\documentclass[10pt]{article} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %%% Corrigé : François Hache \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pst-all,pst-eucl} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{multicol} \usepackage{vmargin} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4.25cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\textbf{C}} \newcommand{\cd}{\texttt{[}} \newcommand{\cg}{\texttt{]}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\pp}{\leqslant} \newcommand{\pg}{\geqslant} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie mars 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \setlength\parindent{0mm} \newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2017~\decofourright\\[5pt] }} \end{center} \vspace{0,5cm} \section*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par $f(x) = x\e^{- x}$. %et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. %\bigskip \subsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On justifie les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous : \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x &0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & &\Rnode{max}{\dfrac{1}{\text{e}}} \rule{0pt}{20pt} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $} \end{center} \begin{list}{\textbullet}{} \item La dérivée de $f$ est $f'(x)= \e^{-x} + x(-1)\e^{-x} = (1 - x)\e^{-x}$. Pour tout $s$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$, donc $f'(x)>0$ sur $\cd 0~;~1\cd$ et $f'(x) < 0$ sur $\cg 1~;~+\infty\cd$. Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd 0~;~1\cg$, et elle est strictement décroissante sur $\cd 1~;~+\infty\cd$. \item $f(0)=0$ \item On détermine la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. $f(x) = x\e^{-x} = \dfrac{x}{\e^{x}}$; on sait que $\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} = + \infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}} = 0$ et donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. \end{list} \item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\cd 0~;~ +\infty\cd$ par $F(x) = (- x - 1)\e^{- x}$. %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. $F'(x)= -1\times \e^{-x} + (- x - 1)(- 1)\e^{- x} = (-1 + x + 1)\e^{-x} = x\e^{- x} = f(x)$ Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$. \end{enumerate} %\bigskip \subsection*{Partie B} \medskip Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. %Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme. \begin{figure}[!t] \centering \psset{xunit=2cm,yunit=10cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.02)(5,0.5) \psset{yMaxValue=0.5} %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,0.5) \uput[l](0,0.1){0,1} \uput[d](1,0){1} \uput[dr](2,0.4){$D_a$} \uput[u](4.8,0.02){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[u](1.61,0.33){$M$} \uput[l](0,0.368){$\frac{1}{\text{e}}$} \psline[linestyle=dashed](0,0.368)(1,0.368)(1,0) \def\f{x 2.71828 x exp div} \def\g{0.2 x mul} \pscustom[fillstyle=vlines] { \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.61}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.61}{0}{\g} \closepath } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g} \psline(0,0.1)(0.05,0.1) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1.61,0.32)(1.61,0) \uput[d](1.61,0){\red $-\ln(a)$} \end{pspicture} \end{figure} \begin{enumerate} \item% Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine. La droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ se coupent en des points dont les abscisses sont solutions de l'équation $ax = x\e^{-x}$. On résout cette équation: $ax = x\e^{-x} \iff ax - x \e^{-x} = 0 \iff x(a-\e^{-x}) = 0 \iff x=0 \text{ ou } a-\e^{-x}=0 \iff$ $ x=0 \text{ ou } a=\e^{-x} \iff x=0 \text{ ou } \ln (a)=-x \iff x=0 \text{ ou } x=-\ln (a).