%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx} %\usepackage{alterqcm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,pst-tree,pstricks-add} \everymath{\displaystyle} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %%%%%%%%%%%%%%% définition escalier \newcommand{\escalier}[4]{% \code{/x 1 def} \moveto(!x 1) \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red](!x 0)(!x x) \multido{\i=0+1}{4}{% \code{/y x dup mul 4 add ln def} %\moveto(!x 0) \psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(!x 0)(!x x) \psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](!x x)(!x y)(!y y) \code{/x y def}% \uput[d](!x 0){$A_{\i}$} % (on place les nom des points) } } \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2009} \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %\tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole \& La Réunion ~\decofourright\\[5pt]septembre 2009}} \end{center} \subsection*{EXERCICE 1 \hfill (6 points)} \begin{center} Commun à tous les candidats \end{center} %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln(x^2 + 4)$ .\\ \textbf{PARTIE A} \begin{enumerate} \item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Quel que soit le réel $x,\:x^2 \geqslant 0 \Rightarrow x^2 + 4 \geqslant 4 \Rightarrow \ln \left(x^2 + 4 \right)$ existe. La fonction $f$ est la composée de la fonction $x \longmapsto x^2 + 4$, dérivable sur $\R$ \`a valeurs dans $]4~;~+ \infty[$ et de la fonction $x \longmapsto \ln x$ qui est dérivable sur $]4~;~+\infty[$. La fonction $f$ est donc dérivable sur $]0~;~+ \infty[$. Comme $\left(\ln \circ u(x)\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$, avec $u(x) = x^2 + 4$ on obtient $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}$ quel que soit $x \in [0~;~+\infty[$. Le numérateur et le dénominateur étant positifs, le quotient est positif, donc la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. La dérivée n'étant nulle qu'en $0$, on peut affirmer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$. \item %Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) - x$. \begin{enumerate} \item %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ . La fonction $g$ est dérivable et $g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{2x}{x^2 + 4} - 1 = \dfrac{-x^2 + 2x - 4}{x^2 + 4}$. Le signe de $g'(x)$ est donc celui du trinôme $-x^2 + 2x - 4$. Son discriminant $\Delta = 4 - 16 = - 12$ donc $g'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$ donc négatif pour tout $x \in [0~;~+\infty[$. La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[.$ \item %Montrer que sur l'intervalle $[2~;~3]$ l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$. %Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à 10$^{-1}$. $\bullet~$ la fonction $g$ est continue, car dérivable sur $[2~;~3]$ ; $\bullet~$ $g$ est décroissante sur $[2~;~3]$ ; $\bullet~$ $g(2) = \ln 8 - 2 \approx 0,07 > 0$ et $g(3) = \ln 13 - 3 \approx -0,4 < 0$ ; Il existe donc un réel unique $\alpha \in [2~;~3]$ tel que $g(\alpha) = 0$. On trouve de même que $g(2,1) \approx 0,03$ et $g(2,2) \approx -0,03$. Donc $2,1 < \alpha < 2,2$. Enfin $g(2,15) \approx 0,004$ et $g(2,16)\approx -0,006$. Conclusion $\alpha \approx 2,2$ à 0,1 près. \item %Justifier que le nombre réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$. On a $g(x) = 0 \iff f(x) - x = 0 \iff f(x) = x$. Les deux équations sont équivalentes donc ont les mêmes solutions, en l'occurrence il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = \alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{PARTIE B}\\ %\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\ %On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+l} = f(u_{n})$. %La courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). \begin{enumerate} \item %À partir de $u_{0}$, en utilisant la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière, placer les termes $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. En résumé : verticalement vers $\mathscr{C}$, horizontalement vers $\Delta$. Cf. la figure à la fin. \item %Placer le point $I$ de la courbe $\mathscr{C}$ qui a pour abscisse $\alpha$. Cf. la figure à la fin. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_{n}\leqslant \alpha$. Démonstration par récurrence : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item \emph{Initialisation} : on a bien $1 \leqslant u_{0} \leqslant \alpha$ puisque $u_{0} = 1$ ; la relation est vraie au rang $0$. \item \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que : $1 \leqslant u_{n}\leqslant \alpha$. Par croissance de la fonction $f$, on a : $f(1) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(\alpha) \iff \ln 5 \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.$ Comme $1 < \ln 5$, on a bien : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ au moins égal à 1, elle est vraie au rang $n + 1$, elle est donc vraie pour tout naturel $n,\:1 \leqslant u_{n}\leqslant \alpha$. \item %Démontrer que la suite c converge. On démontre facilement ($u_{0} \leqslant u_{1}$, puis $u_{n }\leqslant u_{n+1} \Rightarrow u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$) que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. Comme elle est majorée par $\alpha$ d'après la question précédente, elle converge vers $\ell \leqslant \alpha$. \item %Déterminer sa limite. Or la fonction $f$ est continue donc en particulier en $\ell$, on a $f\left(u_{n}\right) = u_{n+1} \Rightarrow f(\ell) = \ell$ (par limite en plus l'infini). On sait que la seule solution de cette équation est $\alpha.$ Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{EXERCICE 2 :\hfill(5 points)} \begin{center} Commun à tous les candidats \end{center} %L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. \begin{enumerate} \item %On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y -1 = 0$ et par $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $y + z - 2 = 0$.\\ %Justifier que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite $\mathscr{D}$, dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\y=t\\z=2-t\end{array}\right.$, où $t$ désigne un nombre réel. $\mathscr{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n}(1~;~1~;~0)$ ; $\mathscr{P}'$ a pour vecteur normal $\vect{n'}(0~;~1~;~1)$ : ces vecteurs n'étant pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles ; leur intersection est donc une droite $\mathscr{D}$ dont tous les points de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient : $\left\{\begin{array}{l c l} x + y -1 &=& 0\\ y + z - 2 &=& 0 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 - y\\ z &=& 2 - y \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 - y\\ z &=& 2 - y\\ y&=&t \end{array}\right. (t \in \R) \quad \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 - t\\ z &=& 2 - t\\ y&=&t \end{array}\right. ~(t \in \R)$ qui est une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer une équation du plan $\mathscr{R}$ passant par le point O et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$. La droite $\mathscr{D}$ contient le point $(1~;~0~;~2)$ et a pour vecteur directeur $\vect{u}(-1~;~1~;~-1)$ et ce vecteur est normal au plan $\mathscr{R}$. Une équation de ce plan est donc : $M(x~;~y~;~z) \in \mathscr{R} \iff -x + y - z = 0 \iff x - y + z = 0.$ \item %Démontrer que le point I, intersection du plan $\mathscr{R}$ et de la droite $\mathscr{D}$, a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$. $\mathscr{R}$ et $\mathscr{D}$ étant perpendiculaires sont sécants en un point dont les coordonnées vérifient les équations de $\mathscr{D}$ et de $\mathscr{R}$ soit : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 - t\\ z &=& 2 - t\\ y&=&t\\ x - y + z&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 - t\\ z &=& 2 - t\\ y&=&t\\ 1 - t - t + 2 - t&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 - t\\ z &=& 2 - t\\ y&=&t\\ 1 &=&t \end{array}\right. \iff$ $ \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 0\\ y&=&1\\ z &=& 1\\ 1 &=&t \end{array}\right.$ Conclusion : I(0~;~1~;~1) \end{enumerate} \item %Soient A et B les points de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $(1~;~1~;~0)$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que les points A et B appartiennent au plan $\mathscr{R}$. A $\in \mathscr{R} \iff -\dfrac{1}{2} - 0 + -\dfrac{1}{2} = 0$ qui est vrai ; B $\in \mathscr{R} \iff 1 - 1 + 0 = 0$ qui est vrai. \item %On appelle A' et B' les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.