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%%% Sujet aimablement fourni par Olivier Capelle
%%% Tapuscrit Denis Vergès
%%% Corrigé François Hache ; contribution de Mathieu Lachand
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {Corrigé Nouvelle-Calédonie mars 2016},
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}	%displaystyle
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{Mars 2016}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[10pt]
Mars 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Parmi les argentées 60\,\% représentent le château de Blois, 30\,\% le château de Langeais, les autres le château de Saumur.

Parmi les dorées 40\,\% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.

On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og la médaille tirée est argentée \fg{} ;
\item[ ] $D$ l'évènement \og la médaille tirée est dorée \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Blois \fg{} ;
\item[ ] $L$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Langeais \fg{} ;
\item[ ] $S$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Saumur \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.

On peut représenter les données de l'exercice sous forme d'un arbre pondéré:

\bigskip

\begin{center}
{%\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{\small $\dfrac{1}{4}$}}
	                        {
	                        \TR{$B$} \naput{\small $\dfrac{60}{100}$}
			                \TR{$L$} \ncput*{\small $\dfrac{30}{100}$}
		                    \TR{$S$} \nbput{\small $\dfrac{10}{100}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$D$}\nbput{\small $\dfrac{3}{4}$}}
                            {
	                        \TR{$B$}\naput{\small $\dfrac{40}{100}$}
	                        \TR{$L$}\nbput{\small $\dfrac{60}{100}$}
	                        %\TR{$S$} \nbput{\red 0,63}
	                        }
      }
}% fin du \small
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}

	\item% Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
L'événement \og la médaille tirée est argentée et représente le château de Langeais \fg{} est $A\cap L$.

$P(A \cap L) = P(A)\times P_A(L)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{40}$

	\item% Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
On cherche $P(L)$; d'après la formule des probabilités totales:

$P(L)= P(A\cap L)+ P(D\cap L)
=P(A)\times P_A(L) + P(D)\times P_D(L)
=\dfrac{3}{40} + \dfrac{3}{4}\times \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{40} + \dfrac{18}{40}=\dfrac{21}{40}$

	\item Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, la probabilité que celle-ci soit dorée est $P_L(D)$:
	
$P_L(D) = \dfrac{P(D \cap L)}{P(L)} 
= \dfrac{\dfrac{3}{4}\times \dfrac{6}{10}}{\dfrac{21}{40}}
= \dfrac{\dfrac{18}{40}}{\dfrac{21}{40}} 
= \dfrac{18}{21} = \dfrac{6}{7}$

\end{enumerate}

\item% Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, la probabilité que celle-ci soit argentée est $P_S(A)$.

Il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur donc la probabilité que la médaille tirée soit argentée sachant qu'elle représente le château de Saumur est de 1.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.

On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en
grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$.

On note $C$ l'évènement \og la médaille est conforme \fg.

%Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.

La probabilité qu'une médaille soit conforme est $P(C) = P(9,9 \pp X \pp 10,1)$ et la probabilité qu'une médaille soit non conforme est $P\left(\overline C\right) = 1 - P(C)$.
 
D'après la calculatrice, $P(C) = P(9,9 \pp X \pp 10,1) \approx 0,904$. Donc $P\left(\overline C\right)\approx 0,096$. 
 
\item La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.

	\begin{enumerate}

		\item Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$.% Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?

D'après le cours, on peut dire que la variable $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

		\item Cette machine produit 6\,\% de pièces non conformes, ce qui veut dire que $P\left(\overline C\right) = 0,06$.
		
Une médaille est non conforme si $(Y<9,9)$ ou $(Y>10,1)$; la variable aléatoire $Y$ est de moyenne 10 donc, par symétrie, $P(Y<9,9) = P(Y>10,1)$.

