\documentclass[10pt]{article} %\tapuscrit Jean-Paul GOUALARD \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{variations} \everymath{\displaystyle} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \usepackage{pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 21 juin 2011} \pagestyle{fancy} \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole 21 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.} % %\medskip % %Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$. % %Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip %On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : % %\setlength\parindent{10mm} %\begin{itemize} %\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test). %\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test). %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. % %On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. % %$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, on a : $P(V)0,02~;~P_{V}(T)=0,99~;~P_{\overline{V}}(\overline{T}) = 0,97$. Traduisons la situation par un arbre de probabilités : \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $0,02$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{V}$}\tbput{\small $0,98$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,03$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,97$} } } \end{center} \item %En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$. $P(V \cap T)=P_{V}(T)\times P(V)=0,99\times 0,02=\np{0,0198}$ \end{enumerate} \item %Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}. $T=(V\cap T)\cup\left(V\cap\overline{T}\right)$ (réunion d'événements incompatibles).\\ Par conséquent : $P(V)=P(V\cap T)+P\left(V\cap \overline{T}\right)=P_{T}(V)\times p(T)+P_{\overline{V}}(T)\times P\left(\overline{V}\right)$ (formule des probabilités conditionnelles).\\ Alors : $P(T)=0,99\times 0,02+0,03\times 0,98=0,0492$. \item \begin{enumerate} \item %Justifier par un calcul la phrase : %\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg. Il faut calculer $P_{T}(V)$. Or : $P_{T}(V)=\dfrac{P(V\cap T)}{P(T)}=\dfrac{\np{0,0198}}{\np{0,0492}}\approx \np{0,4024}$, soit environ 40\%. \\ Il n'y a bien qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg, sachant que le test est positif. \item %Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. La probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif est $P_{(T)}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,97\times 0,98}{1-\np{0,0492}}\approx \np{0,9997}$, c'est-à-dire environ 99,97\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip %On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. % %On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. \begin{enumerate} \item %Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. On a répétition de 10 épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0,02)$.\\ \item %Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Pour tout $k$, ($0\leqslant k\leqslant 10$), on a $P(X = k) = \binom{10}{k}\times 0,02^k\times (1-0,02)^{10-k}$. Alors : $P(X\geqslant 2) = 1 - \left(P(X < 2)\right) = 1- \left[P(X = 0) + P(X = 1)\right] = 1 -\left[0,98^{10} + 10 \times 0,02\times 0,98^9\right]$ $P(X\geqslant 2)\approx \np{0,0162}$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Erreur dans l'énoncé : la question 2 a deux réponses exactes} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,\, z_{\text{B}} = \text{i},\, z_{\text{C}} = - 1,\, z_{\text{D}} = - \text{i}$. \begin{enumerate} \item %L'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour affixe : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$, %\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$, %\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$, %\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$, %\end{itemize} L'écriture complexe de la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ est $z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}(z-1)+1$, donc \\ $z'=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(z-1)+1$. On en déduit $z_{\textbf{}E}=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(-\mathrm{i}-1)+1=\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)(1-\mathrm{i})$ (réponse 2). \item %L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $|z + \text{i}| = |z -1|$ est : %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [BC], %\item[$\bullet~~$] le milieu du segment [BC], %\item[$\bullet~~$] le cercle de centre O et de rayon 1, %\item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AD]. %\end{itemize} $|z + \text{i}| = |z -1|\Leftrightarrow \left|z-z_{\text{D}}\right|=\left|z-z_{\text{A}}\right|\Leftrightarrow \text{D}M=\text{A}M$ si $M$ est le point d'affixe $z$. L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [AD].