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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{4 mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Polynésie 4 mai 2022~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ sujet \no 1}}

%\bigskip
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé
\end{center}
%
%\medskip
%
%Le sujet propose 4 exercices
%
%Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices}
%

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill Thèmes : fonctions, suites}

\medskip

%\emph{Cette exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère  la fonction $g$ définie et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ par :
$g(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right).$

La fonction $g$ est dérivable comme composée de fonctions dérivables.

$x^2+x+1$ est une fonction positive sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions positives. 

On pose $u(x)=x^2+x+1$ et on a $u'(x)=2x+1$. 

La fonction  dérivée de $\ln (u(x))$ est la fonction $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ : $g'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$\hfill\textbf{Réponse d}

\item %La fonction $x \longmapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction :
Pour déterminer si $f(x)=\ln(x)$ admet pour primitive l'une des fonctions citées, il suffit de les dériver.

Soit $g(x) = x\ln (x)- x$.
La fonction $g$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et on a $g'(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} - 1= \ln (x) + 1- 1 = \ln(x) = f(x)$.

La fonction $g$ est donc une primitive de $f$. \hfill \textbf{Réponse c}

\item On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie  pour tout $n$ dans $\N$ par :

\[a_n = \dfrac{1 - 3^n}{1 + 2^n}=\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}\]

On a 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^n}-1=-1$ car$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{3^n}=0$ ; $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2^n}+1=1$ car$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{2^n}=0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{\dfrac{1}{3^n} - 1}{\dfrac{1}{2^n} + 1} = - 1$.

D'autre part  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty$ car  $dfrac{3}{2}> 1$, donc finalement par produit de limites, la limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à $-\infty$.\hfill\textbf{Réponse a}

\item 
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;~2]$. Le tableau de variations de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2]$ est donné par :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -2 & \esp & 0 & \esp & 2 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{-1}   \\
\text{variations de }f' & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\rput*(-3.7,0.6){\Rnode{zero}{0}}
\rput(-3.7,1.85){\Rnode{alpha}{-1}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

La fonction $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} convexe sur $[- 2~;~- 1]$&\textbf{b.~~} concave sur [0~;~1]\\
\textbf{c.~~} convexe sur $[- 1~;~2]$&\textbf{d.~~}concave sur $[-2~;~0]$
\end{tabularx}
\end{center}

Les variations de la dérivée donnent la convexité de la fonction; si $f'$ est décroissante alors la fonction est concave.

Comme $f'$ est décroissante sur $[-2~;~0]$,  $f$ est donc concave sur cet intervalle.
\hfill \textbf{Réponse d}

\item On donne ci-dessus la courbe représentant la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.2,-3.2)(4.2,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.2,-3.2)(4.2,3.2)
\psbcurve[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,-3)(-1,0)(0,1)L(0.1,1)(1,0)L(1.5,-1)(2,-1)L(2.1,-1)(3,0)(4,3)
%\pscspline[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2,-3)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,-1)(3,0)(4,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

Le signe de la dérivée donne les variations de la fonction $f$.

En $1$, $f'(x)$ s'annule en changeant de signe et en passant du positif au négatif, la fonction $f$ va donc admettre un maximum en 1.
\hfill\textbf{Réponse c}

\item Une action est cotée à 57 \euro. Sa valeur augmente de 3\,\% tous les mois.

Pour que la fonction seuil fonctionne, il faut que la boucle while s'exécute tant que $v<200$ et que le nombre de mois soit augmenté de 1 à chaque exécution de la boucle. \hfill \textbf{Réponse a}

%La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 \euro{} est :

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \quad  7 points\hfill Thèmes : probabilités}

\medskip

Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7\,\% des habitants sont affectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \,\%$ des cas ;
\item[$\bullet~~$] Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1\,\%$ des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ \og la personne est malade \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]  $T$ \og le test est positif \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$, on s'appuie sur un arbre pondéré:

%Soit l'arbre pondéré suivant : 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}\taput{$0,07$}}
	{\TR{$T$}\taput{$0,8$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,2$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{$0,93$}}
	{\TR{$T$}\taput{$0,01$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,99$}
	}
}
\end{center}

%\medskip

On a donc $P(M\cap T) = 0,07 \times 0,8 = 0,056$

\item %Démontrer que la probabilité que le test  de la personne choisie au hasard soit positif, et de \np{0,0653}.
$M$ et $\overline{M}$ formant une partition de l'univers, d'après les probabilités totales,

$P(T)=P(M \cap T)+P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,07 \times 0,8 + 0,93 \times 0,01 = \np{0,0653}$.

