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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 16  septembre 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]16 septembre 2011}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0,12$.
% 
%Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ 
%
%\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
%Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.
% 
%On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d'utilisation ?
La loi suivie par la variable aléatoire $X$ prenant pour valeur le nombre de moteurs tombant en panne est une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,12$.

On a $p(X = 2) = \displaystyle\binom{20}{2}\times 0,12^2 \times (1 - 0,12) ^{20 - 2} = 190 \times 0,12^2 \times 0,88^8 \approx \np{0,27403} \approx 0,274$ à  $10^{-3}$ près.
\item %Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ?
On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,88^{20} \approx \np{0,9224} \approx 0,922$  à  $10^{-3}$ près.

\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

%On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$, est un réel strictement positif.
% 
%On rappelle que pour tout réel positif $t,\:\: p(Y \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

%\medskip
% 
%Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $p(Y \leqslant 1)$ en fonction de $\lambda$. En déduire la valeur de $\lambda$.
On a  $p(Y \leqslant 1) = \displaystyle\int_{0}^1~ \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{- \lambda x}  \right]_{0}^1 = - \text{e}^{- \lambda} + 1 = 1 - \text{e}^{- \lambda} = 0,12 \iff \text{e}^{- \lambda} = 0,88 \iff $

$- \lambda = \ln 0,88$ \:(par croissance de la fonction logarithme népérien) 
$\iff - \lambda \approx -\np{0,1278}\iff$

$ \lambda \approx 0,128$ à  $10^{-3}$ près.
%Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda = 0,128$ .

\item %Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ? 
On a $p(Y > 3) = 1 - p(Y \leqslant 3) = 1 - \displaystyle\int_{0}^3~ 0,128\text{e}^{- 0,128 x}\:\text{d}x = 1 - \left[-\text{e}^{- 0,128 x}\right]_{0}^3 = 1 - \left(- \text{e}^{- 0,128 \times 3} - 1\right) = \text{e}^{- 0,384} \approx \np{0,6811} \approx 0,681$ à $10^{-3}$ près. 
\item %Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
On a $p_{Y > 1}(Y > 4) =  p_{Y > 1}(Y > 1 + 3) = p(Y > 3)$ puisqu'on a une loi exponentielle sans vieillissement, soit environ 0,681.
\item %On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} F(t)$ où $F$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda x \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $F(t)$ en fonction de $t$.
		Posons $\left\{\begin{array}{l c l l c l}
u^{\prime}(x) &=& \lambda \text{e}^{- \lambda x}&v(x) &=&x\\
u(x) &=&- \text{e}^{- \lambda x}&v^{\prime}(x)&=&1
\end{array}\right.$

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur $\R_{+}$, on peut intégrer par parties :

$F(t) =  \left[- x \text{e}^{- \lambda x}\right]_{0}^t + \displaystyle\int_{0}^t~  \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \left[- x \text{e}^{- \lambda x} - \dfrac{1}{\lambda}\text{e}^{- \lambda x}  \right]_{0}^t = - t\text{e}^{- \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda}\text{e}^{- \lambda t}  + 0 + \dfrac{1}{\lambda} = $

$F(t) = \dfrac{1}{\lambda} -  \dfrac{1}{\lambda}\text{e}^{- \lambda t} - t\text{e}^{- \lambda t}$.
		\item %En déduire la valeur de $d_{m}$. On arrondira à $10^{-1}$.
$\bullet~~$ $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- \lambda t} = 0$ ;

$\bullet~~$ $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} t\text{e}^{- \lambda t} = 0$ ;

Donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} F(t) = \dfrac{1}{\lambda}$.

Comme $\lambda \approx 0,128 \Rightarrow \dfrac{1}{\lambda} \approx \np{7,8125} \approx 7,8$.

Donc $d_{m} \approx 7,8$.

La durée moyenne de vie d'un moteur est légèrement inférieure à 7 ans et 10 mois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\begin{center}\textbf{Partie A - Étude du signe d'une fonction}\end{center}
 
%On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[f(x) = x^2 + 4\ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
$f$ somme de fonctions dérivable sur  $]0~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{4}{x}$.