\\ Comme ABCD est de manière évidente un carré, c'est aussi la médiatrice du segment [BC]. (réponses 1 et 4) \item %L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z + \text{i}}{z + 1}$ soit un imaginaire pur est : %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] la droite (CD) privée du point C, %\item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [CD] privé du point C, %\item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé du point C, %\item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AB]. %\end{itemize} On doit avoir $z\neq -1$. $\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}\in\mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow \arg\left(\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi]\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{MC}~;~\overrightarrow{MD}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi]$. On obtient le cercle de diamètre [CD], privé de C. (réponse 2) {\em Méthode analytique :} $\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}\in i\mathbb R\Leftrightarrow\left(\frac{z+\mathrm{i}}{z+1}\right)+\overline{\left(\frac{z+\mathrm{i}}{z+1}\right)}=0 \Rightarrow \frac{z+\mathrm{i}}{z+1}+\frac{\overline z-\mathrm{i}}{\overline z + 1}=0$ $\Rightarrow (z+\mathrm{i})(\overline z+1)+(z+1)(\overline z-\mathrm{i})=0$ (avec $z\neq -1$) $\Rightarrow2z\overline z +(z+\overline z)-\mathrm{i}(z-\overline z)=0 \Rightarrow2(x^2 + y^2) + 2x + 2y = 0\Leftrightarrow x^2 + y^2 + x + y =0$~ $\Rightarrow \left(x+\frac12\right)^2 - \frac14 + \left(y+\frac12\right)^2 -\frac14 = 0 \Rightarrow\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2=\frac12$ (et $z\neq-1$). Le centre du cercle $\Omega$ a donc pour affixe $-\frac{1}{2}- \frac{\mathrm{i}}{2}$ et le rayon vaut $\frac{\sqrt2}{2}$. Son diamètre a donc une longueur égale à $\sqrt2$ et son centre $\Omega$ est le milieu de [CD] car son affixe est la demi-somme des affixes de C et de D. Mais $\text{CD} = |z_{\overrightarrow{CD}}|=|-\text{i} + 1|=\sqrt2$, on déduit que ce cercle est celui de diamètre $[\text{CD}]$. L'ensemble cherché est donc ce cercle auquel on enlève le point $C$ dont l'affixe annule le dénominateur $(z + 1)$. \item %L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que arg$(z - i) = - \dfrac{\pi}{2} + 2 k\pi$ où $k \in \Z$ est : %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, %\item[$\bullet~~$] la droite (BD), %\item[$\bullet~~$] la demi-droite ]BD) d'origine B passant par D privée de B, %\item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé de B et D. %\end{itemize} $\arg(z - \text{i}) = - \dfrac{\pi}{2} + 2 k\pi\Leftrightarrow \arg\left(z_{\overrightarrow{BM}}\right) = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{BM}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$. $\arg(z-\mathrm{i})$ n'existe que si $z\neq\mathrm{i}$, donc $M\neq\text{B}$.\\ On obtient la demi-droite ]BD]. (réponse 3) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_{n}$ la fonction définie sur $\R$ par : % %\[f_{n}(x) = x^n\text{e}^{- x}.\] % %On note $\mathcal{C}_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. % %\medskip \textbf{PARTIE A} %\medskip % %Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe $\mathcal{C}_{k}$ où $k$ est un entier naturel non nul, sa tangente $T_{k}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $\mathcal{C}_{3}$· % %\medskip % %La droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\left(\dfrac{4}{5}~;~0\right)$. % %\medskip % %\psset{unit=1.5cm} %\begin{center} %\begin{pspicture}(-1,-1.7)(5,2.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1.5)(5,2.5) %\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,2.5){$y$} %\uput[dl](0,0){O} %\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} %\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} %\uput[d](0.8,0){A} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-0.9}{5}{x 3 exp 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{1.5}{x 6 exp 2.71828 x exp div} %\uput[l](1.35,1.6){$\mathcal{C}_{k}$}\uput[r](-0.8,-1.3){$\mathcal{C}_{3}$} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.pt]{-0.15}{2.2}{x 1.84 mul 1.4715 sub} %\uput[r](2,2.15){$T_{k}$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. $f_{1}(x)=x\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.