\item %Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M)$ ?
$P_M(T)$ est la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade, et  $P_T(M)$ est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.

Dans un contexte de dépistage de la maladie, il est plus pertinent de calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif c'est-à-dire $P_T(M)$.

\item On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.

La probabilité qu'elle soit malade est:%? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
$P_T(M)=\dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,07 \times 0,8}{0,0653} \approx 0,86$

\item On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes. 

	\begin{enumerate}
		\item %Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
Le tirage étant assimilé à un tirage avec remise, on a une indépendance des 10  tirages, le succès étant défini par le test positif, on peut assimiler cette variable aléatoire à une loi de Bernoulli de paramètre $n=10$ et $p=0,0653$

		\item La probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif est:%. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
		
$P(X = 2) = \binom{10}{2} \times 0,0653^2 \times (1-0,0653)^8 \approx 0,11$
	\end{enumerate}	

\item On veut déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif, soit supérieure à $99\,\%$.

Soit $n$ le nombre de personnes testées;  on cherche $n$ pour que $P(X\geqslant 1) \geqslant 0,99$.

On a $P(X\geqslant 1)=1 - P(X = 0)$  soit 

$1 - 0,9347^n \geqslant 0,99 \iff 0,9347^n \leqslant 0,01 \iff n \ln (0,9347) \leqslant \ln(0,01) \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01}{\ln(0,9347} $. Or $\dfrac{\ln(0,01}{\ln(0,9347} \approx 68,2$.

Il faut donc tester $69$ personnes dans ce pays pour que au moins une ait un test positif.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \quad  7 points\hfill Thèmes : suites}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, \: 
$u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.

\begin{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u_1=u_{n+1} = \dfrac{u_0}{1 + u_0}=\dfrac{1}{2}$, $u_2 = \dfrac{u_1}{1 + u_1}=\dfrac{1}{3}$  et $u_3 = \dfrac{u_2}{1 + u_2} = \dfrac{1}{4}$. 
%On  donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

		\item On complète les lignes 3 et 6 du script python ci-dessous pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ à $u_k$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|X|}\hline
1.&def liste(k) :\\
2.&\qquad L = []\\
3.&\qquad u = {\blue 1}\\
4.&\qquad for i in range(0, k+1) :\\
5.&\quad \qquad L.append(u)\\
6.&\quad \qquad u = {\blue u/(1+u)}\\
7.&\qquad return(L)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif.

$u_{n+1} - u_n= \dfrac{u_n}{1 + u_n}-u_n=\dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n}=\dfrac{-u_n^2}{1+u_n}<0$ car $u_n$ est strictement positif.

La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\left(u_n\right) $ est décroissante et minorée par $0$; d'après le théorème de la convergence monotone, la suite  $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$ positive ou nulle.

\item %Déterminer la valeur de sa limite.
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$ , on a alors $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

La fonction $f$ est continue, car dérivable sur $\R^+$, donc la limite $\ell$ vérifie  l'égalité $f(\ell) = \ell$.

On résout l'équation: $\dfrac{\ell}{1+\ell}= \ell \iff \ell = \ell(1 + \ell) \iff 0= \ell ^2 \iff \ell = 0$.

Donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Au vu des premiers termes, on peut conjecturer que pour $n \in \N$, on a $u_n = \dfrac{1}{n+1}$
				
		\item On démontre par récurrence la conjecture précédente.
Soit $P_n$ la propriété: $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
		
$\bullet~~$Initialisation :
		
pour $n=0$, $u_0=\dfrac{1}{0+1}=1$ donc $P_0$ est vraie.

$\bullet~~$Hérédité : 
		
Supposons que $P_n$ est vraie pour un entier $n \in \N$, on a donc $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
		
On a alors $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+1+1}{n+1}}=\dfrac{1}{1+(n+1)}$ : la relation est vraie au rang $(n + 1)$.
		
