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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technologique Hôtellerie},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Polynésie juin 2009}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

%À compter du 1\up{er} janvier 2010, le directeur d'un palace décide de louer à l'année certaines de ses plus belles chambres. Il propose à ses plus fidèles clients deux types de contrats de location.
% 
%1\up{er} contrat : \np{20000}~\euro{} la première année puis une augmentation de 5\,\% tous les ans.
% 
%On note $u_{n}$ le montant de la location au 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi, $u_{0} = \np{20000}$.
%
%2\up{e} contrat : \np{20000}~\euro{} la première année puis une augmentation de \np{1150}~\euro{} tous les ans.
% 
%On note $v_{n}$ le montant de la location au 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi, $v_{0} = \np{20000}$.
%
%\medskip
 
%\emph{Les résultats seront arrondis au centime d'euro.}
%
%\medskip
 
\textbf{I Étude du 1\up{er} contrat :}
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est le prix $u_{1}$ de la location d'une chambre le 1\up{er} janvier 2011 avec le premier contrat ? Et $u_{2}$ celui au 1\up{er} janvier 2012 ? 
Augmenter chaque année de 5\,\%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{5}{100} = 1 + 0,05 = 1,05$, donc :

$u_1 = u_0 \times 1,05 = \np{20000} \times 1,05 = \np{21000}$~\euro ;

$u_1 = u_1 \times 1,05 = \np{21000} \times 1,05 = \np{22050}$~\euro.
\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
On a pour tout naturel $n, \: u_{n+1} = 1,05u_n$. 
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Quelle est sa raison ? Justifier.
La  suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = \np{20000}$ et de raison $r = 1,05$.
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que  pour tout naturel $n, \: u_{n} = u_0r^n$, soit $u_n = \np{20000}\times 1,05^n$. 
\item %Combien coûtera la location à l'année en 2019 ? 
2019 correspond à $n = 9$, donc :

$u_9 = \np{20000}\times 1,05^9 \approx \np{31026,56}$~\euro.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Étude du 2\up{e} contrat :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Quel est le prix $v_{1}$ de la location d'une chambre le 1\up{er} janvier 2011 avec le deuxième contrat ? Et $v_{2}$  celui au 1\up{er} janvier 2012 ?
On a $v_1 = \np{20000} + \np{1150} = \np{21150}$ ;

$v_2 = v_1 + \np{1150} = \np{21150} + \np{1150} = \np{22300}$. 
\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
Chaque année le loyer coûte \np{1150} de plus, donc $u_{n+1} = u_n + \np{1150}$.
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Quelle est sa raison ? Justifier. 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $v_0 = \np{20000}$ et de raison $r = \np{1150}$.
\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $v_n = v_0 + nr$, soit ici $v_n =  \np{20000} + \np{1150}n$.
\item %Combien coûtera la location à l'année en 2019 ?
2019 correspond à $n = 9$, donc :

$v_9 = \np{20000} + \np{1150} \times 9 = \np{20000} + \np{10350} = \np{30350}$~\euro. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III Comparaison :}

\medskip

%Un client fidèle décide de prendre une location au premier janvier 2010 pendant 10 ans. À quel contrat doit-il souscrire pour que sa dépense totale soit minimale ?
Les sommes des loyers payés pendant 10 ans sont respectivement : 

$U_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_9$ et $V_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_9$.

$\bullet~~$On a $U_n = \dfrac{u_{10} - u_0}{1,05 - 1} = \dfrac{\np{20000}\times 1,05^{10} - \np{20000}}{0,05} \approx \np{251557,85}$~\euro ;

$\bullet~~$On a $V_n = \dfrac{1}{2} \times 10 \left(u_0 + u_9\right) = \np{251750}$~\euro.

La formule 1 est la plus avantageuse.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{I Étude d'une série statistique :}

\medskip
 
%Un restaurateur s'intéresse, chaque mois de l'année 2008, au nombre moyen de couverts servis par jour dans son établissement. Il relève les données suivantes :
% 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Mois						&Janvier	&Février	&Mars	&Avril	&Mai	&Juin \\ \hline
%Rang $x_{i}$				& 1 		&2 			&3 		&4 		&5 		&6 \\ \hline
%Nombre de couverts $y_{i}$	& 18 		&29 		&32 	&36 	&41 	&44\\ \hline \hline
%Mois 						&Juillet 	&Août 		&Sept. 	&Octob. &Novem. &Décem.\\ \hline 
%Rang $x_{i}$				& 7 		&8 			&9 		&10 	&11 	&12 \\ \hline
%Nombre de couverts $y_{i}$	& 44 		&48 		&48 	&50 	&53 	&52\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) d'unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 1~mois. 
%\item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 5~couverts.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(12,55)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(12,55)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(12,55)
\psdots(1,18)(2,29)(3,32)(4,36)(5,41)(6,44)(7,44)(8,48)(9,48)(10,50)(11,53)(12,52)
\uput[u](10.7,0){Rang du mois $x$}
\uput[r](0,54){Nombre de couverts $y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{12}{x dup mul 6 x mul add ln 10 mul}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Un ajustement affine est-il pertinent ?
Si on écarte le premier point un ajustement affine semble pertinent.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{II Étude d'une fonction :}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~12] par :

\[f(x) = 10\ln \left( x^2 + 6x\right).\]

%On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le même repère (O~;~I, J).

%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la fonction dérivée $f'$ s'exprime par $f'(x) = 10 \times \dfrac{2x + 6}{x^2 +6x }$.
On sait que si $u$ est une fonction dérivable, la dérivée de la fonction $\ln u$ est la fonction $\dfrac{u'}{u}$.

Don sur l'intervalle  [1~;~12], avec $u(x) = x^2 + 6x, \: u'(x) = 2x + 6$, d'où :

$f'(x) = 10 \times \dfrac{2x + 6}{x^2 + 6x}$. 
	\item %Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~12].
$x^2 + 6x = x(x + 6)$ est de produit de termes positifs : il est positif comme 10, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $2x + 6 = 2(x + 3)$ ; ce produit est également positif pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~12].

Donc $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante de $f(1) = 10\ln (1 + 6) = 10\ln 7 \approx 19,46$ à $f(12) = 10\ln (144 + 72) = 10\ln 216 \approx 53,8$.
	\end{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs arrondies à $10^{-1}$).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	  &1	&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10		&11		&12 \\ \hline
$f(x)$&19,5	&27,7	&33,0	&36,9	&40,1	&42,8	&45,1	&47,2	&49,1	&50,8 	&52,3 	&53,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
\item %Tracer $\mathcal{C}_{f}$ dans le même repère que le nuage de points.
Voir plus haut.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{III Application :}

\medskip

%En admettant que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ constitue un bon ajustement du nuage de points et que la tendance affichée se confirme jusqu'au mois de février 2009, donner une estimation du nombre moyen de couverts servis par jour dans ce restaurant en février 2009. Justifier.
Février 2009 correspond à $x = 14$. En utilisant l'ajustement par la fonction $f$, on a :

$f(14) = 10\ln \left(14^2 + 6\times 14\right) = 10\ln 280 \approx 56,3$ soit environ 53 couverts. 
\end{document}