\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} % Tapuscrit : François Kriegk % Figures version pstricks : Jean-Luc Poncin \renewcommand{\i}{\text{i}} \usepackage{pst-all} % \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit %\renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand*{\point}[4]{\psdots(#1,#2)\uput[#3](#1,#2){#4}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole 19 juin 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{11 septembre 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014~\decofourright}}} \end{center} \subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé \Oij, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0~;~1) et $(-1~;~3)$. \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-3,-2.5)(3,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(3,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,1){A}\uput[l](-1,3){B} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub} \psplot{-1.5}{1.5}{1 x 2 mul sub} \end{pspicture} \end{center} On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, $f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A. Le point A a pour abscisse 0; $f(0)=1$ donc $\mathcal C$ passe par le point A\,$(0\,;\,1)$. \item% Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). Le coefficient directeur de la droite (AB) est $\dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B}-x_{\text A}} = \dfrac{3-1}{-1-0}=-2$. \item% Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}$. D'après la formule $\left (\e^{u}\right )'=u'\e^u$ et la dérivée d'une somme et d'un produit: $f'(x)=1+0+a\e^{-x^2} +ax(-2x)\e^{-x^2} = 1-a\left (2x^2-1\right )\e^{-x^2}$ \item On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A; cela veut dire que le coefficient directeur de (AB) est égal au nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_{\text A}$ soit $f'(0)$. On a donc $f'(0)=-2 \iff 1 - a\left (0-1\right )\e^0 = -2 \iff 1+a=-2 \iff a=-3$ %Déterminer la valeur du réel $a$. \end{enumerate} \item D'après la question précédente, pour tout réel $x$, $f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2} \text{ et } f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cg -1~;~0\cg$, $f(x) > 0$. \ \\[-28pt] $\left. \begin{array}{@{} r} \left. \begin{array}{@{} l} \forall x \in \R,\ \e^{-x^2}>0\\ \forall x \in \cg -1~;~0\cg,\ -3x \pg 0 \end{array} \right\rbrace \stackrel{\text{par produit}}{\forall x \in \cg -1~;~0\cg,\ -3x\e^{-x^2} \pg 0}\\ \forall x \in \cg -1~;~0\cg,\ x+1>0 \end{array} \right\rbrace \stackrel{\text{par somme}}{\forall x \in \cg -1~;~0\cg,\ x+1-3x\e^{-x^2}>0} $ Donc, pour tout $x$ de $\cg -1~;~0\cg$, $f(x)>0$. \item% Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$. Si $x \pp -1$, alors $x^2\pg 1$ donc $2x^2\pg 2$, donc $2x^2-1\pg 1$ et donc $3\left (2x^2-1\right )\pg 3$. Comme pour tout $x$, $\e^{-x^2}>0$, on peut dire que pour tout $x \pp -1$, $3\left (2x^2-1\right )\e^{-x^2} >0 $ (par produit). Donc, pour tout $x \pp -1$, $f'(x)=1+ 3\left (2x^2-1\right )\e^{-x^2}>0$. \item% Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$. Sur $\cg -\infty\,;\,-1\cg$, $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle donc sur l'intervalle $\left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\right ]$. Or $f\left (-\dfrac{3}{2}\right ) \approx -0,026<0$ et $f(-1)\approx 1,10>0$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\right ]$; on l'appelle $c$. %Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$. Or $f\left (- \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}\right ) \approx 0,017 >0$ donc $c \in \left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, -\dfrac{3}{2} + 2.10^{-2} \right[$ et donc $c < -\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par: \hfill $c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x)$ \hfill\null \begin{enumerate} \item% Écrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale. Comme $f(x)\pg 0$ sur $\cd c\,;\, 0\cg$, alors $\mathcal A = \ds\int_c^0 f(x) \d x$. \item On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. %Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$. Pour calculer la valeur exacte de $I$, il faut déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left [ -\dfrac{3}{2}\,;\, 0 \right ]$. La fonction $x \longmapsto x+1$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}+x$. La fonction $x \longmapsto -2x\e^{-x^2}$ (forme $u'\e^{u}$) a pour primitive la fonction $x \longmapsto \e^{-x^2}$ donc la fonction $x \longmapsto -3x\e^{-x^2}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{3}{2}\,\e^{-x^2}$. La fonction $f$ a donc pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+\dfrac{3}{2}\e^{-x^2}$. D'après le cours: $I= F(0) - F\left (-\dfrac{3}{2}\right ) = \dfrac{3}{2} - \left ( \dfrac{9}{8} - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\e^{-\frac{9}{4}}\right ) = \dfrac{15}{8} - \dfrac{3}{2}\e^{-\frac{9}{4}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants. %\medskip \begin{enumerate} \item Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients. On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.