$P_{n+1}$ est donc vraie.
		
Comme $P_0$ est vraie, et que pour $n \in \N$,\: $P_n$ vraie entraîne $P_{n+1}$ vraie, d'après le principe de récurrence  on peut dire que pour tout $n \in \N$, $P_n$ est vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \quad  7 points\hfill Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace}

\medskip

L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]les points A$(2~;~-1~;~0)$ B$(1~;~0~;~- 3)$, C$(6~;~6~;~1)$  et E$(1~;~2~;~4)$ ;
\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On veut démontrer que le triangle ABC est rectangle en A; on a 
$\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\-3 \end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}4\\7\\1 \end{pmatrix}$.
		
$\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}=-4 +7-3=0$ donc   $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux et le triangle ABC est donc rectangle en A.

		\item $\vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}5\\6\\4 \end{pmatrix}$
donc $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}=5-6+12=11$.

$\text{BA}= \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{11}$ et $\text{BC}=\sqrt{5^2+6^2+4^2} =\sqrt{77}$

		\item On cherche la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
		
On a alors
\begin{align*} 
\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}= \text{BA}\times\text{BC}\times \cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right)&\iff 11=\sqrt{11}\times \sqrt{77} \times \cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right) \\
&\iff 11=\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times \sqrt{7}\times \cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right) \\
&\iff \cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{7}}
\end{align*}

La calculatrice donne $\widehat{\text{ABC}}  \approx 68\degres$ au degré près.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item On veut démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan (ABC).
		
Un vecteur normal du plan $\mathscr{P}$ est le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$.

Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires car ABC est un triangle rectangle.

De plus $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}}=2\times (-1) -1\times 1 - 1\times (-3) =-2-1+3 = 0$

 et 

$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}}=2\times 4-1\times 7-1\times 1 = 8 - 7 - 1 = 0$

$\vect{n}$ est donc un vecteur normal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), c'est donc un vecteur normal de ce plan et du plan $\mathscr{P}$.

Les plans $\mathscr{P}$ et (ABC) sont donc parallèles.

		\item On déduit une équation cartésienne du plan (ABC).
		
Le plan (ABC) a donc une équation de la forme $2x - y - z + d = 0$, comme A appartient à ce plan,  on a: $5 + d = 0$ soit $d = -5$.
		
Une équation de (ABC) est donc $2x - y - z - 5 = 0$.

		\item On détermine une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (ABC) et passant par le point E.
		
Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est donc le vecteur $\vect{n}$ 
		
%		$\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\end{cases} \qquad ,t\in \R$
On a donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{D} \iff \vect{\text{E}M} = t \vect{n}$, avec $t \in \R$, soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&2t\\
y - 2&=&- t,\\
z - 4&=&-t
\end{array}\right. t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 +2t\\
y &=& 2 - t,\\
z &=&4 -t
\end{array}\right. t \in \R$.

		\item On démontre que le projeté orthogonal H  du point E sur le plan (ABC) a pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
		
		H correspond à l'intersection du plan (ABC) avec la droite perpendiculaire à (ABC) qui passe par E soit la droite $\mathcal{D}$, les coordonnées de H seront donc solutions du système suivant  :
		
\begin{align*}
\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2x-y-z-5=0\end{cases}& \iff\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0\end{cases} \\
&\iff \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\6t-9=0\end{cases} 
&\iff \begin{cases} t=\frac{3}{2}\\x=4\\y = \frac{1}{2}\\z=\frac{5}{2}\end{cases}
\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$  la hauteur de la pyramide associée à cette base. 

On va calculer l'aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide  ABCE est égal à $16,5$ unités de volume.

$\text{AC}=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}$ et donc $\mathscr{B}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}$

HE est la hauteur de la pyramide et $\vect{\text{HE}}\begin{pmatrix}-3\\\frac{3}{2}\\\frac{3}{2} \end{pmatrix}$

On a par suite HE $=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$ puis

$ \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11\sqrt{6}}{2}\times \sqrt{\dfrac{27}{2}}  
=\dfrac{11\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}\times 3\sqrt{3}}{3\times 2 \times \sqrt{2}}
=\dfrac{33}{2}
= 16,5$ 
\end{enumerate}

\end{document}