\\ $\lim_{x\rightarrow -\infty}(-x)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$, d'où, par produit : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f_{1}(x)=-\infty$. D'après le cours (croissances comparées), $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$ : $\lim_{x\rightarrow +\infty}f_{1}(x)=0$. \item %Étudier les variations de la fonction $f_{1}$ et dresser le tableau de variations de $f_{1}$. $f_{1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions dérivables.\\ Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f_{1}'(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $f_{1}'(x)$ est du signe de $1 - x$, donc positif pour $x\leqslant 1$ et nulle pour $x=1$. On en déduit le tableau de variations suivant : \medskip \begin{center} \begin{variations} x&\mI&&1&&\pI\\ \filet f_{1}'(x)&&+&\z&-&\\ \filet f_{1}(x)&\mI&\c&\h{\frac{1}{\text{e}}}&\d&0\\ \end{variations} \end{center} \item %À l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier supérieur ou égal à 2. On sait que $k\geqslant 1$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}f_{1}(x)=-\infty$, ce qui n'est pas le cas pour $f_{k}$ d'après le graphique, donc $k\neq 1$, c'est-à-dire $k\geqslant 2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour $n \geqslant 1$, toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées. Pour tout $n\geqslant 1$, on a $f_{n}(0)=0\times \mathrm{e}^{0}=0$ et $f_{n}(1)=1^n\mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$. Toutes les courbes $\mathscr{C}_{n}$ passent par l'origine et le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$. \item %Vérifier que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, et pour tout réel $x$, %\[f'_{n}(x) = x^{n-1} (n - x)\text{e}^{- x}.\] Pour tout $n\geqslant 1$, $f_{n}$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.\\ Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f_{n}'(x) = nx^{n-1}\mathrm{e}^{-x}+x^n\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right) = x^{n-1}(n-x)\mathrm{e}^{-x}$ \end{enumerate} \item %Sur le graphique, la fonction $f_{3}$ semble admettre un maximum atteint pour $x = 3$. %Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. $f_{3}'(x)=x^2(3-x)\mathrm{e}^{-x}$, qui s'annule en $x=3$ et est du signe de $3-x$, donc positif pour $x\leqslant 3$ et négatif pour $x\geqslant 3$. La fonction $f_{3}$ admet donc bien un maximum en 3. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que la droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\dfrac{k-2}{k-1}~;~0\right)$. L'équation de la tangente $T_{k}$ est : $y = f_{k}'(1)(x-1)+f_{k}(1)$, donc $y=\dfrac{k-1}{\mathrm{e}}(x-1)+\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ soit $y = \dfrac{(k-1)x-k+2}{\mathrm{e}}$. $y=0$ pour $x=\dfrac{k-2}{k-1}$. \item %En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier $k$. On sait que $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses en $\dfrac{4}{5}$. On résout donc l'équation $\dfrac{k-2}{k-1}=\dfrac{4}{5}$. On obtient $5(k-2)=4(k-1)$, d'où $k = 6$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On désigne par $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par \[I_{n} = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $I_{1}$. $I_{1}=\int_{0}^1x\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x=\int_{0}^1u(x)v'(x)\text{ d}x$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=x\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{array}\right.$. Alors : $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=1\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{array}\right.