Il faut donc chercher l'écart type $\sigma$ pour que $P(Y<9,9)=\dfrac{0,06}{2}$, autrement dit pour que $P(Y<9,9)=0,03$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=10cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-4}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.05} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{\xmin} \def\sup{2}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\def\inf{6} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$10$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](2,0){$9,9$}
\uput[d](6,0){$10,1$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $0,94$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$0,03$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$0,03$}

\end{pspicture*}
\end{center}

$Y<9,9 \iff Y-10 < 9,9-10 \iff \dfrac{Y-10}{\sigma} < \dfrac{9,9-10}{\sigma} \iff Z < \dfrac{-0,1}{\sigma}$ car $\sigma >0$

Donc $P(Y<9,9)=0,03 \iff P\left (Z< -\dfrac{0,1}{\sigma}\right )=0,03$ où $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

On cherche $\beta$ tel que $P(Z < \beta)=0,03$ à la calculatrice, et on trouve $\beta \approx \np{-1,8808}$.

Donc $-\dfrac{0,1}{\sigma}= \np{-1,8808} \iff \sigma \approx 0,053$

Pour que la machine M$_2$ produise 6\,\% de pièces non conformes, il faut que $\sigma \approx 0,053$.		
		
	\end{enumerate}		

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $\cd 0~;~16\cg$ par

\hfill $f(x) = \ln(x + 1)$ et $g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x)$ \hfill{}

Dans un repère du plan \Oij, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
Ces courbes sont données en \textbf{annexe 1}.

%Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

Pour tout $x$, $\cos(x)\pp 1$ donc $1-\cos(x) \pg 0$; on en déduit que $g(x) \pg f(x)$ pour tout $x$ de $\cd 0~;~16\cg$.

On cherche les abscisses des points A et B; comme ce sont des points d'intersection des courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$, ces abscisses sont solutions de l'équation $f(x)=g(x)$:

$f(x)=g(x) \iff \ln(x+1) = \ln(x+1)+1-\cos(x)
\iff \cos(x)=1
\iff x=k2\pi$ avec $k\in\Z$

Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ dans $\cd 0\,;\,16\cg$ sont 0, $2\pi$ et $4\pi$. 

On en déduit que $x_{\text A}=2\pi$ et $x_{\text B}=4\pi$.

\begin{list}{\textbullet}{Comme sur $\cd 0\,;\,16\cg$, $g(x)\pg f(x)$:}

\item l'aire de la surface \textbf{1} est donnée par $\mathcal A_1=\ds\int_{x_{\text O}}^{x_{\text A}} \left[ g(x)-f(x)\right] \d x = \ds\int_{0}^{2\pi} \left[ g(x)-f(x)\right] \d x$
\item l'aire de la surface \textbf{2} est donnée par $\mathcal A_2 = \ds\int_{x_{\text A}}^{x_{\text B}} \left[ g(x)-f(x)\right ] \d x = \ds\int_{2\pi}^{4\pi} \left[ g(x)-f(x)\right ] \d x$

\end{list}

\begin{list}{\textbullet}{$g(x)-f(x)=1-\cos(x)$ qui a pour primitive $x \longmapsto x-\sin(x)$. Donc:}

\item $\mathcal A_1= \left [x - \sin(x) \right ]_{0}^{2\pi}
= \left [2\pi - \sin(2\pi) \right ] - \left [0 - \sin(0) \right ]
=2\pi$

\item $\mathcal A_2= \left [x - \sin(x) \right ]_{2\pi}^{4\pi}
= \left [4\pi - \sin(4\pi) \right ] - \left [2\pi - \sin(2\pi) \right ]
=4\pi - 2\pi = 2\pi$

\end{list}

Les deux surfaces hachurées sur le graphique ont donc la même aire égale à $2\pi$.

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation
$\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$.

\begin{enumerate}
\item% Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
Le point A(1~;~1~;~1) appartient au plan $P_m$ si et seulement si

$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text A} + (m - 1)y_{\text A} + \dfrac{1}{2} mz_{\text A} - 3 = 0
\iff \dfrac{1}{4} m^2 + (m - 1) + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0
\iff$

$\dfrac{1}{4}m^2 + \dfrac{3}{2}m - 4=0
\iff m^2+6m-16=0 $

$\Delta = 36+64=100$ donc cette équation admet 2 solutions 
$m'=\dfrac{-6+10}{2}=2$ et 

$m''=\dfrac{-6-10}{2}=-8$.