\\ %Justifier que le quadrilatère ABA' B' est un losange. I étant le milieu de [AA$'$] et [BB$'$], le quadrilatère ABA$'$ B$'$ est un est un parallélogramme. D'autre part : $\vect{\text{IA}}\left(- \dfrac{1}{2}~;~-1~;~- \dfrac{1}{2}\right)$ et $\vect{\text{IB}}\left(1~;~0~;~- 1\right)$. Donc $\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{IB}} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0.$ Le parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires : c'est un losange \item %Vérifier que le point S de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$. Le point S correspond bien au point de $\mathscr{D}$ de paramètre $-1$ \item %Calculer le volume de la pyramide SABA' B'.\\ A, B, I, A$'$ et B$'$ sont des points de $\mathscr{R}$ et I et S appartiennent à la droite $\mathscr{D}$, donc la droite (IS) est la hauteur issue de S de la pyramide %\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $b$ et de hauteur $h$ est: $V=\dfrac{1}{3}b\times h$}. L'aire du losange est égale au quadruple de l'aire du triangle rectangle IAB. On a IA = $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ; IB = $ \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$. Donc aire (ABA$'$'B$'$) = $4 \times \dfrac{1}{2} \times\dfrac{\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{12}$. La hauteur : $\vect{\text{IS}}(2~;~-2~;~2)$, d'où IS = $ \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$. Finalement $V = \dfrac{1}{3} \times \sqrt{12}\times \sqrt{12} = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{EXERCICE 3 :\hfill(4 points)} \begin{center} Commun à tous les candidats \end{center} \textbf{PARTIE A} %Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) =\mathrm{e}^{x}$ .\\ %On appelle $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. \begin{enumerate} \item %Soit $a$ un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $M$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $P$ d' abscisse $a -1$. $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) = \mathrm{e}^{x}$. L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y - f(a) = f'(a)(x - a) \iff y - \mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{a}(x - a)$. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'ordonnée $0$ ; donc $0 - \mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{a}(x - a) \iff -1 = x - a \iff x = a - 1$ (car $\mathrm{e}^{a} \neq 0$. On a donc $P(a - 1~;~0)$. \item %Soit $N$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Démontrer que $\overrightarrow{NP} = -\overrightarrow{i}.$ On a $M\left(a~;~\mathrm{e}^{a}\right)$ et $N(a~;~0)$. D'ou $\vect{NP}(- 1~;~0)$ ce qui signifie que $\vect{NP} = - \vect{\imath}$. \end{enumerate} \textbf{PARTIE B}\\ %Soit $g$ une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que $g'(x)\neq 0$ pour tout nombre réel $x$.\\ %On appelle $\mathscr{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ .\\ %Soit $a$ un nombre réel. On considère le point $M$ de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ d'abscisse $a$ et le point $N$ projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses.\\ %Soit $P$ le point d'intersection de la tangente $T_{a}$ à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses.\\ %Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B. %Courbe \begin{center} \psset{xunit=3.0cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.1,2.6) \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-1,-0.5)(3,2.5) \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){$O$} \uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))} \psplot{-1}{3}{(--0.49-0.23*x)/1} \psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0) \rput[bl](-0.96,1.93){\blue $\mathscr{C}_{g}$} \psdots(1.18,0.23) \uput[ur](1.19,0.25){$M$} \psdots(1.18,0) \uput[dr](1.19,0.03){$N$} \psdots(2.18,0) \rput[bl](2.19,0.03){$P$} \uput[d](2.9,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$} \uput[u](-0.9,0.7){$T_a$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item %Démontrer que le point P a pour coordonnées $\left(a-\dfrac{g(a)}{g'(a)}\right)$. L'équation de la tangente est : $y - g(a) = g'(a)(x - a)$. Le point $P$ d'ordonnée nulle est tel que $0 - g(a) = g'(a)(x - a) \iff x - a = - \dfrac{g(a)}{g'(a)} \iff x = a - \dfrac{g(a)}{g'(a)}.