Comme $x > 0 \Rightarrow 2x > 0$ \: \text{et}\:$\dfrac{4}{x} > 0$, on déduit que $f^{\prime}(x) > 0$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} 4\ln x= - \infty$  ; par somme de limites, on a $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

L'axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de zéro.

$\bullet~~$ $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{4}{x} = 0$  ; par somme de limites, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $f$ continue car dérivable croît sur $]0~;~+ \infty[$ de $- \infty$ à $+ \infty$. Elle réalise donc une bijection de $]0~;~+ \infty[$ sur $\R$ ; donc tout réel, en particulier $0$ a un antécédent unique dans $]0~;~+ \infty[$.

Il existe donc $\alpha$ réel supérieur à zéro tel que $f(\alpha) = 0$. 
\item %En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel strictement positif $x$.
De la question précédente résulte le signe de $f(x)$ :

$\bullet~~$ si $0 < x < \alpha : \:f(x) < 0$ ;

$\bullet~~$ si $x = \alpha : \:f(x) = 0$ ;

$\bullet~~$ si $\alpha < x   : \:f(x) > 0$. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B - Une valeur approchée du réel \boldmath$\alpha$ \unboldmath défini dans la partie A } \end{center}

%Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

%\[g(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x^2}\] 

%On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 	

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&0,5\\
%u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right) \quad \text{pour tout }\:n \in \N.
%\end{array} \right.\] 

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = x$.
$g(x) = x \iff \text{e}^{- \frac{1}{4}x^2} = x \iff  - \frac{1}{4}x^2 = \ln x$ \:(par croissance de la fonction logarithme népérien, les deux membres étant supérieurs à zéro)\:$ \iff  \frac{1}{4}x^2 + \ln x = 0 \iff x^2  + 4\ln x = 0 \iff f(x) = 0$.

On a vu que l'unique solution de cette équation est le réel positif $\alpha$. Donc $\alpha$ est aussi l'unique solution de l'équation $g(x) = x$.
\item %Au moyen de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite d'équation $y = x$, représenter les termes $u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ sur l'axe des abscisses.
Voir plus bas. 
%Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
On peut conjecturer que la suite converge vers la solution de l'équation $g(x) = x$ dans $\R_{+}^{\star}$ c'est-à-dire $\alpha$. 
\item %On admet que pour tout entier naturel $n,\quad  u_{2n} \leqslant \alpha \leqslant  u_{2n+1}$.
 
%En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel les trois premières décimales de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont identiques. 
Après avoir entré la fonction $g$ dans la fonction $y_{1}(x)$ (calculatrice TI), on entre 

0,5 Entrée

$y_{1}(\text{ANS}(1))$ Entrée

puis Entrée  Entrée Entrée, \ldots,  on obtient :

$u_{0} = 0,5,\:u_{1} \approx \np{0,939413},\:u_{2} \approx \np{0,802018},\: u_{3} \approx\np{0,851455},\: u_{4} \approx \np{0,834232},\: u_{5} \approx \np{0,840309},\:u_{6} \approx \np{0,838174},$

$u_{7} \approx \np{0,838925}$.

Le plus petit entier $n$ pour lequel les trois premières décimales de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont identiques est donc $n = 6$.

Puisqu'on a supposé que $u_{6} \leqslant \alpha \leqslant  u_{7}$, on a donc $\np{0,838174} \leqslant \alpha \leqslant \np{0,838925}$.

Donc $0,838$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
%En déduire que $0,838$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. 