% On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$. Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10~minutes. \begin{enumerate} \item% Déterminer la valeur de $\lambda$. Le temps moyen d'attente est de 10 minutes donc $E(X)=10$; or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda= \dfrac{1}{10} = 0,1$. \item% Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20~minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. La probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes est $P(10 \pp X \pp 20)$. Comme $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $0,1$ on sait que: $P(10 \pp X \pp 20) = \ds\int_{10}^{20} 0,1 \e^{-0,1t} \d t = \left [ -\e^{-0,1t} \right ]_{10}^{20} = -\e^{-2} + \e^{-1}\approx 0,2325$ \item Un client attend depuis 10 minutes. La probabilité qu'il doive attendre au moins 5~minutes de plus pour obtenir une table est la probabilité qu'il attende au moins 15 minutes, sachant qu'il a déjà attendu 10 minutes; c'est-à-dire: $P_{X \pg 10}(X \pg 15)$ On sait que la loi exponentielle est une loi à \og{}durée de vie sans vieillissement\fg{} donc que, pour tous réels strictement positifs $s$ et $t$: $P_{X \pg t}(X \pg s+t) = P(X \pg s)$. On en déduit que $P_{X \pg 10}(X \pg 15) = P(X \pg 5)$. On sait que, pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $P(X \pp a) = 1-\e^{-\lambda a}$ donc\\ $P(X \pp 5) = 1-\e^{-0,1\times 5}=1-\e^{-0,5}$; $P(X \pg 5)=1- P(X \pp 5) = 1-\left (1-\e^{-0,5}\right ) = \e^{-0,5} \approx 0,6065$ La probabilité cherchée est $0,6065$. \end{enumerate} \item Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70~places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$. On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant. On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale. %\medskip \begin{enumerate} \item% Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$. La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$. Une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(n\,,\,p)$ a pour espérance mathématique $np$ et pour écart type $\ds\sqrt{np(1-p)}$. Donc $E(Y) = n\times 0,8=0,8n$ et $\sigma(Y)=\ds\sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = \ds\sqrt{0,16n}$ \item Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$. %Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice. À la calculatrice, on trouve $p_1 = P(Z \pp 71) \approx \np{0,9575}$. \item On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Y \leqslant 70\}$. Le restaurant a reçu 81 réservations. %Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ? On cherche donc la probabilité que plus de 70 clients se présentent, c'est-à-dire $P(Y >70)$. Or $P(Y >70) = 1-P(Y \pp 70) = 1 - p_1 \approx \np{0,0425} \approx 0,04$. La probabilité cherchée est $0,04$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. %Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute. \medskip \begin{enumerate} \item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. \begin{enumerate} \item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Comme 20\,\% du médicament est éliminé par minute, il en reste 80\,\%; prendre 80\,\% d'un nombre c'est multiplier par $0,8$ donc $u_{n+1}=0,8\,u_n$. Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0 = 10$. \item% Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. La suite $(u_n)$ es géométrique, donc pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 10 \times 0,8^n$. \item% Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse. La quantité de médicament est inférieure à 1\,\% de la quantité initiale quand $u_n < \dfrac{1}{100}\times u_0$ c'est-à-dire $u_n < 0,1$. On résout l'inéquation: $\begin{array}{@{\hspace{1cm}} l @{\ \iff \ } l l} u_n < 0,1 & 10 \times 0,8^n < 0,1 & \\ & 0,8^n < 0,01 & \\ & \ln\left (0,8^n\right ) < \ln 0,01 & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg0\,;\,+\infty\cd \\ & n \ln 0,8 < \ln 0,01 & \text{propriété de la fonction ln}\\ & n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} & \text{car } \ln 0,8 <0 \end{array}$ Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \approx 20,6$ donc c'est au bout de 21 minutes que la quantité de médicament dans le sang devient inférieure à 1\,\% de la quantité initiale. \emph{On trouve à la calculatrice que $u_{20}\approx 0,115>0,1$ et $u_{21}\approx 0,092 < 0,1$.} \end{enumerate} \item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L'algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute: \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline & \\[-5pt] Variables :&$n$ est un entier naturel.\\ &$v$ est un nombre réel.