$ Donc la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ se coupent au point O et en un autre point d'abscisse $-\ln(a)$. \end{enumerate} On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln (a)$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $\cd 0~;~- \ln (a)\cg$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item% Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $\cd 0~;~-\ln(a)\cg$, donc l'aire $\mathcal{H}(a)$ du domaine hachuré est $\ds\int_{0}^{-\ln(a)} \left ( f(x) - ax\right ) \d x$. $\mathcal{H}(a) = \ds\int_{0}^{-\ln(a)} \left ( f(x) - ax\right ) \d x = \ds\int_{0}^{-\ln(a)} f(x) \d x - \ds\int_{0}^{-\ln(a)} ax \d x = \left [ F(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]_{0}^{-\ln(a)} - \left [ a \dfrac{x^2}{2} \right ]_{0}^{-\ln(a)} \\[7pt] \phantom{\mathcal{H}(a)} = \left [ (\ln(a)-1) \e^{-(-\ln(a))} - (-1)\e^{0} \right ] - \left [ a \dfrac{(\ln(a))^2}{2} - 0 \right ] = a\ln(a) -a +1 - \dfrac{1}{2}\,a\, (\ln(a))^2 $ \item Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $\cg 0~;~1\cg$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $\cg 0~;~1\cg$ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *2{c}|}\hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 \\ \hline %f'(x) & & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\:\vline \quad \Rnode{max}{1} & & \\ \mathcal{H}(x) &\vline\:\vline & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\:\vline & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max}{min} %\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}} %\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} %Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. La fonction $\mathcal{H}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\cg 0~;~1\cg$. D'après le tableau de variations, $\ds \lim_{x\to 0 \atop x>0} \mathcal{H}(x)=1$ et $\mathcal{H}(1)=0$. Or $0,5 \in \cg 0~;~1\cd$, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\mathcal{H}(x)=0,5$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\cg 0 ~;~1\cd$. %Donc qu'il existe un unique réel $\alpha \in \cg 0~;~1\cd$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. \item On considère l'algorithme présenté ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|lX|}\hline VARIABLES : &$A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;\\ & $p$ est un entier naturel.\\ INITIALISATION : & Demander la valeur de $p$\\ & $A$ prend la valeur $0$\\ &$B$ prend la valeur 1\\ TRAITEMENT : & Tant que $B - A > 10^{-p}$\\ &\hspace{0.25cm} \begin{tabular}{|l} $C$ prend la valeur $(A + B)/2$\\ Si $\mathcal{H}(C) > 0,5$\\ \hspace{0.5cm} \begin{tabular}{|l} Alors $A$ prend la valeur de $C$\\ Sinon $B$ prend la valeur de $C$\\ \end{tabular}\\ Fin de la boucle Si \\ \end{tabular}\\ &Fin de la boucle Tant que\\ SORTIE : &Afficher $A$ et $B$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip %Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ? Cet algorithme, dit de \og dichotomie \fg{}, permet de déterminer un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à $10^{-p}$ de la solution de l'équation $\mathcal{H}(x)=0,5$; le nombre $A$ est la borne inférieure de l'encadrement, le nombre $B$ en est la borne supérieure. \item% Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. On utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements suivants: $\left. \begin{array}{l} \ds \lim_{x\to 0 \atop x>0} \mathcal{H}(x)=1\\[5pt] \mathcal{H}(0,1) \approx 0,40 < 0,5 \end{array} \right\rbrace \implies \alpha \in \cg 0~;~0,1\cd $ \hfill $\left. \begin{array}{l} \mathcal{H}(0,06) \approx 0,534 > 0,5\\ \mathcal{H}(0,07) \approx 0,496 < 0,5 \end{array} \right\rbrace \implies \alpha \in \cg 0,06~;~0,07\cd$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \section*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} %\medskip % %\emph{Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. %\\ %Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.