Le point A appartient au plan $P_m$ pour $m=2$ ou $m=-8$.


\item% Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique

%\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 12 - 2t\\
%y &=& 9 - 2t\\ 
%z &=&t
%\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\]

Le plan $P_1$ a pour équation $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$ ou encore $x+2z-12=0$.

Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$.

On cherche l'intersection de ces deux plans:

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x+2z-12 & 0\\
4x-5y-2z-3 & 0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2z\\
-5y & -4(12-2z)+2z+3
\end{array}
\right.
\iff$

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2z\\
-5y & -48+8z+2z+3
\end{array}
\right.
%\phantom{\left\lbrace 
%\begin{array}{r !{=} l}
%x+2z-12 & 0\\
%4x-5y-2z-3 & 0
%\end{array}
%\right. }
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2z\\
-5y & -45+10z
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2z\\
y & 9 -2z
\end{array}
\right.
$

En posant $z=t$, on peut dire que les plans $P_{1}$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x &  12 - 2t\\
y &  9 - 2t\\ 
z & t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
Le plan $P_0$ a pour équation $- y - 3 = 0$.

Pour déterminer l'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$, on résout le système :

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} r}
x & 12-2t\\
y & 9 -2t\\
z & t\\
-y-3 & \multicolumn{1}{l}{0}
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2t\\
-3 & 9 -2t\\
z & t\\
y & -3 
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 12-2t\\
t & 6\\
z & t\\
y & -3 
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 0\\
y & -3\\
z & 6\\
t & 6 
\end{array}
\right.$

L'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$ est donc le point B\,$(0\,;\,-3\,;\,6)$.

		\item% Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$.

On regarde si les coordonnées du point B vérifient l'équation du plan $P_m$:

$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text B} + (m - 1)y_{\text B} + \dfrac{1}{2} mz_{\text B} - 3
= 0+(m-1)(-3)+\dfrac{1}{2}m\times 6 - 3
= -3m+3+3m-3=0$

Donc le point B appartient au plan $P_m$, quelle que soit la valeur du réel $m$.

		\item% Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
Soit H\,$(a\,;\,b\,;\,c)$ un point qui appartient au plan $P_m$ pour tout réel $m$.

Cela signifie que les coordonnées du point H vérifient l'équation du plan pour tout réel $m$:

$\dfrac{1}{4} m^2 a + (m - 1) b + \dfrac{1}{2} m c - 3 = 0$

\begin{list}{\textbullet}{On donne à $m$ des valeurs particulières:}

\item Pour $m = 0$, on obtient $- b - 3 = 0$ donc $b = - 3$.

\item Pour $m = 2$, on obtient $a + (2 - 1)(- 3) + c - 3 = 0$, soit $a + c = 6$.

\item Pour $m = - 2$, on obtient $a + (-2 - 1)(- 3) - c - 3 = 0$, soit $a - c = - 6$.

\end{list}

On résout le système 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a + c & 6\\
a -c & - 6
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
2a & 0\\
a+c & 6
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a & 0\\
c & 6
\end{array}
\right. $

Le point H a donc pour coordonnées $(0\,;\,-3\,;\,6)$ donc c'est le point B.

Le point B est l'unique point appartenant à tous les plans $P_m$ quelle que soit la valeur de $m$.

\emph{Autre méthode géométrique :}

L'existence du point a été montrée en 3. b. Nous allons montrer son unicité. 

On sait (question 2) que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$. 

On sait (question 3. a.) que $P_0$ et $(d)$ sont sécants en B. 

Le point B est donc l'unique point appartenant à $P_0,\: P_1$ et $P_{-4}$. 