\medskip

\psset{unit=6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(1.7,1.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=5](-0.4,-0.19)(1.7,1.3)
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\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.7}{1 2.71828 0.25 x dup mul mul exp div}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.9394)(0.9394,0.9394)(0.9394,0.802)(0.802,0.802)(0.802,0.8515)(0.8515,0.8515)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(0.9394,0.802)(0.9394,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(0.802,0.802)(0.802,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(0.8515,0.8515)(0.8515,0)
\uput[d](0.5,0.02){\small$u_{0}$} \uput[d](0.9394,0.02){\small$u_{1}$} \uput[d](0.802,0.02){\small$u_{2}$} \uput[d](0.8515,0.02){\small$u_{3}$} 
\psline(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-0.35,0.95){$(\mathcal{C})$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C - Un problème de distance} \end{center}
 
%On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[\varphi(x) = 2\ln x.\]
 
%L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe $(\Gamma)$, il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine O que tous les autres.
 
\begin{enumerate}
\item %Soient $M$ un point de la courbe $(\Gamma)$ et $x$ son abscisse. Exprimer O$M$ en fonction de $x$.
Avec $M(x~;~2\ln x)$, on a O$M^2 = x^2 + (2\ln x)^2 = x^2 + 4 (\ln x)^2$.

Comme $x^2 > 0$ et $4 (\ln x)^2 > 0$, on a O$M^2 > 0$.

Donc O$M = \sqrt{x^2 + 4 (\ln x)^2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
		
%\[h(x) = x^2 + 4(\ln x)^2.\]

%Étudier les variations de la fonction $h$. On pourra utiliser la partie A.
$h$ somme de fonctions dérivables sur  $]0~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$h^{\prime}(x) = 2x + 8(\ln x) \times \dfrac{1}{x} = 2x + 8\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{2x^2 + 8\ln x}{x} = \dfrac{2\left(x^2 + 4\ln x\right)}{x} = \dfrac{2f(x)}{x}$.

Comme $x > 0$, le signe de $h^{\prime}(x)$ est celui de $2f(x)$ , donc celui de $f(x)$ qui a été étudié dans la partie A. Conclusion :

$\bullet~~$ si $0 < x \alpha : h^{\prime}(x) < 0$ : la fonction $h$ est décroissante sur $[0~;~\alpha[$ ;

$\bullet~~$ si $x > \alpha : h^{\prime}(x) > 0$ : la fonction $h$ est croissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
		\item %En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe $(\Gamma)$ tel que pour tout point $M$ de $(\Gamma)$, distinct de A, on ait O$M >$ OA.
		Le résultat précédent montre que la fonction $h$ a un minimum  $h(\alpha)$. La fonction définie par 
		
$x \longmapsto \text{O}M = \sqrt{h(x)}$ a les mêmes variations que la fonction $h$, donc un minimum en $\alpha$.
		
		Conclusion : il existe un point unique de $(\Gamma)$ A$(\alpha~;~2\ln \alpha)$ tel que OA $ < \text{O}M$ pour tout point $M$ de $(\Gamma)$ distinct de A.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $(\Gamma)$ au point A.
La tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $(\Gamma)$ au point A a pour vecteur directeur $\left(1~;~\varphi^{\prime}(\alpha)\right) = \left(1~;~\dfrac{2}{\alpha}\right)$.

La droite OA a pour vecteur directeur $\vect{\text{OA}}(\alpha~;~2\ln \alpha)$.

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est égal à :
$1 \times \alpha + \dfrac{2}{\alpha} \times 2\ln \alpha = \alpha + \dfrac{4\ln \alpha}{\alpha} = \dfrac{\alpha^2 + 4\ln \alpha}{\alpha}$.

On a vu dans la question précédente que $f(\alpha) = \alpha^2 + 4\ln \alpha = 0$ donc le produit scalaire est nul, ce qui montre que la la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T$_{\text{A}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip  

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 

\begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center}
 
%On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
% 
%Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$.

 
\begin{center}\textbf{Partie B - Questionnaire à choix multiples }  \end{center}

%\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.}
% 
%\emph{Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}
%
%\medskip
% 
%On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1).
 
\begin{enumerate}
\item %Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B, C définissent le plan P.
Faux $2 - 1 + 3 = 0$ est faux. 
		\item Les points A, B, D définissent le plan P.
D$(-1~;~4~;~2) \in P \iff - 2 - 4 + 6 = 0$ : vrai ;

$\vect{\text{AB}}(-1~;~1~:~1)$ et $\vect{\text{AD}}(-2~;~2~:~2)$, donc  $\vect{\text{AD}} = 2$$\vect{\text{AB}}$ : les points A, B, D sont alignés : ils ne définissent pas un plan. 
		\item %Les points A, B, E définissent le plan P.
E$(1~;~5~;~1) \in P \iff 2 - 5 + 3 = 0$ : vrai.

