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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat S Nouvelle--Calédonie ~\decofourright\\novembre 2004}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\[z' = z^2 - 4z.\]

\begin{enumerate}
 \item	
	\begin{enumerate}
		 \item Soit  $z_{\text{A}} = 1  - \text{i}$ ; alors   $z_{\text{A}'} = (1 - \text{i})^2 - 4(1 - \text{i}) = 1 - 1 - 2\text{i} - 4 + 4\text{i} = - 4 + 2\text{i}$.\\
$z_{\text{B}} = 3  + \text{i}$ ; alors $z_{\text{B}'} = (3  + \text{i})^2 - 4(3  + \text{i}) = 9 - 1 + 6\text{i} - 12 - 4\text{i} = - 4 + 2\text{i} = z_{\text{A}'}$.
		\item Supposons que $z_{1}$ et $z_{2}$ aient la même image par $f$, alors :
		
$z_{1}^2 - 4z_{1} = z_{2}^2 - 4z_{2} \iff z_{1}^2 - z_{2}^2 - 4z_{1} + 4z_{2} = 0 \iff$

$ \left(z_{1} + Z_{2} \right)\left(z_{1} - z_{2} \right) - 4\left(z_{1} - z_{2}   \right) = 0 	\iff\left(z_{1} - z_{2} \right)\left[z_{1} + z_{2} - 4\right] = 0 \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
	z_{1} - z_{2}&=&0\\
	z_{1} + z_{2} - 4&=&0\\
	\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
	z_{1}  &=&z_{2}\\
	z_{1} + z_{2}  &=&4\\
	\end{array}\right.$ \\
	Conclusion : si deux points ont la même image :
	\begin{itemize}
\item ou ils sont égaux ;
\item ou ils sont symétriques autour du point d'affixe $2$ (car $\dfrac{z_{1} + z_{2}}{2} = 2$).
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Soit I le point d'affixe $-3$.
	\begin{enumerate}
		 \item O$M$I$M'$ est un parallélogramme si et seulement si  ses diagonales [OI] et $[MM']$ ont le même milieu  soit si $- \dfrac{3}{2} = \dfrac{z + z'}{2} \iff \\- 3 = z + z' \iff -3 = z + z^2\ - 4z \iff z^2 - 3z + 3 = 0$.
		\item $z^2 - 3z + 3 = 0 \iff \left(z - \dfrac{3}{2} \right)^2  - \dfrac{9}{4} + 3 = 0 \iff$
		
$ \left(z - \dfrac{3}{2} \right)^2  + \dfrac{3}{4} = 0 \iff \left(z - \dfrac{3}{2} \right)^2  - \left(\dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0$.
		
		D'où les deux solutions :
		$z_{1} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_{2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}.$
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item $(z'+ 4) = z^2 - 4z + 4 = (z - 2)^2$. De cette égalité il découle :
		 \begin{itemize}
\item en égalant les modules $|z' + 4| = \left|(z - 2)^2 \right| = | z - 2|^2$,
\item en égalant les arguments arg$(z'+ 4) = \text{arg}\left[(z - 2 )^2\right] = 2 \text{arg}(z - 2).$
\end{itemize}
		\item On considère les points J et K d'affixes respectives 
$z_{\text{J}} =  2$ et  $z_{\text{K}} = - 4$.\\
Si  un point $M$ appartient  cercle ($\mathcal{C}$) de centre J et de rayon 2, alors $|z - 2| = 2$ ; d'après la question précédente son image $M'$ a une affixe $z'$ telle que $|z' + 4| = | z - 2|^2 = 2^2 = 4$ : ceci signifie que $M'$ appartient au cercle ($\mathcal{C}'$) de centre K et de rayon $4$. 
		\item  $z_{\text{E}} = - 4 -3\text{i}$. Donc $(z_{\text{E}} + 4) = - 4 -3\text{i} + 4 = -3\text{i} = 3\text{e}^{\text{i} \pi}\times \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{2}} = 3 \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{2}}$.
		
D'après la question \textbf{3. a.} il résulte que arg$(z - 2) = - \dfrac{\pi}{4}$.
		
De $(z'+ 4)  = (z - 2)^2$ il découle que ou $z - 2 = \sqrt{3}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$ ou $z - 2 = - \sqrt{3}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$, soit $2 + \sqrt{3}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$ ou $2 - \sqrt{3}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$ ou encore $z_{1} =  2 + \dfrac{\sqrt{6}}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ou $z_{2} =  2 - \dfrac{\sqrt{6}}{2}+ \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG].