Si un point appartient à $P_m$ quel que soit $m$ réel, alors il appartient en particulier à $P_0, P_1$ et $P_{-4}$. C'est donc l'unique point B. 
	\end{enumerate}

\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que

\hfill $- 10 \leqslant  m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m' \leqslant 10$\hfill{}

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.

	\begin{enumerate}

		\item% Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.

Le plan $P_1$ a pour équation $x+ 2z-12=0$ donc pour vecteur normal $\vect n_1\;\left (1\,;\, 0 \,;\, 2\right )$.

Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$ donc pour vecteur normal $\vect n_{-4}\;\left (4\,;\, -5 \,;\, -2\right )$.

$\vect n_1 . \vect n_{-4}=1\times 4 + 0 + 2\times (-2) = 0$ donc les vecteurs sont orthogonaux.

Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.

		\item% Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si
Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$ donc pour vecteur normal \\$\vect n\;\left (\dfrac{1}{4}m^2\,;\, m-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m\right )$.

Le plan $P_{m'}$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m'^2x + (m' - 1)y + \dfrac{1}{2} m'z - 3 = 0$ donc pour vecteur normal $\vect n'\;\left (\dfrac{1}{4}m'^2\,;\, m'-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m' \right )$.

les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux:

$P_m \perp P_{m'}
\iff
\vect n \perp \vect n'
\iff 
\vect n . \vect n' = 0
\iff$

$\dfrac{1}{4}m \times \dfrac{1}{4}m' + (m-1)(m'-1)+ \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m'=0
\iff$

$\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$		
		\item On donne l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline		
\emph{Variables :}	&$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement :}	&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
					&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
					&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
					&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
					&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
					&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabularx}		
		\end{center}
		
\medskip		
		
%Quel est le rôle de cet algorithme?
Cet algorithme affiche tous les couples $(m\,;\,m')$ d'entiers compris entre $-10$ et 10 pour lesquels $\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$, c'est-à-dire pour lesquels les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.

		\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$.	
%Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.

Le nombres $m$ et $m'$ jouant le même rôle, les autres couples seront $(1~;~-4)$, $(1~;~0)$ et $(-4~;~5)$.

Les six couples seront affichés dans cet ordre:

\hfill$(- 4~;~1)$; $(-4~;~5)$; $(0~;~1)$; $(1~;~-4)$; $(1~;~0)$; $(5~;~- 4)$\hfill{}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
%
\medskip

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout $n$, par
$z_0 = 1$ et $z_{n+1} = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)z_n$.

On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé \Ouv{} de l'annexe 2.

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
$ \left | 1 + \text{i}\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} \right |^2= 1^2 + \left (\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )^2= \dfrac{4}{3}$ donc 
$\left | 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right | = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}}$  ;
$1 + \text{i}\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \left ( \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2}  \right )$

On cherche $\theta$ tel que 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
\cos \theta & \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2}\\[8pt]
\sin \theta & \dfrac{1}{2}
\end{array}
\right. $
donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ $(k\in\Z)$

On a donc $1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}}$.

		\item% En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
$z_1 = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) z_0 
= \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)\times 1
= 1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}
= \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}}$

$z_2 = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) z_1 
= \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)\times \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)
= \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}} \times \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}}
= \dfrac{4}{3} \e^{\i\frac{\pi}{3}}$

	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,
Soit $P_n$ la propriété
$z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \e^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$ : $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^0 \text{e}^{\text{i}\times 0 \times\frac{\pi}{6}} = 1$; donc $P_0$ est vraie.

\item On suppose $P_p$ vraie pour $p\pg 0$, c'est-à-dire
$z_p = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p \e^{\i p\frac{\pi}{6}}$

$z_{p+1} = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) z_p
= \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}}\e^{\i \frac{\pi}{6}} \times  \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p \e^{\i p\frac{\pi}{6}}
= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{p+1} \e^{\i (p+1)\frac{\pi}{6}}$

\item La propriété es vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n\pg0$.

