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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Polynésie juin 2010}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip
 
%Un Groupement d'Intérêt Économique pour le tourisme a invité 120 personnes, toutes directrices d'agences de voyages, pour tester deux nouveaux gîtes touristiques A et B.
% 
%À l'issue de ce test, les résultats sont les suivants : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 35\,\% des personnes sont satisfaites des deux gîtes. 
%\item les $\dfrac{3}{5}$ des personnes sont satisfaites du gîte B.  
%\item 36 personnes n'ont apprécié que le gîte A.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de personnes 		&Satisfaites du gîte A 	&Non satisfaites du gîte A	& Total\\ \hline 
Satisfaites du gîte B		&42						&30							&72\\ \hline 
Non satisfaites du gîte B	&36						&12							&48\\ \hline 
Total						&78						&42							&120\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item \emph{Dans cette question les résultats seront donnés sous forme décimale}
 
%On interroge une personne au hasard. On suppose que chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer %la probabilité des évènements suivants :
\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] %$A$ : \og La personne est satisfaite du gite A \fg
$p(A) = \dfrac{78}{120} = \dfrac{13}{20} = \dfrac{65}{100} = 0,65$. 
\item[ ] %$B$ : \og La personne est satisfaite du gîte B \fg
$p(B) = \dfrac{72}{120} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{60}{100} = 0,60$.  
\item[ ] %$C$ : \og La personne est satisfaite des deux gîtes \fg
$p(C) = \dfrac{42}{120} = \dfrac{7}{20} = \dfrac{35}{100} = 0,35$.
\item[ ] %$D$ : \og La personne est satisfaite d'un seul gîte \fg.
$p(D) =  \dfrac{78}{120} +  \dfrac{66}{120} = \dfrac{11}{20} = \dfrac{55}{100} = 0,55$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
$A \cup B$ : \og La personne est satisfaite du gite A ou du gîte B \fg.

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B = p(A) + p(B) - p(C) =$

$ \dfrac{78}{120} + \dfrac{72}{120} - \dfrac{42}{120} = \dfrac{108}{120} = \dfrac{36}{40} = \dfrac{9}{10} = 0,9$.
	\end{enumerate} 
\item %On interroge une personne satisfaite du gîte B. Quelle est la probabilité qu'elle soit satisfaite du gîte A ? \emph{Arrondir le résultat à $10^{-2}$.} 
Sur les 72 personnes satisfaites du gîte B, 42 sont satisfaites du gîte A, soit une probabilité égale à :

$\dfrac{42}{72} = \dfrac{7}{12} \approx 0,583$, soit 0,58 au centième près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 13 points}

\medskip
 
%En janvier 2009, le service restauration d'un hôtel a proposé une formule brunch-loisirs le dimanche afin de rentabiliser l'établissement en saison creuse. L'exercice a pour objectif d'étudier l'intérêt de cette formule.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur [20~;~100] par 

\[f(x) = - 0,5x^2 + 64x - 950.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
Sur l'intervalle  [20~;~100], on a : $f'(x) = 2 \times (- 0,5x) + 64 = - x + 64$.
\item ~%Étudier le signe de la fonction $f'$, sur [20~;~100] puis en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [20~;~100].
$\bullet~~- x + 64 > 0 \iff 64 > x \iff x < 64$, donc $f'(x) > 0$ sur [20~;~64] ;

$\bullet~~- x + 64 < 0 \iff 64 < x \iff x > 64$, donc $f'(x) < 0$ sur [64~;~100] ;

$\bullet~~- x + 64 = 0 \iff 64 : x \iff x = 64$, donc $f'(64) = 0$.