} \medskip \begin{enumerate} \item La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne $E(T)$ de quatre ans; or $\lambda = \dfrac{1}{E(T)}$ donc $\lambda= 0,25$. %La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. D'après le cours, si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X < t) = 1-\e^{-\lambda t}$. On cherche $P_{(T\pg 3)}(T\pg 3 + 2)$. La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement donc $P_{(T\pg 3)}(T\pg 3+2) = P(T \pg 2)$. $P(T\pg 2) = 1 - P(T< 2) = 1 - \left ( 1 - \e^{-0,25\times 2}\right ) = \e^{-0,25\times 2} \approx 0,61 \neq 0,39$. \smallskip Cette affirmation est \textbf{fausse}. \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On résout dans $\C$ l'équation (E): $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$. $z^3 - 3z^2 + 3z = z(z^2 - 3z + 3)$ donc (E)\:$\iff z(z^2 - 3z + 3)=0 \iff z=0 \text{ ou } z^2-3z+3=0$ On résout dans $\C$ l'équation (E') : $z^2 - 3z + 3 = 0$: $\Delta = 9-12=-3$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées $z_1 = \dfrac{3 + \i \sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{3 - \i \sqrt{3}}{2}$. Soit A le point d'affixe $z_1$ et B le point d'affixe $z_2$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\text{OA} = |z_1|= \ds\sqrt{\left ( \dfrac{3}{2}\right )^2 + \left (\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )^2} = \ds\sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$ \item $\text{OB} = |z_2| = |z_1|$ car $z_1$ et $z_2$ sont deux nombres complexes conjugués, donc $\text{OB} = \sqrt{3}$. \item $\text{AB} = \left |z_2 - z_1\right | = \left | \dfrac{3 - \i \sqrt{3}}{2} - \dfrac{3 + \i \sqrt{3}}{2}\right | = \left | -\i \sqrt{3} \right | = \sqrt{3}$ \end{list} OA = OB = AB donc les trois solutions de l'équation (E) sont les affixes de trois points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral. \smallskip Cette affirmation est \textbf{vraie}. \end{enumerate} \newpage \section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} \medskip %\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} % %\medskip Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. %\bigskip \subsection*{Partie A} %\medskip Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. %Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : \og il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg ? On veut tester l'hypothèse \og il y a une chance sur deux $(p=0,5)$ que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg{} dans un échantillon de taille $n=34$. $n=34 \pg 30$ et $np = n(1-p) = 17 \pg 5$ donc les conditions sont vérifiées pour que l'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion que le thème A soit évalué le jour de l'examen: \smallskip $I= \left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ] = \left [ 0,5-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,5\times 0,5}}{\ds\sqrt{34}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,5\times 0,5}}{\ds\sqrt{34}}\right ] \approx \cd 0,33~;~0,67\cg$ \smallskip La fréquence dans l'échantillon est de $f=\dfrac{22}{34} \approx 0,65 \in I$ donc il n'y a pas de raison de rejeter l'affirmation proposée. %\bigskip \subsection*{Partie B} %\medskip Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$30\,\%$ des étudiants n'ayant pas sµivi le stage ne traitent pas l'exercice ; \item[$\bullet~~$]$\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. %\smallskip % %Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : \og Je n'ai pas du tout traité le thème A \fg. % %Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près. %\bigskip \begin{list}{\textbullet}{On note:} \item $S$ l'évènement \og l'étudiant a suivi le stage \fg{} et $\overline S$ son évènement contraire; \item $A$ l'évènement \og il y a un exercice portant sur le thème A \fg{} et $\overline A$ son évènement contraire. \end{list} On établit un arbre de probabilité résumant la situation: \begin{center} \bigskip { \psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\ncput*{0,2}} { \TR{$A$}\ncput*{$\frac{5}{6}$} \TR{$\overline A$}\ncput*{$\frac{1}{6}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline S$}\ncput*{0,8}} { \TR{$A$}\ncput*{0,7} \TR{$\overline A$}\ncput*{0,3} } } }% fin du \small \bigskip \end{center} On cherche $P_{\overline{A}}(S)$ c'est-à-dire $\dfrac{P(S \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$. D'après l'arbre: $P(S \cap \overline{A}) = P(S) \times