\end{list}

Pour tout entier naturel $n$, $z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \e^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}$.

		\item% Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
Les points $O$ d'affixe 0, et $A_{0}$ d'affixe $z_0=1$ sont situés sur l'axe des réels; donc les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si le point $A_n$ est sur l'axe des réels, autrement dit si son affixe est réelle, donc si son argument vaut $k\pi$ avec $k\in\Z$.

Un argument de $z_n$ est $n\dfrac{\pi}{6}$; on doit donc avoir:
$n\dfrac{\pi}{6} = k\pi$ ce qui équivaut à $n=6k$.

Les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si $n$ est un multiple de 6.
		
	\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.

	\begin{enumerate}
		\item% Interpréter géométriquement $d_n$.
$d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$ donc $d_n$ représente la distance entre les points $A_{n}$ et $A_{n+1}$: $d_n= A_{n}A_{n+1}$

		\item% Calculer $d_0$.
$d_0= z_1-z_0 = \left | 1+ \i\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}-1\right |
= \left | \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right |
= \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$


		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$\begin{array}[t]{l r !{=} l}
\text{Pour tout }n & z_{n+2} & \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )z_{n+1}\\[5pt]
 & z_{n+1} & \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )z_n\\[5pt]
 \cline{2-3}
\text{Par soustraction} & z_{n+2} -z_{n+1}& \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )(z_{n+1}-z_n)\rule{0pt}{20pt}
\end{array}$

		
		\item% En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$  est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$,
On en déduit que:

$d_{n+1}
= \left|z_{n+2} -z_{n+1}\right | 
= \left | \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )(z_{n+1}-z_n)\right |
= \left | 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right | \times \left |z_{n+1}-z_n\right |
= \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} d_n$

On sait que $d_0=\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$ donc on peut dire que la suite $(d_n)$ est géométrique de premier terme $d_0=\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$ et de raison $q = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}}$.

D'après les propriétés des suites géométriques, 
$d_n = d_0\times q^n =  \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$ pour tout $n$.
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,
D'après les questions précédentes, pour tout $n$:

$\left | z_{n} \right |= \left | \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n} \e^{\i n\frac{\pi}{6}} \right |
=
\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n} \times  \left |\e^{\i n\frac{\pi}{6}} \right |
=
\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n}\times 1
=
\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n}$
donc
$\left | z_{n} \right |^2 = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n}$


De même $\left | z_{n+1} \right |= \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n+1}$ donc 

$\left | z_{n+1} \right |^2= \left (\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n+1}\right )^2 = 
\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n+2}
=
\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2} \times \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n}
=
\dfrac{4}{3} \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n}$

$d_n= \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$
donc 
$d_n^{2}= \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2
=
\left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \left (\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2
=
\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$ 

$\left | z_{n} \right |^2  + d_n^2 = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n} + \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}
=
\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}
=
\left | z_{n+1} \right |^2
$

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
On sait que 
$\left | z_{n+1} \right | = OA_{n+1}$,
que
$\left | z_{n} \right | = OA_{n}$
et que
$d_n=A_{n}A_{n+1}$

Donc $\left | z_{n+1} \right |^2 = \left | z_{n} \right |^2  + d_n^2$
équivaut à
$OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_{n}A_{n+1}^2$

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.

		\item% Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
Voir construction de $A_5$ en annexe.

		\item% Justifier cette construction.
\begin{list}{\textbullet}{}

\item Le triangle $OA_4A_5$ est rectangle en $A_4$ donc le point $A_5$ est sur la droite $d$ perpendiculaire à $(OA_4)$ passant par $A_4$. On trace cette perpendiculaire $d$ comme médiatrice du segment ayant pour extrémités deux points $i$ et $j$ de la droite $(OA_4)$ symétriques autour de $A_4$. (voir la figure)
\item $z_5$ a pour argument $\dfrac{5\pi}{6}$ et $z_3$ a pour argument $\dfrac{3\pi}{6}$; donc l'angle $\left ( \vect{OA_3}\,,\,\vect{OA_5}\right )$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$. On trace donc le triangle équilatéral direct $OA_3A'_3$ et le point $A_5$ appartient à $(OA'_3)$.
\end{list}

Le point $A_5$ est à l'intersection des droites $d$ et $(OA'_3)$.