$. $u$ et $v$ sont dérivables, $u'$ et $v'$ sont continues. On peut effectuer une intégration par parties. $I_{1} = \left[u(x)v(x)\right]_{0}^1 - \int_{0}^1u'(x)v(x)\text{ d}x = \left[-x\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^1+\int_{0}^1\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x=-\dfrac{1}{\mathrm{e}} + \left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^1 = -\dfrac{1}{\mathrm{e}}-\dfrac{1}{\mathrm{e}}+1=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip %Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2},\, \mathcal{C}_{3},\, \mathcal{C}_{10},\, \mathcal{C}_{20},\, \mathcal{C}_{30}$ comprises dans la bande définie par $0 \leqslant x \leqslant 1$. %\medskip %\psset{unit=10cm} %\begin{center} %\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,0.6) %%\psgrid[subgriddiv=10] %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.6) %\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,0.6){$y$}\uput[dl](0,0){O} %%\multido{\n=1+1}{3}{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x \n exp 2.71828 x exp div}} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2 exp 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 3 exp 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 10 exp 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 20 exp 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 30 exp 2.71828 x exp div} %\uput[l](0.2,0.17){$\mathcal{C}_{1}$} %\uput[l](0.5,0.17){$\mathcal{C}_{2}$} %\uput[l](0.7,0.17){$\mathcal{C}_{3}$} %\uput[l](0.92,0.17){$\mathcal{C}_{10}$} %\uput[l](0.93,0.08){$\mathcal{C}_{20}$} %\uput[r](0.92,0.03){$\mathcal{C}_{30}$} %\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.368) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) en décrivant sa démarche. Sur [0~;~1], $f_{n}$ est continue et positive, donc $I_{n}$ représente l'aire comprise entre les droites d'équations $x=0$, $x=1$, la courbe $\mathscr{C}_{n}$ et l'axe des abscisses. On voit sur le graphique que ces aires semblent décroissantes, donc la suite $\left(I_{n}\right)$ semble décroissante. \item %Démontrer cette conjecture. Pour tout $n\geqslant 1$, $I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^1x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x-\int_{0}^1x^n\mathrm{e}^{-x\text{ d}x}=\int_{0}^1[x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}-x^n\mathrm{e}^{-x}]\text{ d}x$ (par linéarité) $=\int_{0}^1x^n(x-1)\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x$. Sur [0~;~1], $x^n\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}\geqslant 0$ et $x-1\leqslant 0$ donc $x^n(x-1)\mathrm{e}^{-x}\leqslant 0$. On intègre sur [0~;~1] une fonction continue négative, donc le résultat est un nombre négatif (positivité de l'intégrale). On en déduit que $I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0$ donc la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante. \item %En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente. Il est évident que $I_{n}\geqslant 0$ (intégrale d'une fonction positive). La suite $\left(I_{n}\right)$ est donc décroissante et minorée, donc convergente vers un réel $\ell$. \item %Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(I_{n}\right)$. Montrons que $\ell=0$. Première méthode : sur [0~;~1], $x\mapsto -x$ est décroissante, donc par composition avec $\exp$, $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ est décroissante, donc $\mathrm{e}^{-x}\leqslant \mathrm{e}^{0}=1$.\\ Sur [0~;~1], $f_{n}(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\leqslant x^n$, donc par propriété de l'intégration, \[\int_{0}^1f_{n}(x)\text{ d}x\leqslant \int_{0}^1x^n\text{ d}x=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^1=\dfrac{1}{n+1}.\] Par conséquent : $0\leqslant I_{n}\leqslant \dfrac{1}{n+1}$ ; or $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$, donc, d'après le théorème de gendarmes, $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}=0$.\\ Deuxième méthode : On a : $I_{n+1}=\int_{0}^1x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x=\int_{0}^1u_{n+1}(x)v'(x)\text{ d}x$ avec $\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}(x)=x^{n+1}\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{array}\right.$ d'où $\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}'(x)=(n+1)x^n\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{array}\right.$\\ $u_{n+1}'$ et $v'$ sont continues, donc on peut effectuer une intégration par parties.\\ On obtient : $I_{n+1}=\left[-x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^1+\int_{0}^1x^n\mathrm{e}^{-x}\text{ d}x=-\dfrac{1}{\mathrm{e}}+(n+1)I_{n}$.\\ On en déduit : $\dfrac{I_{n+1}}{n+1}=-\dfrac{1}{(n+1)\mathrm{e}}+I_{n}$.