L est le barycentre de $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~3)\}$.

Soit ($\pi$) le plan d'équation $4x - 4y + 3z - 3 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par définition de L, $\vect{\text{LA}}  + \vect{\text{LB}} = \vect{\text{0}} \iff \vect{\text{AL}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{AB}}.$ Les coordonnées de L sont : $\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~0\right)$. Réponse : \textbf{b.}
\item Le point L appartient de façon évidente à ($\pi$)Le plan ($\pi$) ; le point G(1 ; 1 ; 1) aussi ($4 - 4 + 3- 3 = 0$) ; le point E(0 ; 0 ; 1) aussi ; mais pas le point J$\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~1 \right)$ (car $4  - 2 + 3 - 3 = 0$ est fausse) ; enfin A n'appartient pas au plan ($\pi$). Conclusion ($\pi$) est le plan (GLE). Réponse : \textbf{a.}

\item Un  plan parallèle à ($\pi$) a une équation de la forme : $4x - 4y + 3z + d = 0$ ; I$\left(\frac{1}{2}~;~0~;~1\right)\in (\pi) \iff  2 - 0 + 3 + d = 0 \iff d = -5$.

La droite (FB) a pour équations : $x = 1$ et $y = 0$ ; en reportant dans l'équation du plan on obtient $4 + 3z - 5 = 0 \iff z =  \frac{1}{3}$. Le point M a donc pour coordonnées $\left(1~;~0 ~;~\dfrac{1}{3}\right)$. Réponse : \textbf{c.}

\item On a $\vect{\text{EL}}\left(\frac{3}{4}~;~0~;~- 1 \right)$ qui est colinéaire au vecteur $(3~;~0~;~-4)$. Une équation de la droite (EL) est donc : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 3t\\
y&=&0\\
z&=&1 - 4t\\
\end{array}\right. ~t \in \R$. Un système d'équations de la droite (FB) est $x = 1$ et $y = 0$. En remplaçant dans les équations de (EL), on obtient $1 = 3t \iff t = \dfrac{1}{3}$ et finalement les coordonnées de N sont $\left(1~ ;~ 0~;~ - \frac{1}{3}\right)$ qui est bien le symétrique de M autour de B.

On a $\vect{\text{IM}}\left(\frac{1}{2}~;~0~;~- \frac{2}{3}\right)$ qui est colinéaire au vecteur $(3~;~0~ ;~-4)$ donc au vecteur $\vect{\text{IM}}$.

Réponses : \textbf{a.} et \textbf{b.}
\item On prend comme base du tétraèdre FIJM le triangle rectangle FIM, avec FI $= \dfrac{1}{2},~\text{FM} = \dfrac{2}{3}$ et comme hauteur FJ $= \dfrac{1}{2}$:

Le volume est donc égal à $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}{2} \right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{36}.$\\
Réponse : \textbf{a.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x - x - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et \\
 $g'(x) = \text{e}^x - 1$. Comme $\text{e}^0\ = 1,~\text{e}^x  > 1$, si $x > 0$ on en déduit le signe de $g'(x)$ donc les variations de $g$ Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$.

\begin{itemize}
\item $g$ est décroissante de $+ \infty$ à $0$ sur $]- \infty~;~0]$ ;
\item $g(0) = 0$ ;
\item $g$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$
\end{itemize}

$g$ a donc un minimum $0$ pour $x = 0$.\\
Conclusion : Quel que doit $x \in \R,~g(x) \geqslant 0.$
\item De la question précédente il résulte que $\text{e}^x - x - 1 \geqslant 0 \iff   \left(\text{e}^x -x\right) \geqslant 1 > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item 
		 \begin{itemize}
	\item Pour $x \neq 0,~f(x) = \dfrac{1}{\frac{\text{e}^x}{x} - 1}$.\\
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{\text{e}^x}{x} = + \infty,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.
	\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0,~
	\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$.
\end{itemize}
		\item Les résultats précédents montrent que l'axe des abscisses est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+ \infty$ et que la droite d'équation $y = - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item D'après \textbf{A. 2.} le dénominateur de $f$ n'est pas nul : $f$ est donc dérivable et $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x - x - x\text{e}^x + x}{\left(\text{e}^x - x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x(1 - x)}{\left(\text{e}^x - x \right)^2}$.
		 