On peut également construire ce point $A_5$  à l'intersection de la droite $(OA'_3)$ et du cercle de diamètre $\left[\text{O}A_6 \right]$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine.

Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine).

%Exemple :
%
%M correspond à $x = 12$
%
%$7 \times 12 + 5 = 89$
%
%Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L,
%donc la lettre M est codée par la lettre L.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Coder la lettre L.
La lettre L correspond à $x=11$; $7\times 11 +5 = 82$ qui a pour reste 4 dans la division par 26. 

Le nombre 4 correspond à E donc la lettre L est codée E.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier relatif;
$k \equiv 7x \:\: [26] 
\implies
15k \equiv 15\times 7x \:\: [26]$

Or $15\times 7 = 105 = 4\times 26 + 1$ donc $105 \equiv 1 \:\: [26]$ et $105x \equiv x \:\: [26]$

Donc  $k \equiv 7x \:\: [26] 
\implies
15k \equiv x \:\: [26]$

		\item% Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
Soit $k$ un entier relatif;
$15k \equiv x  \:\: [26] 
\implies
7\times 15k \equiv 7x \:\: [26]$

Or, on a vu que $7\times 15 = 105 \equiv 1 \:\: [26]$ donc $105k \equiv k \:\: [26]$

Donc $15k \equiv x  \:\: [26] 
\implies
k \equiv 7x \:\: [26]$

On a donc démontré que: $15k \equiv x  \:\: [26] 
\iff
k \equiv 7x \:\: [26]$
	
		\item% En déduire que $y \equiv  7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv  15y + 3\:\:[26]$.
$\begin{array}[t]{@{} l !{\iff} l l}
y \equiv  7x + 5\:\:[26] & y-5 \equiv  7x \:\:[26]\\
 & 15(y-5) \equiv x \:\:[26] & \text{voir question précédente avec }k=7y-5\\
 & 15y-75 \equiv x \:\:[26]
\end{array}$
		
Or $-75 = 26\times (-3) + 3$ donc $-75 \equiv 3 \:\:[26]$ et donc $15y-75 \equiv 15y+ 3 \:\:[26]$	

On en déduit que $15y-75 \equiv x \:\:[26] \iff 15y+3 \equiv x \:\:[26]$ et donc que  

$y \equiv  7x + 5\:\:[26] \iff 15y+3 \equiv x \:\:[26]$

 	\end{enumerate}
\item%  À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.
D'après les questions précédentes, pour \textbf{décoder} une lettre, on cherche à quel nombre $y$ elle correspond, puis on détermine $x$ entre 0 et 25 tel que $y \equiv 7x+5 \:\:[26]$ donc tel que $x \equiv 15y+3 \:\:[26]$.

La lettre F correspond à $y=5$; $15y+3=78$ qui a pour reste 0 dans la division par 26. 

Le nombre 0 correspond à la lettre A donc le décodage de la lettre F donne la lettre A.

\end{enumerate}

\medskip
 
\subsubsection*{Partie B}
 
\medskip
 
On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.
 
Soit $P_n$ la propriété: $a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n  - \dfrac{5}{6}$

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Pour $n=0$,
$\left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^0  - \dfrac{5}{6}
= a_0 + \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} = a_0$; donc $P_0$ est vérifiée. 

\item On suppose la propriété vraie au rang $n\pg 0$; c'est-à-dire
$a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n  - \dfrac{5}{6}$

$a_{n+1} = 7a_n+5 = 7\left ( \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n  - \dfrac{5}{6} \right ) +5
=
\left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}  - 7\times \dfrac{5}{6} + 5
= $

$\left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}  -  \dfrac{35}{6}  + 
 \dfrac{30}{6}
= \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}  -  \dfrac{5}{6} $

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. 