\\ Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ Traitement :& Pour $n$ allant de 1 à 15\\ &\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\ Afficher $v$.\\ \end{tabular}\\ &Fin de boucle.\\ & \\ \hline%[-5pt] \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item% Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme. Le tableau ci-dessous donne la quantité restante de médicament minute par minute: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline $v_{n}$ &10 &8 &6,4 & \red 5,12 & \red 8,10 & \red 6,48 & \red 5,18 &8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item% Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ? Les 15 premières minutes, le patient a absorbé 10~mL au début, puis 4~mL les minutes 4, 7, 10 et 13 soit 16~mL; ce qui fait un total de 26~mL. \item On programme la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes. %Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole. L'algorithme suivant affiche la quantité de médicament restant dans le sang minute par minute: \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline & \\[-5pt] Variables :&$n$ est un entier naturel.\\ &$v$ est un nombre réel.\\ Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ Traitement :& Pour $n$ allant de 1 à {\red 30}\\ &\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ Si ${\red v \pp 6}$ alors affecter à $v$ la valeur ${\red v+2}$\\ Afficher $v$.\\ \end{tabular}\\ &Fin de boucle.\\ & \\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item On programme la machine de façon que : \begin{itemize} \item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, \item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament. \end{itemize} On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. \begin{enumerate} \item% Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. Comme 20\,\% du médicament est éliminé chaque minute, il en reste 80\,\% donc on multiplie par 0,8. De plus, toutes les minutes, on rajoute 1 mL. On peut donc dire que, pour tout $n$, $w_{n+1}=0,8w_n+1$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$, donc $w_n=z_n+5$. %Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. $z_{n+1}= w_{n+1}-5 = 0,8w_n+1-5 = 0,8 \left (z_n+5\right ) - 4 = 0,8\,z_n+4-4 = 0,8\,z_n$ $z_0 = w_0-5$; or à l'instant 0, on injecte 10~mL donc $w_0=10$. On a donc $z_0=5$. La suite $(z_n)$ est donc géométrique de premier terme $z_0=5$ et de raison $q=0,8$. \item% En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$. D'après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que, pour tout $n$ : $z_n= z_0 \times q^n = 5 \times 0,8^n$. Or $w_n=z_n+5$ donc, pour tout $n$, $w_n = 5 \times 0,8^n + 5$. \item% Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner? La suite $(z_n)$ est géométrique de raison 0,8; or $-1<0,8 <1$ donc la suite $(w_n)$ est convergente vers 0. D'après les théorèmes sur les limites de suite, on peut en déduire que la suite $(w_n)$ est convergente et a pour limite 5. Cela veut dire que, si on poursuit ce traitement, la quantité de médicament présente dans le sang du patient va se rapprocher de 5~mL. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: $\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right)$ \begin{enumerate} \item% Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$. Le vecteur $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\left (0\,;\,2\sqrt{3}\,;\,0\right )$; le vecteur $\vect{\text{AD}}$ a pour coordonnées $\left (-1\,;\, \sqrt{3}\,;\, 2\sqrt{2}\right )$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les trois points A, B, D définissent un plan. La relation $4x+z\sqrt{2}=4$ est de la forme $ax+by+cz=d$, c'est donc une équation d'un plan $\mathcal P$. \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $4x_{\text A}+z_{\text A}\sqrt{2}=4\times 1 = 4$ donc $\text A \in \mathcal P$ \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm}$4x_{\text B}+z_{\text B}\sqrt{2}=4\times 1 = 4$ donc $\text B \in \mathcal P$ \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm}$4x_{\text D}+z_{\text D}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 4$ donc $\text D \in \mathcal P$ Donc $\mathcal P$ est le plan (ABD) qui a pour équation $4x+z\sqrt{2}=4$. \item On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l @{\ =\ } l} x& t\\ y& 0\\ z& t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \R$ \begin{enumerate} \item% Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O. En prenant $t=0$, on trouve $\left\{\begin{array}{l @{\ =\ } l} x& 0\\ y& 0\\ z& 0 \end{array}\right.$ donc le point O appartient à $\mathcal D$. La droite $\mathcal D$ a pour vecteur directeur $\vec u \left (1\,;\, 0\,;\, \sqrt{2}\right )$. Le vecteur $\vect{\text{CD}}$ a pour coordonnées $\left (2\,;\, 0 \,;\,2\sqrt{2}\right )$ donc $\vect{\text{CD}} = 2 \vec u$ ce qui entraîne que la droite $\mathcal D$ est parallèle à (CD). \item% Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD). Le point G d'intersection de la droite $\mathcal D$ et du plan (ABD) a des coordonnées $(x\,;\, y\,;\, z)$ qui vérifient: $\left\{\begin{array}{r @{\ =\ } l} x& t\\ y& 0\\ z& t\sqrt{2}\\ 4x+z\sqrt{2} & 4 \end{array}\right.