$\vect{\text{AE}}(0~;~3~;~1)$ n'est pas colinéaire à $\vect{\text{AB}}$. Conclusion les trois points A, B et E définissent le plan $P$.		 
	\end{enumerate}
\item %La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} 
%x&=&1 - t\\ 
%y &=&t, 	\\ 
%z &=& 2 + t
%\end{array}\right. \quad t \in \R.$ 
	\begin{enumerate}
		\item %La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$.
Un vecteur directeur de la droite $D$ a pour coordonnées $(-1~;~1~;~1)$.

Un vecteur normal au plan $P$ a  pour coordonnées $(2~;~- 1~;~3)$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $D$ n'est pas perpendiculaire au plan $P$
		\item %La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$.
Le produit scalaire des deux vecteurs précédents est égal à : $-2 - 1 + 3 = 0$, donc la droite $D$ est parallèle au plan $P$.

Le point de $D$ correspondant à $t = 0$, donc de cordonnées (1~;~0~;~2) n'appartient pas à $P$ ($2 + 6 = 0$ est fausse), donc la droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$.
		\item %La droite $D$ est incluse dans le plan $P$.
On vient de voir que c'est faux.
	\end{enumerate}
\item %Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S$ et au plan $P$ est :

La distance de $\Omega$ au plan $P$ est égale à :

$d = \dfrac{|2 \times 2 - 5 + 3 \times 1|}{\sqrt{2^2 + (- 1)^2 +  3^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{14}}$.
Or $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{2}{\sqrt{16}} <  \dfrac{2}{\sqrt{14}}$.

La distance du point $\Omega$ au plan $P$ est supérieure au rayon de la sphère : l'intersection de la sphère $S$ et du plan $P$ est donc vide.
%	\begin{enumerate}
%		\item vide, 
%		\item constitué d'un seul point, 
%		\item un cercle.
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

%\medskip
%  
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
%
%\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$. 
On a $z_{\text{B}'} = \dfrac{2 - \text{i} - \text{i}}{2 + \text{i} + \text{i}} = \dfrac{2 - 2\text{i}}{2 + 2\text{i}} = \dfrac{1 - \text{i}}{1 + \text{i}} = \dfrac{(1 - \text{i})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} = \dfrac{1 - 1 - 2\text{i}}{1 + 1} = - \text{i}$.

%Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie. 
\item %Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image.
Avec $z \neq \text{i},\:z = z' \iff x + \text{i}y = \dfrac{x + \text{i}y - \text{i}}{x - \text{i}y + \text{i}} \iff (x + \text{i}y) (x - \text{i}y + \text{i}) = x + \text{i}y - \text{i} \iff x^2  + y^2 - y - xy \text{i} +  \text{i} x + xy\text{i} = x + \text{i}y - \text{i} \iff x^2  + y^2 - y  + \text{i} x  = x + \text{i}y - \text{i} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 - y	&=&x\\
x				&=&y - 1
\end{array}\right. \iff$ 

$ 
\left\{\begin{array}{l c l}
(y - 1)^2 + y^2 - y	&=&y - 1\\
x					&=&y - 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2y^2 - 3y + 1 	&=&y - 1 \\
x				&=&y - 1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
2y^2 - 4y + 2 	&=& 0\\
x				&=&y - 1
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
y^2 - 2y + 1 	&=& 0\\
x				&=&y - 1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
(y-  1)^2 	&=& 0\\
x			&=&y - 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y &=&1\\
x &=&0
\end{array}\right.$

Cette solution n'est pas valide ($z = \text{i}$), puisque par définition $z \neq \text{i}$.