$ (car $g'(a) \neq 0$) \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\ %Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\overrightarrow{NP} =\overrightarrow{i}$ ? On a $P\left(a - \dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0\right)$ et $N(a~;~0)$, d'où $\vect{NP}\left(-\dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0 \right)$. Donc $\vect{NP} = \vect{\imath} \iff -\dfrac{g(a)}{g'(a)} = 1 \iff - g(a) = g'(a)$. La fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $y' = - y$ ; on sait que les solutions de cette équation sont de la forme $y = C\text{e}^{-x}$. Avec la condition initiale $y(0) = 2$, on obtient $2 = C\text{e}^{-0} \iff C =2.$ Conclusion : il existe bien une seule fonction vérifiant les deux conditions données, c'est la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^{-x}.$ \end{enumerate} \subsection*{EXERCICE 4 :\hfill (5 points)} \begin{center} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \end{center} %Un réparateur de vélos a acheté 30~\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40~\% à un deuxième et le reste à un troisième.\\ %Le premier fournisseur produit 80~\% de pneus sans défaut, le deuxième 95~\% et le troisième 85~\%. \begin{enumerate} \item %Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock. \begin{enumerate} \item %Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875. F$_{1}$ désigne l'évènement : \og le pneu provient du fournisseur 1 \fg. D désigne l'évènement : \og le pneu présente un défaut \fg. On a l'arbre suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F_{1}$~}\naput{0,3}} {\TR{$\overline{D}$}\naput{0,8} \TR{$D$}\nbput{0,2} } \pstree{\TR{$F_{2}$~}\naput{0,4}} {\TR{$\overline{D}$}\naput{0,95} \TR{$D$}\nbput{0,05} } \pstree{\TR{$F_{3}$~}\nbput{0,3}} {\TR{$\overline{D}$}\naput{0,85} \TR{$D$}\nbput{0,15} } } \end{center} \bigskip D'après le théorème des probabilités totales : $p\left(\overline{D}\right) = p\left(F_{1} \cap \overline{D}\right) + p\left(F_{2} \cap \overline{D}\right) + p\left(F_{3} \cap \overline{D}\right)$ soit $p\left(\overline{D}\right) = 0,3 \times 0,8 + 0,4 \times 0,95 + 0,3 \times 0,85 = 0,24 + 0,38 + 0,255 = 0,875$. %\item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$. On a $p_{\overline{D}}\left(F_{2}\right) = \dfrac{p\left(\overline{D} \cap F_{2} \right)}{p\left(\overline{D} \right)} = \dfrac{0,4 \times 0,95}{0,875} = \dfrac{0,38}{0,875} \approx 0,434$. \end{enumerate} \item %Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.\\ %Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$. La variable aléatoire donnant le nombre de pneus ayant un défaut suit une loi binomiale de probabilité $1 - 0,875 = 0,125$ avec $n = 10$. La probabilité cherchée est donc égale à : $p(D\leqslant 1) = p(D = 0) + p(D = 1) = 0,125^0\times 0,875^{10} + \displaystyle\binom{10}{1}\times 0,125^1 \times 0,875^9 =$ $ 0,875^{10} + 10 \times 0,125 \times 0,875^9 \approx{0,6388} \approx{0,639}$ au millième près \item %On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. %On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \int_{0}^k \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$ \begin{enumerate} \item %Montrer que $P(500\leqslant X\leqslant 1000) =\mathrm{e}^{-500\lambda}-\mathrm{e}^{\nombre{1000}\lambda}$. On a $p(500 \leqslant X \leqslant 1000) = \displaystyle\int_{0}^{1000}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^{500}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{500}^{1000}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \left[\text{e}^{-\lambda x} \right]_{500}^{1000} = - \text{e}^{-1000\lambda} - \left(\text{e}^{-500\lambda} \right) = \text{e}^{-500\lambda} - \text{e}^{-1000\lambda}$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\ %La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \nombre{1000} kilomètres sans crevaison étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$. On a donc $p(500 \leqslant X \leqslant 1000) = \dfrac{1}{4} \iff \text{e}^{-500\lambda} - \text{e}^{-1000\lambda} = \dfrac{1}{4} \iff \text{e}^{-500\lambda} - \left(\text{e}^{-500\lambda} \right)^2 - \dfrac{1}{4} = 0$. En posant $x = \text{e}^{-500\lambda}$, l'équation à résoudre s'écrit $x - x^2 - \dfrac{1}{4} = 0 \iff x^2 - x + \dfrac{1}{4} = 0 \iff \left(x - \dfrac{1}{2} \right)^2 = 0 \iff x - \dfrac{1}{2} = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$. Il reste à résoudre : $\text{e}^{-500\lambda} = \dfrac{1}{2}$ soit d'après la croissance de la fonction $\ln,\: -500\lambda = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) \iff $ $-500\lambda = - \ln 2 \iff \lambda = \dfrac{\ln 2}{500}\approx \nombre{0,00138} \approx \nombre{0,0014}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{EXERCICE 4 :\hfill (5 points)} \begin{center} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le reste dans la division euclidienne de \nombre{2009} par 11. $\nombre{2009} = 11 \times 182 + 7$. Le reste est donc égal à $7$. \item %Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11. On a $2^5 = 32 = 11 \times 2 + 10$, donc $2^5 \equiv 10 \mod 11$, ou $2^5 \equiv - 1 \mod 11$ donc $\left(2^5\right)^2 \equiv (- 1)^2 \mod 11 \iff 2^{10} \equiv 1 \mod 11$. Le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11 est égal à 1. \item %Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ par 11. On a $2^{\nombre{2009}} = 2^{10 \times 200 + 9} = 2^{10 \times 100}\times 2^9 = \left(2^{10} \right)^{100}\times 2^9 $. Or $2^{10} \equiv 1 \mod 11$, donc $\left(2^{10} \right)^{100} \equiv 1^{100} \mod 11$ ; D'autre part $2^9 = 2^5 \times 2^4$. On a vu que $2^5 \equiv -1 \mod 11$ et $2^4 = 16 \equiv 5 \mod 11$, donc par produit $2^9 = 2^5 \times 2^4 \equiv -5 \mod 11$. Finalement $2^{\nombre{2009}} \equiv 1 \times (-5) \mod 11 $ ou $2^{\nombre{2009}} \equiv - 5 \mod 11$ et comme $\nombre{2009} \equiv 7 \mod 11$, par somme on obtient finalement : $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009} \equiv -5 + 7 \mod 11$ ou encore $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009} \equiv 2 \mod 11$. Le reste dans la division euclidienne de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ par 11 est égal à 2. \end{enumerate} \item %On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$.\\ %On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$. $A_{n+1} = 2^{n+1} + p$. Tout diviseur de $A_{n}$ et $A_{n+1}$ divise leur différence $ 2^{n+1} + p - \left(2^n + p \right) = 2^{n+1} - 2^n = 2^n(2 - 1) = 2^n.$ En particulier $d_{n}$ divise $2^n$. \item %Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier. $n$ étant supérieur à zéro, $2^n$ est pair, donc $A_{n} = 2^n + p$ a la même parité que $p$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$. D'après la question précédente $A_{n}$ et $A_{n+1}$ ont la parité de $p$. Donc si $p$ est pair $A_{n}$ et $A_{n+1}$ et par conséquent leur P. G. C. D. le sont aussi ; si $p$ est impair $A_{n}$ et $A_{n+1}$ et par conséquent leur P. G. C. D. le sont aussi ; %En déduire le PGCD de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ et $2^{\nombre{2010}} + \nombre{2009}$. D'après le résultat précédent $A_{\nombre{2009}}$ et $A_{\nombre{2010}}$ sont impairs car $\nombre{2009}$ l'est et leur P. G. C. D. l'est aussi. Or on a vu que ce P. G. C. D., $d_{n}$ divisait $2^n$. Or tous les diviseurs de $2^n$ sont pairs sauf 1 seul diviseur impair. Conclusion : le P. G. C. D. de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ et $2^{\nombre{2010}} + \nombre{2009}$ est égal à 1 : ils sont premiers entre eux. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1}\\ (à rendre avec la copie) \end{center} \begin{center} \psset{unit=3.8cm,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(3.1,3.1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{i}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{j}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0}{3.0}{x dup mul 4 add ln} \psplot[plotpoints=2000]{0}{3.0}{x} \uput[d](1,0){$u_{0}$} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1,0)(1,1.61) \uput[d](2.8,2.46){\blue $\mathscr{C}$} \uput[u](2.5,2.5){$\Delta$} %\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1,1.61)(1.61,1.61) %\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.61,1.886)(1.61,0) %\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.61,1.886)(1.886,1.886)(1.886,0) %\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.886,1.886)(1.886,2.022)(2.022,2.022)(2.022,0) \uput[d](1.61,0){$u_{1}$}\uput[d](1.886,0){$u_{2}$} \uput[d](2.022,0){$u_{3}$} \uput[ul](2.16,2.16){I} \SpecialCoor \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x dup mul 4 add ln} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{14}{x} \pscustom[linewidth=0.5pt]{%le tracé des pts \escalier{x dup mul 4 add ln}{1}{5}{$A$} } \end{pspicture*} \end{center} \label{fin} \end{document}