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout $n\pg 0$.

\end{list}
 
On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n$, 

$b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n  - \dfrac{3}{14}$.

\medskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles). Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose
d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.
Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique \og 2\fg{} fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), \og 2 \fg{} fois le chiffrement à la lettre A, \og 5 \fg{} fois le chiffrement à la lettre T et enfin \og 6 \fg{} fois le chiffrement à la lettre H.
Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

On veut décoder la lettre Q dans le mot IYYQ.

\textbf{Première méthode}

On cherche une lettre qui codée 6 fois de suite donne la lettre Q. Autrement dit, il suffit de décoder 6 fois de suite la lettre Q pour obtenir le résultat demandé.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
lettre & \hspace*{0.4cm}$y$\hspace*{0.4cm} & $15y+3$ & reste $x$ & lettre \\
\hline
Q & 16 & 243 & 9 & J \\
\hline
J & 9 & 138 & 8 & I \\
\hline
I & 8 & 123 & 19 & T \\
\hline
T & 19 & 288 & 2 & C \\
\hline
C & 2 & 33 & 7 & H \\
\hline
H & 7 & 108 & 4 & E \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Donc la lettre Q se décode en E.

\bigskip

\textbf{Deuxième méthode}

On peut utiliser les résultats de la partie \textbf{B.}

On doit appliquer 6 fois la fonction $x \longmapsto 15x+3$ successivement au nombre 16 (correspondant à Q), puis à son image, puis à l'image de l'image, etc.

On cherche donc, avec les notations de la partie \textbf{B}, le nombre $b_6$ sachant que $b_0=16$.

$b_6= \left ( 16 +\dfrac{3}{14}\right ) \times 15^6 - \dfrac{3}{14}
= \np{184690848}$

Le reste de la division de \np{184690848} par 26 est 4 qui correspond bien à E. 

\bigskip

\emph{Remarque\\
Le mot IYYQ se décode en CODE par le processus détaillé dans la partie \textbf{C}.}


\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 de l'exercice 2}

\bigskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(18.8496,9.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln}
}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{x 1 add ln}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{16}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759)
\uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B}
\uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\red $\mathcal{C}_g$}
\rput*(3,2.5){\red \Large \bf 1}
\rput*(9.5,3.2){\red \Large \bf 2}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip
\textbf{ANNEXE 2 de l'exercice 4}

\bigskip

\psset{unit=4cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.3704;180) %(2.0528;150)
\uput[ur](1;0){$A_0$} 
\uput[ur](1.1547;30){$A_1$} 
\uput[ur](1.3333;60){$A_2$} 
\uput[ur](1.5396;90){$A_3$}
\uput[u](1.7778;120){$A_4$}
\uput[d](2.3704;180){$A_6$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\pstGeonode[PointName=none](0,0){O}(1.7778;120){A_4}(1.5396;90){A_3}(2.0528;150){A_5}(2.3704;180){A_6}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.1]{O}{A_4}{A_5}
\pstMarkAngle[Mark=none,LabelSep=0.5,arrows=->]{A_4}{O}{A_5}{$\frac{\pi}{6}$}
\uput[u](2.0528;150){$A_5$}
\pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_5}
\pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_4}
\pstLineAB[nodesep=-0.2]{A_4}{A_5}
\pstRotation[RotAngle=60,PosAngle=90]{O}{A_3}
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\psarc[linestyle=dashed](1.5396;90){1.5396}{205}{275}
\psline(1.7778;120)(2.3778;120)
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\psarc(1.2778;120){0.8}{-200}{-180}\uput[u](1.2778;120){$i$}
\psarc(2.2778;120){0.8}{240}{260}\uput[u](2.2778;120){$j$}
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%\pstCircleAB{O}{A_6}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\end{document}