Conclusion : la transformation n'a pas de point invariant.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$.
On a $\overline{z} + \text{i} = \overline{z} + \overline{- \text{i}} = \overline{z + (- \text{i})} = \overline{z - \text{i}}$. (le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués.) 
		\item %Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat.
D'après l'égalité précédente : $z' =   \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} =  \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}} \Rightarrow \left|z'\right| = \left|\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}}\right| = \dfrac{\left|z - \text{i} \right|}{\left|\overline{z - \text{i}} \right|} = 1 $ puisque le module d'un complexe est égal à celui de son conjugué.

Conclusion : $\left|z'\right| = \text{O}M' = 1$.

Tous les points images appartiennent au cercle trigonométrique, centré en O et de rayon 1.
		\item %Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A, 

%\[\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\]
De même l'égalité $z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}}$ donne pour les arguments :

$\arg(z') = \arg\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}} \right) \iff \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) - \left[- \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right)  \right] = 2\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right)$. 
		\item %En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A.
On a vu que le point $M'$ appartient au cercle trigonométrique ; il suffit de trouver un des arguments.

D'après la question précédente, on peut doubler l'argument de $z - \text{i}$ sur le cercle centré en A de rayon 1 et en reportant cet argument sur le cercle trigonométrique. Voir la figure.

\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\pscircle(0,0){1}\pscircle(0,1){1}
\psline(-1,1)(3,1)
\psline(0,1)(0.906308,1.422618)(1.6314,1.7607)
\psarc[linecolor=blue](0.906308,1.422618){0.4328}{-270)}{-50}
\psarc[linecolor=red](0.63,1.76){1}{-100}{-80}
\uput[ul](0,1){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.6314,1.7607){M}
\psline(0,1)(0.63,1.76)(0.63,0.76)(0,0)\uput[dr](0.53,0.76){$M'$}
\psplot[linecolor=blue]{-1}{1.7}{0.57735 x mul 1 add}
\uput[ul](1.5,1.8){\blue$(d)$}

\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate}
\item %Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Dessiner la droite $(d)$.
Voir la figure : droite contenant A et faisant un angle de $\dfrac{\pi}{6}$ avec l'axe des abscisses. 
		\item %Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A.
		On a vu que si $M$ est un point de la droite $(d)$ distinct de A, un argument de son image $M'$ est égale à $2 \times \dfrac{\pi}{6} =  \dfrac{\pi}{3}$.
		
On a aussi démontré que O$M' = 1$.

L'image de la droite $(d)$ est donc réduite au seul point du cercle trigonométrique d'argument  $\dfrac{\pi}{3}$ : c'est le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

%On note A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(6~;~1)$.
% 
%Pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, on note $M'$ l'image du point $M$ par la symétrie orthogonale d'axe (AB) et $\left(x'~;~y'\right)$ ses coordonnées.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier l'existence de deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe $z'$ du point $M'$ est donnée par 

%\[z' = a \overline{z} + b.\]
On sait que l'écriture complexe d'une symétrie orthogonale est de la forme $z' = a\overline{z} + b$, $a$ et $b$ étant deux nombres complexes.  
		\item %En utilisant les points A et B, démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
%1&=& a+b\\ 
%6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b
%\end{array}\right.$ 
Les deux points A et B sont invariants par la symétrie orthogonale d'axe (AB), donc 

$\left\{\begin{array}{l c l}
1 + 0\text{i}&=& a(1 - 0\text{i}) + b\\ 
6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 &=& a + b\\ 
6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b
\end{array}\right.$ 
		\item %En déduire que, pour tout nombre complexe $z$ : 

%\[z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}).\] 
Par différence des deux équations précédentes, on a $5 + \text{i} = a(5 - \text{i}) \iff a = \dfrac{5 + \text{i}}{5 - \text{i}} = \dfrac{(5 + \text{i})(5 + \text{i})}{(5 + \text{i})(5 - \text{i})} = \dfrac{25 - 1 + 10\text{i}}{25 + 1} = \dfrac{12 + 5\text{i}}{13}$. D'o\`u en remplaçant dans la première équation :

$b = 1 - a = 1 - \dfrac{12 + 5\text{i}}{13} = \dfrac{1 - 5\text{i}}{13}$.