Comme $\text{e}^x$ et $\text{e}^x - x$ sont supérieurs à zéro, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$.\\
		\item Si $x < 1, ~f'(x) > 0$ et $f$ est croissante ;\\
		 Si $x > 1, ~f'(x) < 0$ et $f$ est décroissante.\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3.5)
%\psgrid
\psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,3.5) \psline(0,3)(7,3)
\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.25,3){$-\infty$} \uput[u](4,3){$1$} \uput[u](6.5,3){$+ \infty$}
\rput(1.25,0){$-1$} \uput[d](4,2){$\frac{1}{\text{e} - 1}$}
\psline{->}(1.6,0.4)(3.6,1.55)  \psline{->}(4.4,1.55)(6.6,0.4)
\rput(6.8,0){$0$}\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](2.5,3){$0$}
\rput(2.5,0.9){$0$} \rput(0.5,2.5){$f'(x)$}
\rput(2.5,2.5){$+$} \rput(5.5,2.5){$-$}\rput(4,2.5){$0$}
\end{pspicture} \end{center}		 
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item On a $f'(0) =1$ et $f(0) = 0$.
		
$M(x~;~y) \in  (\text{T}) \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y = x$. 
		\item La courbe ($\mathcal{C}$) 
est au dessus de la droite (T) $\iff \dfrac{x}{\text{e}^x - x} > x \iff x  > x\left(\text{e}^x - x \right) \iff x\left(\text{e}^x - x - 1\right) < 0 \iff x < 0$, car on a vu à la question \textbf{A. 1.} que $\text{e}^x - x - 1 > 0.$

On obtient de manière analogue que la courbe ($\mathcal{C}$) 
est au dessous de la droite (T) si $x > 0$.
	\end{enumerate}

\item~

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(-6,-2)(6,2)
\psgrid[labels=none,gridwidth=0.4pt](0,0)(-6,-2)(6,2)
\psline(-6,-1)(6,-1) \psline(-2,-2)(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-6}{6}{x 2.71828 x exp x sub div}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\textbf{Exercice de spécialité}

\medskip

Dans cet exercice,  $a$  et  $b$  désignent des entiers strictement positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	\begin{enumerate}
		\item	Supposons qu'il existe un diviseur commun $d$ à $a$ et à $b$. Il existe donc $a'$ et $b'$ tels que $a = da' $ et $b = db'$.
		
L'égalité $a u + b v = 1$ peut s'écrire $da' u + db' v = 1 \iff d(a'u + b'v) = 1.$
		
Ceci montre que $d$ divise 1, donc $d = 1$, ce qui montre que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. 
		\item   $(a^2 + ab - b^2)^2 = 1$ peut s'écrire $a \times a  + b(a - b) = 1$. Avec $u = a$ et $v = b - a$, ceci montre d'après le cours que   $a$  et  $b$  sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Lorsque  $a = b$, l'égalité s'écrit $\left(a^2 + a^2 - a^2\right)^2 = 1 \iff a^4 = 1 \iff a = 1$.
		 \item On vient de voir que   (1 ; 1) est un couple solution.
		 
Si $a = 2,~b = 3$, alors $(4 + 6  - 9)^2 = 1^2 = 1$, donc 		  (2 ; 3)   est un couple solution.

Si $a = 5, b = 8$, alors $(25 + 40 - 64)^2 = 1^2 = 1$, donc   (5 ; 8) est un couple solution..
		\item  $(a~;~ b)$  est solution donc  $(a^2 + ab - b^2)^2 = 1$ et si  $a < b \iff a - b < 0$ , alors  $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) < 0$ car $a + b$ somme de deux positifs est positif.
 	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item	Si  $(x~;~ y)$  est une solution avec $xy \neq 1$ alors $\left(x^2 + xy - y^2\right)^2 = 1 \iff x^4 + x^2y^2 + y^4 + 2x^3y - 2 x^2y^2 - 2xy^3 = 1$.
		 
Calculons $\left[(y - x)^2 + x(y - x) - x^2  \right]^2 = \left(y^2 + x^2 - 2xy + xy - x^2 - x^2 \right)^2 =$

$\left(y^2 - x^2 - xy\right)^2 = y^4  + x^2y^2 + x^4  - 2xy^3 - 2x^2y^2 + x^3y  = 1$ (d'après l'égalité ci-dessus.

De même calculons $\left(y^2 + y(y + x) - (y + x)^2 \right)^2 = \left(y^2 + xy - x^2 - 2xy\right)^2 = $

$\left(y^2 - x^2 - xy\right)^2$ que l'on vient de calculer et qui est égal à $1$.
		 