P_{S}(\overline{A}) = 0,2\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{0,2}{6} = \dfrac{1}{30}$. D'après la formule des probabilités totales: $P(\overline{A}) = P(S \cap \overline{A}) + P(\overline S \cap \overline{A}) = \dfrac{1}{30} + 0,8\times 0,3 = \dfrac{1}{30} + \dfrac{24}{100} = \dfrac{41}{150}$. $P_{\overline{A}}(S) = \dfrac{\frac{1}{30}}{\frac{41}{150}} = \dfrac{1}{30} \times \dfrac{150}{41} = \dfrac{5}{41} \approx 0,122$. \subsection*{Partie C} %\medskip On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. %Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. % %$\left(\text{On pourra, par exemple, intro\-duire la variable aléatoire }\: Z = \frac{T - 225}{\sigma}\right)$. On sait que $P(T \pp 235)=0,98$ sachant que $T$ suit la loi normale de moyenne 225 et d'écart-type $\sigma$. D'après le cours, si $T$ suit la loi normale de moyenne 225 et d'écart-type $\sigma$, alors $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite (moyenne 0 et écart-type 1). \smallskip $T \pp 235 \iff T - 225 \pp 10 \iff \dfrac{T-225}{\sigma} \pp \dfrac{10}{\sigma}$ car $\sigma >0$; donc $P(T \pp 235) =0,98 \iff P\left ( \dfrac{T-225}{\sigma} \pp \dfrac{10}{\sigma} \right ) = 0,98$. \smallskip On cherche donc le réel $\beta$ tel que $P(Z\pp \beta) = 0,98$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite. On trouve à la calculatrice $\beta \approx 2,054$. On en déduit que $\dfrac{10}{\sigma} \approx 2,054$ donc que $\sigma \approx 4,9$. \vspace{0.5cm} \section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.$. %\smallskip % %On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline % &A &B &C\\ \hline %1 & &$u_n$ &$u_n$ \\ \hline %2 &$n$ &(en valeurs exactes)&(en valeurs approchées)\\ \hline %3 & 0 &0 &0\\ \hline %4 & 1 &1/2 &0,5 \\ \hline %5 & 2 &2/3 &\np{0,666666667}\\ \hline %6 & 3 &3/4 &0,75 \\ \hline %7 & 4 &4/5 &0,8 \\ \hline %8 & 5 &5/6 &\np{0,833333333}\\ \hline %9 & 6 &6/7 &\np{0,857142857} \\ \hline %10& 7 &7/8 &0,875 \\ \hline %11& 8 &8/9 &\np{0,888888889}\\ \hline %12& 9 &9/10 &0,9\\ \hline %13& 10 &10/11 &\np{0,909090909}\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} %Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On peut conjecturer que, pour tout $n$, $u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout $n$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=0$, $u_0=0$ et $\dfrac{n}{n+1}=0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$. \item \textbf{Hérédité} On suppose que la propriété est vraie pour un entier $k$ quelconque: $u_k=\dfrac{k}{k+1}$. On va démontrer qu'elle est vraie au rang $k+1$ soit $u_{k+1} = \dfrac{k+1}{k+2}$. $u_{k+1} = \dfrac{1}{2-u_k} = \dfrac{1}{2- \dfrac{k}{k+1}} = \dfrac{1}{\dfrac{2(k+1) - k}{k+1}} = \dfrac{k+1}{2k+2-k} = \dfrac{k+1}{k+2}$ Donc la propiété est vraie au rang $k+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire pour tout $n$. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} On peut donc dire que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$. \smallskip On cherche $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n$. Pour $n\neq 0$: $\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{n\times 1}{n\left ( 1+\dfrac{1}{n} \right )} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}$. On sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}} = 1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=1$. \vspace{0.5cm} \section*{\textsc{Exercice 5}\hfill {\normalsize Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~I,~J,~K). On considère les points $\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\vect{\text{AB}} \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$; $7\times \dfrac{2}{7} = 2$ et $-4\times \dfrac{2}{7} \neq 3$ donc les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés donc ils définissent bien un plan dont $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont deux vecteurs directeurs. \item Soit le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$. $\vect{n}\,.