Conclusion : la symétrie orthogonale d'axe (AB) a pour écriture complexe :

\[z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}).\]
		\item %Établir que, pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, les coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ du point $M'$ sont telles que : 

%\[x' = \dfrac{1}{13}(12x + 5y + 1)\quad  \text{et} \quad  y' = \dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5).\]
Avec $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, on a :

$z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}) \iff  x' + \text{i}y' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) (x - \text{i}y) + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i})$ d'o\`u en identifiant parties réelles et parties imaginaires :

\renewcommand\arraystretch{1.9}
$\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&\dfrac{12}{13}x + \dfrac{5}{13}y + \dfrac{1}{13}\\
y'&=&\dfrac{5}{13}x - \dfrac{12}{13}y - \dfrac{5}{13}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&\dfrac{1}{13}(12x + 5y + 1)\\
y'&=&\dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5)
\end{array}\right.$  
		\end{enumerate} 
\item %On désigne par $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers relatifs et tels que le point $M'$ associé appartienne à l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $M(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si $5(x -1) = 12y$.
$M(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si l'ordonnée de $M'$ est nulle soit $\dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5) = 0 \iff 5x - 12y - 5 = 0 \iff 5(x- 1) = 12y.$ 
		\item %En déduire que $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 12k~;~ 5k)$ où $k$ est un entier relatif.
L'égalité $5(x- 1) = 12y$ montre que 5 divise $12y$, et étant premier avec 12, il divise $y$. Il existe donc un entier $k$ tel que $y = 5k$.

On a donc $5(x- 1) = 12y \iff 5(x-1) = 12 \times 5k \iff x - 1 = 12k \iff x = 1 + 12k$.

Conclusion : $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 12k~;~ 5k)$ où $k$ est un entier relatif
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on suppose que les coordonnées de $M$ sont des entiers relatifs et que l'abscisse de $M'$ est un entier relatif. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $x \equiv  5u + 1\quad  [13]$.
$x'$ est un entier donc  $12x + 5y + 1$ est un multiple de 13 ou $12x + 5y + 1 \equiv 0 \quad [13] (1)$.

Or $12 \equiv - 1\quad [13]$ d'o\`u $12x \equiv - x\quad [13]$, d'o\`u en remplaçand  dans (1) $- x + 5y + 1 \equiv 0 \quad [13]$ et enfin $x \equiv 5y + 1\quad [13]$, $y$ étant lui aussi un entier. 
		\item %En déduire que $5x -12y - 5 \equiv 0\quad [13]$ et que l'ordonnée de $M'$ est un entier relatif.
Soit $5x - 12y - 5 \equiv 5(5y + 1) - 12y - 5 \quad [13]$ ou encore $5x - 12y - 5 \equiv 13y \quad [13]$ c'est-à-dire  $5x - 12y - 5 \equiv 0 \quad [13]$ ce qui signifie que $5x - 12y - 5 $ est un multiple de 13 et donc que $y'$ est lui aussi un entier.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer les points $M$ de la droite d'équation $x = 2$ tels que les coordonnées du point $M'$ soient des entiers relatifs.
 
%On pourra montrer que l'ordonnée $y$ d'un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.
Avec $x = 2$, les cordonnées de $M'$ sont entières si et seulement si :

$\left\{\begin{array}{l c l}
24 + 5y + 1 &\equiv& 0\quad [3]\\
10 - 12y - 5&\equiv& 0 \quad [13]
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
5y + 25 &\equiv& 0\quad [3]\\
5 - 12y - 5&\equiv& 0 \quad [13]
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
25y + 125 &\equiv& 0\quad [3]\\
10 - 24y &\equiv& 0 \quad [13]
\end{array}\right.
\Rightarrow$ (par somme)\: $y + 135 \equiv 0\quad [13] \iff y \equiv - 135 \quad [13]$.

Comme $-135 \equiv - 5 \quad [13]$, on obtient finalement $y \equiv - 5\quad [13]$.

Conclusion : $y = 13k - 5$, avec $k \in \Z$.

Les points de coordonnées $(2~;~13k - 5)$ ont des images à cordonnées entières.  
\end{enumerate}
\end{document}