$ Donc $4t + t\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 4 \iff 6t = 4 \iff t=\dfrac{2}{3}$. Le point G a pour coordonnées $\left (\dfrac{2}{3}\,;\, 0 \,;\, \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right )$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note L le milieu du segment [AC]; \\ L a pour coordonnées $\left (\dfrac{x_{\text A} + x_{\text C} }{2}\,;\, \dfrac{y_{\text A} + y_{\text C} }{2} \,;\, \dfrac{z_{\text A} + z_{\text C} }{2}\right ) = \left (-\dfrac{1}{2}\,;\, -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,;\, 0 \right )$ %Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC). Le vecteur $\vect{\text{BL}}$ a pour coordonnées $\left ( -\dfrac{3}{2}\,;\, -\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \,;\, 0 \right )$; le vecteur $\vect{\text{BO}}$ a pour coordonnées $\left ( -1 \,;\, -\sqrt{3} \,;\, 0 \right )$. Donc $\dfrac{2}{3}\vect{\text{BL}} = \vect{\text{BO}}$; les vecteurs $\vect{\text{BL}}$ et $\vect{\text{BO}}$ sont colinéaires donc les points B, O et L sont alignés. Le vecteur $\vect{\text{AC}}$ a pour coordonnées $\left ( -3\,;\, \sqrt{3}\,;\, 0 \right )$. On calcule le produit scalaire de $\vect{\text{BL}}$ et de $\vect{\text{AC}}$: $\vect{\text{BL}}.\vect{\text{AC}} = -\dfrac{3}{2}\times (-3) + \left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right )\times \sqrt{3} +0 = \dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}=0$ donc les vecteurs $\vect{\text{BL}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux. On peut donc dire que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC). \item% Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit. La droite (BL) passe par le milieu de [AC] et est perpendiculaire à (AC) donc c'est la médiatrice de [AC], donc $\text{BA} = \text{BC}$. \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{BA}^2 = \left ( x_{\text A} - x_{\text B} \right )^2 + \left ( y_{\text A} - y_{\text B} \right )^2 + \left ( z_{\text A} - z_{\text B} \right )^2 = \left (-2\sqrt{3}\right )^2 = 12$ \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{CA}^2 = \left ( x_{\text A} - x_{\text C} \right )^2 + \left ( y_{\text A} - y_{\text C} \right )^2 + \left ( z_{\text A} - z_{\text Z} \right )^2 = \left ( 1+2\right )^2 + \left (-\sqrt{3}\right )^2 = 9+3=12$ Donc $\text{BA}^2= \text{CA}^2$ donc $\text{BA} = \text{CA}$. On peut en déduire que le triangle ABC est équilatéral. Donc le centre de son cercle circonscrit est aussi son centre de gravité ; il est situé aux $\dfrac{2}{3}$ d'une médiane en partant du sommet. Or on a vu que $\dfrac{2}{3}\vect{\text{BL}} = \vect{\text{BO}}$ donc on peut en déduire que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. \end{enumerate} \item% Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur. On a déjà vu que $\text{AB} = \text{AC} = \text{BC} =\sqrt{12}$; on calcule les longueurs des autres arêtes du tétraèdre: \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{DA}^2 = (-1)^2+\left (\sqrt{3} \right )^2 +\left (2\sqrt{2}\right )^2 = 1 + 3 + 8 = 12$ \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{DB}^2 = (-1)^2+\left (-\sqrt{3} \right )^2 +\left (2\sqrt{2}\right )^2 = 1 + 3 + 8 = 12$ \hspace{1cm} \textbullet \hspace{0.2cm} $\text{DC}^2 = 2^2 +\left (2\sqrt{2}\right )^2 = 4 + 8 = 12$ Donc les six arêtes du tétraèdre ABCD ont la même longueur, donc le tétraèdre ABCD est régulier. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi. On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour : \setlength\parindent{0cm} \begin{itemize} \item 20\,\% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte, donc il reste 80\,\% de souris dans le compartiment A; \item 10\,\% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte, donc il reste 90\,\% de souris dans le compartiment B. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. \begin{enumerate} \item% Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$. Lors de la première ouverture des portes il reste dans A 80\,\% des souris présentes soit une proportion de $0,5\times 0,8 = 0,40$ et il rentre 10\,\% de souris venant de B soit $0,5\times 0,1 = 0,05$. Donc il y aura dans A au total $0,40+0,05 = 0,45$ comme proportion de souris. Il en reste donc $1-0,45 = 0,55$ pour B. Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 0,45 \\ 0,55 \end{pmatrix}$. \item% Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. Lors de la $n+1$-ième ouverture de porte, il restera dans A 80\,\% des souris présentes, soit $0,8\,a_n$ et il en vient 10\,\% de B soit $0,10\,b_n$; donc $a_{n+1}= 0,8\,a_n + 0,1\,b_n$. Lors de la $n+1$-ième ouverture de porte, il restera dans B 90\,\% des souris présentes, soit $0,9\,b_n$ et il en vient 20\,\% de A soit $0,20\,a_n$; donc $b_{n+1}= 0,2\,a_n + 0,9\,b_n$. \item% En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. D'après la question précédente, $U_{n+1} = \begin{pmatrix} 0,8\,a_n + 0,1\,b_n \\ 0,2\,a_n + 0,9\,b_n \end{pmatrix}$ On cherche une matrice carrée d'ordre 2 $M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ telle que $M U_n = U_{n+1}$. $M U_n = U_{n+1} \iff \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} \alpha a_n + \beta b_n \\ \gamma a_n + \delta b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8\,a_n + 0,1\,b_n \\ 0,2\,a_n + 0,9\,b_n \end{pmatrix} $ Donc $M = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 \\ 0,2 & 0,9 \end{pmatrix}$ On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$. \item La répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours est donnée par $U_3$; à la calculatrice, on trouve $M^3 = \begin{pmatrix} 0,562 & 0,219 \\ 0,438 & 0,781 \end{pmatrix}$ $U_3 = M^3 \times U_0 = \begin{pmatrix} 0,562 & 0,219 \\ 0,438 & 0,781 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,3905 \\ 0,6095 \end{pmatrix}$ La répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours est respectivement 39,05\,\% et 60,95\,\%. \end{enumerate} \item Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item% Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$. $P^2 = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 1+ 1 \times 2 & 1 \times 1 + 1 \times (-1)\\ 2 \times 1 + (-1)\times 2 & 2 \times 1 + (-1)\times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3I$ où $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est la matrice unité d'ordre 2. Donc $\dfrac{1}{3}P^2=I$ ce qui entraîne que $P\times \dfrac{1}{3}P = \dfrac{1}{3}P \times P = I$; la matrice $P$ est donc inversible et son inverse est $P^{-1}=\dfrac{1}{3}P = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$. \item% Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera. $P^{-1}M = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 \\ 0,2 & 0,9 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1\times 0,8 + 1 \times 0,2 & 1 \times 0,1 + 1 \times 0,9\\ 2\times 0,8 + (-1) \times 0,2 & 2 \times 0,1 + (-1) \times 0,9 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1,4 & -0,7 \end{pmatrix}$ $\left (P^{-1}M\right )P = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1,4 & -0,7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 2 & 1 \times 1 + 1 \times (-1)\\ 1,4 \times 1 + (-0,7) \times 2 & 1,4 \times 1 + (-0,7) \times (-1) \end{pmatrix}\\ \phantom{\left (P^{-1}M\right )P} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0,7 \end{pmatrix}$ Donc $P^{-1}MP$ est la matrice diagonale $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0,7 \end{pmatrix}$ que l'on appelle $D$. \item% Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $P^{-1}MP = D \ssi PP^{-1}MP=PD \ssi MP=PD \ssi MPP^{-1} = PDP^{-1} \ssi M = PDP^{-1}$ donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1. \item On suppose que pour tout entier $p > 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$. %$M^{p+1} = M \times M^p$ D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc: $M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$ donc la propriété est vraie au rang $p+1$. \item La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $p\pg 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \pg 1$. \end{list} Donc, pour tout $n \pg 1$, $M^n = P D^n P^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient $M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\[10pt] \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item% En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ? Pour avoir la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage, il faut chercher $\ds\lim_{n \to +\infty} U_n$. $U_n = M^n U_0 = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\[10pt] \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\[10pt] \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1 +2 \times 0,7^n +1 - 0,7^n}{6} \\[10pt] \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n + 2 + 0,7^n}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2+ 0,7^n}{6} \\[10pt] \dfrac{4 - 0,7^n}{6} \end{pmatrix}$ La suite $\left (0,7^n\right )$ est géométrique de raison 0,7; or $-1 < 0,7 < 1$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} 0,7^n=0$. On en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty} 2+0,7^n=2$ et que $\ds\lim_{n \to +\infty} 4-0,7^n=4$; et donc que $\ds\lim_{n \to +\infty} U_n= \begin{pmatrix} \dfrac{2}{6} \\[10pt] \dfrac{4}{6} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \\[10pt] \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$ On en conclut que la répartition à long terme des souris dans les compartiments est de $\dfrac{1}{3}$ pour le compartiment A et de $\dfrac{2}{3}$ pour le compartiment B. \end{enumerate} \end{document}