INSEE}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
	
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le taux d'augmentation des dépenses de santé entre 2001 et 2007 (on donnera un arrondi du résultat, exprimé en pourcentage, à 0,01\,\% près).
Le taux d'augmentation des dépenses de santé entre 2001 et 2007 est égal à :

$\dfrac{157,5 - 122}{122} \times 100 \approx 29,10\,\%$ à 0,01\,\% près.
		\item  %Calculer les dépenses en médicaments en 2007 sachant qu'elles représentaient 21\,\% des dépenses totales de santé au cours de cette même année (on arrondira le résultat au milliard près).
Les médicaments représentent : $157,5 \times \dfrac{21}{100} \approx 33,08$~milliards d'euros. 
	\end{enumerate}
\item ~%Sur l'une des feuilles de papier millimétré fournie, représenter par un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ la série statistique correspondant aux données du tableau ci-dessus. On utilisera un repère orthogonal du plan tel que :
%	\begin{itemize}
%	\item[$\bullet~$] 2~cm représentent une année sur l'axe des abscisses,
%	\item[$\bullet~$] 2~cm représentent 10~milliards d'euros sur l'axe des ordonnées (cet axe sera gradué de 100 à 200).
%	\end{itemize}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(9.5,75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(9.5,75)
\psdots(1,22)(2,30)(3,37.5)(4,45)(5,50)(6,55)(7,57.5)
\psdots[linecolor=blue](4,42.4)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=.25pt,linecolor=blue]{0}{9.2}{5.9 x mul 18.6 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,65.8)(0,65.8)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,70)(8.712,70)(8.712,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira son ordonnée au dixième). Placer le point G sur le graphique.
On a G(4~;~142,4)
		\item   %Soit $(\mathcal{D})$ la droite de coefficient directeur $5,9$ passant par le point G, déterminer une équation cartésienne de la droite $(\mathcal{D})$. Tracer la droite $(\mathcal{D})$ sur le graphique.
Voir ci-dessus.
		\item   %Cette droite vous paraît-elle représenter un bon ajustement du nuage de points ? Pourquoi ?
Oui car les points sont pratiquement alignés sur cette droite.
	\end{enumerate}
\item %On admet que l'ajustement réalisé par la droite $(\mathcal{D})$ est valable jusqu'en 2009. Déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item  %une estimation des dépenses de santé en 2008,
On lit a peu près 166~milliards.
		\item  %l'année au cours de laquelle ces dépenses dépasseront 170~milliards d'euros.
Les dépenses dépasseront les 170 milliards la 9\up{e} année.
	\end{enumerate}
\item  %Justifier par un calcul les résultats de la question \textbf{4}.
$\bullet~~$2008 correspond au rang $x = 8$, d'où l'estimation des dépenses

$5,9 \times 8 + 118,6 = 165,8$~milliards.

$\bullet~~$$5,9x + 118,6 > 170$ soit $5,9x > 51,4$ et $x > \dfrac{51,4}{5,9}$. Or $\dfrac{51,4}{5,9} \approx 8,7$. Il faut donc que $x$ soit au moins égal à $9$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~7] par :

\[f(t) = 0,6\text{e}^{-0,8t} + 0,84.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(t)$.
		On a $f'(t) = 0,6 \times (- 0,8)\text{e}^{-0,8t} = - 0,48\text{e}^{-0,8t}$.
		\item  %Étudier le signe de $f(t)$ sur l'intervalle [0~;~7] et dresser le tableau de variations de $f$.
On sait que $\text{e}^{-0,8t} > 0$ quel que soit le réel $t$ ; donc $f'(t) < 0$ sur [0~;~7].
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près).
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$f(t)$	&1,44	&1,11	&0,96	&0,89	&0,86	&0,85	&0,84	&0,84 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

 	\end{enumerate}
	
\item %On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. On prendra 2~cm par unité sur l'axe des abscisses et 10~cm par unité sur l'axe des ordonnées.

%On appelle (T) la droite tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que le coefficient directeur de la droite (T) est $- 0,48$.
Le coefficient directeur de la droite (T) est égal au nombre dérivé $f'(0) =  - 0,48\text{e}^{-0,8\times 0} = - 0,48$.
		\item  %Donner une équation cartésienne de la droite (T).
Un point $M(x~;~y)$ appartient à (T) si :
		
$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ soit $y - 1,44 = - 0,48x$ ou enfin $y = - 0,48x + 1,44$.
		\item  %Calculer les coordonnées du point d'intersection I de la droite (T) avec l'axe des abscisses.
Le point I de (T) a une ordonnée nulle, donc :
		
$0 = - 0,48x + 1,44$ ou $0,48x = 1,44$ et $x = \dfrac{1,44}{0,48} = 3$. Donc I(3~;~0).
	\end{enumerate}
\item ~%Sur la seconde feuille de papier millimétré fournie, tracer la courbe $\mathcal{C}$,la droite (T) et placer le point I dans le repère précédent.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=7.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(8,1.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{0.6 2.71828 0.8 x mul exp div 0.84 add}\uput[u](6.8,0.83){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot{0}{3}{1.44 0.48 x mul sub}\uput[l](3.3,0.1){(T)}
\uput[u](7.8,0){$t$}\uput[r](0,1.45){$f(t)$ : glycémie en g/l}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1.24)(0.51,1.24)(0.51,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.94)(2.24,0.94)(2.24,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On injecte du glucose à un patient par voie intraveineuse. On choisit comme instant $t = 0$ celui où le glucose commence à être éliminé par l'organisme.
%
%La fonction $f$ de la partie A donne, à l'instant $t$ exprimé en heures, la glycémie exprimée en grammes par litre de sang.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Compléter le graphique de la partie A en mettant la légende sur les axes.
Voir ci-dessus.
\item  %Calculer la glycémie de ce patient au bout d'une heure et trente minutes (on arrondira le résultat à $10^{-2}$ près).
La glycémie de ce patient au bout d'une heure et trente minutes est égale à :

$f(1,5) = 0,6\text{e}^{- 0,8\times 1,5} + 0,84 \approx 1,02$~(g/l).
\item  Déterminer graphiquement : 
	\begin{enumerate}
		\item %le temps au bout duquel la glycémie descend à $1,24$~grammes par litre.
On lit graphiquement $x \approx 0,5$ soit 30 minutes. 
		\item %le temps, mesuré depuis l'instant $t = 0$, au bout duquel la glycémie aura diminué de $0,5$~gramme par litre.
%(on arrondira chaque résultat à cinq minutes près et on fera apparaître les traits de construction utiles à ces lectures)
On cherche graphiquement à quel moment la glycémie n'est plus que de $1,44 - 0,5 = 0,94$~(g/l).

On lit graphiquement $x \approx 2,25$ soit 2 h 15~min.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}