Si $(x~;~y)$ est un couple solution, alors $(y - x~;~x)$ et $(y~;~y + x)$ en sont deux autres
		 \item De de  \textbf{2. b.} et \textbf{3. a.} on en déduit que le couple (2 ; 3) fournit les couples \\(1 ; 2) et  (3 ; 5) et que le couple solution (5 ; 8) donne les couples (3 ; 5) (déjà trouvé) et (8 ; 13)   solutions.
	\end{enumerate}
\item Démonstration par récurrence :
 
\begin{itemize}
\item Initialisation : le couple $\left(a_{0}~;~a_{1} \right) = (1~;~1)$ est solution ;
\item Hérédité : supposons que le couple de rang $n,~\left(a_{n}~;~a_{n+1}\right)$ soit solution. 
\end{itemize}
De la question \textbf{3. a.} il résulte que le couple $\left(a_{n+1}~;~a_{n+1} + a_{n} \right) = \left(a_{n+1}~;~a_{n+2} \right)$ est aussi solution.\\
On a donc démontré par récurrence que pour tout $n \geqslant 0$, les couples $\left(a_{n}~;~a_{n+1}\right)$ sont des couples solutions.\\
D'après la question \textbf{1. b.} les nombres $a_{n}$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.

Les premiers nombres de la suite (de Fibonacci) sont 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8  13 ; 21 ; \ldots : deux termes consécutifs sont premiers entre eux.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 & =&3\\
u_{n+1} & =& \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c l}
v_0 & =&4\\
v_{n+1} & =& \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right.\]

\begin{enumerate}
 \item  $u_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = \dfrac{7}{2},~ v_1 = \dfrac{\frac{7}{2} + 4}{2} = \dfrac{15}{4},~u_2 = \dfrac{\frac{7}{2} + \frac{15}{4}}{2} = \dfrac{29}{8}$ et $v_2 = \dfrac{\frac{29}{8} + \frac{15}{4}}{2} = \dfrac{59}{16}$.

\item Soit la suite $w_n = v_n - u_n$.\\
	\begin{enumerate}
		 \item Calculons $w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1} =  \dfrac{u_{n+1}+ v_{n}}{2} = \dfrac{u_{n+1} + v_{n} - 2u_{n+1}}{2} =$
		 
$ \dfrac{v_{n} - u_{n+1}}{2} = \dfrac{v_{n} - \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}}{2} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{4} = \dfrac{1}{4}w_{n}$.
		 
La suite $\left(w_{n} \right)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$.
		\item On sait que  $w_n = w_{0}\times \left(\dfrac{1}{4} \right)^n$ ; or $w_{0} = 4 - 3 = 1$.
		
Donc $w_{n} = \dfrac{1}{4^n}$.
		
Comme la raison $\dfrac{1}{4}$ est comprise entre $0$ et $1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{4^n} = 0_{+}$.
	\end{enumerate}
\item  On a $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2} = \dfrac{w_{n}}{2} > 0$, car la suite $\left(w_{n} \right)$ est positive.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.

De même $v_{n+1} - v_{n} =  \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2} - v_{n} = \dfrac{\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2} - v_{n}}{2} = \dfrac{u_{n} - v_{n}}{4} = - \dfrac{1}{4}\left(v_{n} - u_{n}\right) = - \dfrac{1}{4}w_{n} < 0$.

La suite   $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.

D'autre part la différence $v_{n} - u_{n}$ égale à $w_{n}$ a pour limite $0$.

Les deux suites  $\left(u_n\right)$ et  $\left(v_n\right)$ sont donc adjacentes. Elles ont donc la même limite $\ell$.
\item Soit $t_n = \dfrac{u_n  + 2v_n}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		 \item On a $t_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}  + 2v_{n+1}}{3} = \dfrac{\frac{u_{n} + v_{n}}{2} + u_{n+1} + v_{n}}{3} = \dfrac{u_{n} + v_{n} + 2v_{n} + u_{n} + v_{n}}{6} = \dfrac{2u_{n} + 4v_{n}}{6} = \dfrac{u_n  + 2v_n}{3} = t_{n}$.
		 
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc constante et $t_{n} = t_{0}\dfrac{u_{0}+2v_{0}}{3} = \dfrac{11}{3}$.
		\item De $t_n = \dfrac{u_n  + 2v_n}{3}$, on déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} t_{n} = \dfrac{11}{3} =  \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n  + 2v_n}{3} = \ell.$
		
Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \dfrac{11}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}