\,\vect{\text{AB}} = 5\times 7 + 16\times (-4) + 29\times 1 = 35 - 64 + 29 = 0$ donc $\vect{n} \perp \vect{\text{AB}}$. $\vect{n}\,.\,\vect{\text{AC}} = 5\times 2 + 16\times 3 + 29\times (-2) = 10 + 48 - 58 = 0$ donc $\vect{n} \perp \vect{\text{AC}}$. Donc le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC) donc le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item% En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). Le plan (ABC) est l'ensemble des points M tels que $\vect{\text{AM}}$ et $\vect{n}$ sont orthogonaux. Si M a pour coordonnées $(x~;~y~;~z)$, alors $\vect{\text{AM}}$ a pour coordonnées $(x+1~;~y+1~;~z)$. $\vect{\text{AM}} \perp \vect{n} \iff \vect{\text{AM}}\,.\,\vect{n} = 0 \iff 5(x+1) + 16(y+1) + 29z = 0 \iff 5x + 16y +29z +21 = 0$ Le plan (ABC) a pour équation $5x + 16y +29z +21 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Déterminer la nature du triangle ABC. $\text{AB}^2 = \left \| \vect{\text{AB}} \right \|^2 = 7^2 +(-4)^2 +1^2 = 49+16+1=66$ $\text{AC}^2 = \left \| \vect{\text{AC}} \right \|^2 = 2^2 + 3^2 +(-2)^2 = 4+9+4 = 17$ $\text{BC}^2 = (1-6)^2 + (2+5)^2 + (-2-1)^2 = 25 + 49 + 9 = 83$ $66 + 17 = 83$ ce qui équivaut à $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. \item% Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{\np{1122}}}{2}$. Le triangle ABC est rectangle en A donc son aire vaut $\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{66}\times \sqrt{17}}{2} = \dfrac{\sqrt{\np{1122}}}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les points A, B, C et S sont coplanaires si et seulement si le point S appartient au plan (ABC). Le plan (ABC) a pour équation $5x + 16y +29z +21 = 0$. $5x_{\text{S}} + 16y_{\text{S}} +29z_{\text{S}} + 21 = 5\times 13 + 16\times 37 + 29\times 54 + 21 = \np{2244} \neq 0$ donc $\text{S} \not\in (\text{ABC})$. \emph{Rem.} tous les termes de la somme précédente étant supérieurs à zéro la somme ne peut être nulle. Les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires. \item La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par S coupe le plan (ABC) en un point noté H. %Déterminer les coordonnées du point H. La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{n}$. Donc le vecteur $\vect{\text{SH}}$ est colinéaire au vecteur $\vect{n}$ donc le vecteur $\vect{\text{SH}}$ a pour coordonnées $(5k~;~16k~;~29k)$ où $k$ est un réel. Si le point H a pour coordonnées $(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}})$, le vecteur $\vect{\text{SH}}$ a pour coordonnées $(x_{\text{H}}-13~;~y_{\text{H}}-37~;~z_{\text{H}}-54)$. On en déduit: $\left \lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_{\text{H}} & 13+5k \\ y_{\text{H}} & 37 + 16k\\ z_{\text{H}} & 54 + 29k \end{array} \right.$ On exprime que H appartient au plan (ABC), ce qui va permettre de déterminer la valeur de $k$: $5x_{\text{H}} + 16y_{\text{H}} +29z_{\text{H}} +21 = 0 \iff 5\left (13+5k\right ) + 16\left (37+16k\right ) +29\left (54+29k\right )+21=0\\ \phantom{5x_{\text{H}} + 16y_{\text{H}} +29z_{\text{H}} +21 = 0} \iff 65+25k+592+256k + \np{1566} + 841k +21=0\\ \phantom{5x_{\text{H}} + 16y_{\text{H}} +29z_{\text{H}} +21 = 0} \iff \np{2244} + \np{1122}k=0 \iff k=-2$ Donc le point H a pour coordonnées: $\left \lbrace \begin{array}{l !{=} l !{=} r} x_{\text{H}} &13+5(-2) & 3 \\ y_{\text{H}} &37 + 16(- 2) & 5\\ z_{\text{H}} &54 + 29(- 2) & -4 \end{array} \right.$ \end{enumerate} \item Le volume du tétraèdre SABC est $\dfrac{\text{aire(ABC)} \times \text{SH}}{3}$. Le vecteur $\vect{\text{SH}}$ a pour coordonnées $(5k~;~16k~;~29k)$ donc $(5(-2)~;~16(-2)~;~29(-2)) = (-10~;~-32~;~-58)$. Donc $\text{SH}^2 = (-10)^2+(-32)^2 + (-58)^2 = \np{4488}$ et donc $\text{SH} = \sqrt{\np{4488}} = 2 \sqrt{\np{1122}}$. $\text{aire(ABC)} =\dfrac{ \sqrt{\np{1122}}}{2}$ donc le volume du tétraèdre est $\dfrac{\dfrac{\sqrt{\np{1122}}}{2} \times 2 \sqrt{\np{1122}}}{3} = \dfrac{\np{1122}}{3} = 374$ unités de volume. %\emph{On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :} % % \[\dfrac{\text{\emph{Aire\: de\: la\: base}} \times \text{\emph{hauteur}} }{3}.\] \end{enumerate} \end{document}