\\ Si $\ell$ est la limite de $I_{n}$ à l'infini, par passage à la limite, on obtient : $0=0+\ell$ donc $\ell=0$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \textbf{Partie A -- Restitution organisée de connaissances} \medskip %On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et par $M_{0}$ le point de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_{0}$ sur le plan $\mathcal{P}$. %\medskip % %\emph{On suppose connue la propriété suivante :} % %\textbf{Propriété :} Le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b\vect{\jmath}+ c\vect{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. % %Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right)$ du point $M_{0}$ au plan $\mathcal{P}$, c'est-à-dire la distance $M_{0}H$, est telle que % %\[d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right) = \dfrac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] \begin{enumerate} \item %Justifier que $\left|\vect{n} \cdot \vect{M_{0}H}\right| = M_{0}H\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. $\overrightarrow{n}$ et $M_{0}H$ sont colinéaires, donc : \\ $\left|\vect{n} \cdot \overrightarrow{M_{0}H}\right|=\left|\left|\left|\overrightarrow{n}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{M_{0}H}\right|\right|\right|=M_{0}H\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ car $\left|\left|\overrightarrow{n}\right|\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. \item %Démontrer que $\vect{n} \cdot \vect{M_{0}H} = -ax_{0} - by_{0} - cz_{0} - d$. $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $M_{0}H\begin{pmatrix}x_{H}-x_{0}\\y_{H}-y_{0}\\z_{H}-z_{0}\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{M_{0}H}=a\left(x_{H}-x_{0}\right)+b\left(y_{H}-y_{0}\right)+c\left(z_{H}-z_{0}\right)$ $=ax_{H}+by_{H}+cz_{H}-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}-d$ car $H\in\mathscr{P}$, donc $ax_{H}+by_{H}+cz_{H}+d=0$. \item %Conclure. On en déduit : $M_{0}H\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\left|-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}-d\right|$ d'où $d\left(M_{0}~;~\mathscr{P}\right)=\dfrac{\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4~;~1~;~5), $(-3~;~2~;~0),\, (1~;~3~;~6),\, (-7~;~0~;~4)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que les points A, B, C définissent un plan $\mathcal{P}$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x + 2y - z - 1 = 0$. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-7\\1\\-5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}$. Il est clair que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles) donc le trois points A, B et C définissent un plan. Les coordonnées de A, B et C vérifient l'équation $x+2y-z-1 = 0$ donc les trois points A, B et C appartiennent à ce plan d'équation $x+2y-z-1=0$. Comme ces trois points définissent un plan, ce plan a pour équation $x+2y-z-1 = 0$. \item La distance $d$ du point F au plan $\mathcal{P}$ est : $\dfrac{|-7+2\times 0-4-1}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{12}{\sqrt{6}}=\dfrac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}$. \end{enumerate} \item %Le but de cette question est de calculer la distance $d$ par une autre méthode. On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$. $\overrightarrow{n}$ est donc un vecteur directeur de $\Delta$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc : $\left\{\begin{array}{l}x=x_{F}+1\times t\\y=y_{F}+2\times t\\z=z_{F}+(-1)\times t\end{array}\right.$ d'où : $\left\{\begin{array}{l}x=-7+t\\y=0+2t\\z=4-t\end{array}\right.$ \item %Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan $\mathcal{P}$. H appartient à $\Delta$ et à $\mathscr{P}$ donc ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de $\Delta$ ainsi que l'équation de $\mathscr{P}$. On doit donc avoir : $\left\{\begin{array}{l}x=-7+t\\y=2t\\z=4-t\\x+2y-z-1=0\end{array}\right.$. On en déduit : $-7 + t + 2(2t) - 4 + t - 1=0$ d'où $6t-12=0$ d'où $t=2$.\\ On en déduit que les coordonnées de H sont : $(-5~;~4~;~2)$ \item %Retrouver le résultat de la question 1. b. La distance $d(F~;~\mathscr{P})$ est égale alors à FH. Or : $\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}$ d'où FH = $\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. On retrouve le même résultat. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre F et de rayon 6. \begin{enumerate} \item %Justifier que le point B appartient à la sphère $\mathcal{S}$. $\overrightarrow{FB}\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}$ donc FB = $\sqrt{4^2+2^2+4^2}=\sqrt{36}=6$ (rayon de la sphère) donc B appartient à la sphère. \item %Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $\mathcal{C}$, intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$. Il est clair que le centre de la sphère est H. Soit $r$ le rayon de $\mathcal{C}$. D'après le théorème de Pythagore, on a : $r^2+(2\sqrt{6})^2=6^2$ donc $r^2=36-24=12$, d'où : $r =\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{PARTIE A - Restitution organisée de connaissances} \medskip %On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. % %Théorème de BÉZOUT : % %Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple %$(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au+ bv = 1$. % %\medskip % %Théorème de GAUSS : % %Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs. % %Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. Soient $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux. D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$. En multipliant par $c$, on obtient $auc+bcv=c$. On suppose que $a$ divise $bc$ ; alors $a$ divise $bcv$ et comme $a$ divise $auc$, $a$ divise la somme $auc + bcv$, donc $a$ divise $c$. \item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. %Déduire du théorème de GAUSS que, si $a$ est un entier relatif, tel que $a \equiv 0 \quad [p]$ et $a \equiv 0 \quad [q]$, alors $a \equiv 0 \quad [pq]$. Soit $a$ relatif tel que $a\equiv 0~[p]$ et $a\equiv 0~[q]$. Alors, il existe $k$ et $k'$ relatifs tels que $a=kp$ et $a=k'q$ d'où $kp = k'q$. $p$ divise $k'q$ et $p$ est premier avec $q$, donc, d'après le théorème de Gauss, $p$ divise $k'$. Il existe $k''\in\mathbb{Z}$, $k'=pk''$. Alors $a=k'q=k''pq$ d'où $a\equiv 0~[pq]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On se propose de déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 9 \quad [17]\\ n &\equiv &3 \quad [5] \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Recherche d'un élément de $\mathcal{S}$. On désigne par $(u~;~v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$. \begin{enumerate} \item %Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$. 17 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe $u$ et $v$ entiers relatifs tels que $17u+5v=1$.\\ \item On pose $n_{0} = 3 \times 17u + 9 \times 5v$. %Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathcal{S}$. Soit $(u~;~v)$ un couple solution, donc $17u+5v=1$. On en déduit que $17u\equiv 1~[5]$ et $5v\equiv 1~[17]$.\\ Alors $n_{0}=3 \times 17u + 9 \times 5v\equiv 9\times 5v~[17]\equiv 9\times 1~[17]\equiv 9~[17]$. De même : $n_{0}=3 \times 17u + 9 \times 5v\equiv 3\times 17u~[5]\equiv 3\times 1~[5]\equiv 3~[5]$. Par conséquent, $n_{0}\in\mathscr{S}$. \item %Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathcal{S}$. Appliquons l'algorithme d'Euclide : $17=3\times 5$+2 et $5=2\times 2+1$, d'où $1=5-2\times 2$ $1 = 5-(17-5\times 3)\times 2=17\times (-2)+5\times 7$. On peut prendre $(u~;~v) = (-2~;~7)$. On obtient alors $n_{0} = 213$ (ce n'est évidemment pas la seule valeur !) \end{enumerate} \item Caractérisation des éléments de $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathcal{S}$. %Démontrer que $n - n_{0} \equiv 0\quad [85]$. $n\equiv 9~[17]$ et $n_{0}\equiv 9~[17]$ donc $n-n_{0}\equiv 0~[17]$. De même, $n\equiv 3~[5]$ et $n_{0}\equiv 3~[5]$ donc $n-n_{0}\equiv 0~[5]$. 17 et 5 sont premiers entre eux, donc d'après la partie A, $n-n_{0}\equiv 0~[85]$ (car $5\times 17=85$). \item %En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n = 43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif. On en déduit que, si $n\in\mathscr{S}$, $n\equiv n_{0}~[85]$ donc $n\equiv 213~[85]$. Or $213 = 170 + 43=2\times 85+43 \equiv 43~[85]$ donc $213\equiv 43~[85]$. Par conséquent : $n\in\mathscr{S}\iff n \equiv 43~[85]$ donc $n=43+85k$, $k\in\mathbb{Z}$. Réciproquement, si $n\equiv 43+85k$, $k \in \mathbb{Z}$ , il est clair que $n\equiv 9~[17]$ et $n\equiv 3~[5]$. \end{enumerate} \item Application : %Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. % %Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. % %Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. % %Combien a-t-elle de jetons ? Soit $n$ le nombre de jetons. On a : $n\equiv 9~[17]$ et $n\equiv 3~[5]$. D'après ce qui précède, on a : $n=43+85k$. On sait que $300 \leqslant n\leqslant 400$, donc $300\leqslant 43+85k\leqslant 400$. On en déduit que $k=4$ et que Zoé a $383$~jetons. \end{enumerate} \label{fin} \end{document}