La fonction $f$ est croissante sur  [20~;~64] de $f(20) = - 0,5 \times 20^2 + 64 \times 20 - 950 = - 200 + \np{1280} - 950 = 130$ à $f(64) = - 0,5 \times 64^2 + 64 \times 64 - 950 = \np{1098}$, puis décroissante de $f(64) =  \np{1098}$ à $f(100) = 450$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&20		&30		&40		&50			&60			&64			&70			&80		&100\\ \hline 
$f(x)$	&130	&520	&810	&\np{1000}	&\np{1090}	&\np{1098}	&\np{1080}	&970	&450	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  ~%On munit le plan d'un repère orthogonal à d'unités graphiques :


%\begin{itemize}
%\item 1 cm pour $5$ unités sur l'axe des abscisses, sur cet axe, la graduation commencera à 20.
%\item 1 cm pour $50$ unités sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
%Représenter, sur une feuille de papier millimétré, dans ce repère la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$. 
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(0,-100)(100,1100)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+100}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(100,1100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(0,0)(100,1100)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{100}{64 x mul 950 sub x dup mul 0.5 mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,1000)(50,1000)(50,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=green,ArrowInside=->](0,1000)(78,1000)(78,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = \np{1000}$.
On a  $f(x) = \np{1000} \iff - 0,5x^2 + 64x - 950 = \np{1000} \iff - 0,5x^2 + 64x - \np{1950}$.

C'est une équation du second degré.

$\Delta = 64^2 - 4 \times 0,5 \times \np{1950} = \np{4096} - \np{3900} = \np{196} = 14^2$.

$\Delta > 0$ : il y a donc deux solutions :

$x_1 = \dfrac{-64 + 14}{2\times (- 0,5)} = \dfrac{- 50}{-1} = 50$\quad et $x_2 = \dfrac{-64 - 14}{2\times (- 0,5)} = \dfrac{- 78}{-1} = 78$.

%Retrouver graphiquement les solutions de cette équation du second degré. \emph{On laissera apparents les traits de construction utiles.} 
Graphiquement on retrouve les mêmes solutions.
\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant \np{1000}$.
On voit sur le graphe que  $f(x) \geqslant \np{1000}$ lorsque $50 \leqslant x \leqslant 78$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Étude du bénéfice pour un dimanche}

\medskip
 
%On modélise le bénéfice en euros pour $x$ couverts servis un dimanche suivant la formule brunch-loisirs par l'expression :
 
\[B(x) = - 0,5x^2 + 64x - 950.\]
 
%En utilisant la partie A :
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le nombre de couverts pour lequel ce bénéfice est maximal.
 
%Quel est alors le bénéfice maximal ?
On a $B(x) = f(x)$ et on a vu que le maximum de la fonction $f$ est obtenu pour $x = 64$, ce bénéfice étant alors égal à \np{1098}~\euro. 
\item %Déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer le nombre de couverts pour que le bénéfice soit au minimum de \np{1000}~\euro.
On a vu dans la partie précédente que le bénéfice est au moins égal à \np{1000} si $x$ est entre 50 et 78 (ces deux valeurs comprises).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\textbf{Évolution du nombre de couverts par mois}

\medskip
 
%Le premier mois cette formule a attiré 168~personnes.
% 
%De janvier 2009 à décembre 2009, le restaurant a servi en moyenne chaque mois 30 couverts de plus que le précédent.
% 
%On suppose que cette progression se poursuit de la même manière au-delà de l'année 2009. Pour étudier ce phénomène, on définit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{0}$ désigne le nombre de couverts servis en janvier 2009 $\left(u_{0} = 168\right)$, $u_{1}$ le nombre de couverts servis en février 2009, $u_{2}$ le nombre de couverts servis en mars 2009 et $u_{n}$ le nombre de couverts servis au cours du $n$-ième mois suivant le mois de janvier 2009.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
On a  :

$u_1 = u_0 + 30 =  168 + 30 = 198$ ;

$u_2 = u_1 + 30 = 198 + 30 = 228$.
\item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et préciser sa raison.
On reconnaît une suite arithmétique de raison 30 de premier terme 168..  
\item %Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_n = u_0 + nr$ (avec $r$ raison de la suite), donc :

$u_n = 168 + 30n$. 
\item %Calculer le nombre de couverts servis en décembre 2009.
En décembre 2009, il y a eu 11 augmentations, donc  le nombre de couverts servis en décembre 2009 est égal à : $u_{11} = 168 + 30 \times 11 = 168 + 330 = 498$.
\item %Calculer le nombre total de couverts servis de janvier 2009 à décembre 2009.
Il faut calculer :

$S_{11} = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{11}$. En écrivant :

$S_{11} = u_{11} + u_{10} + \cdots + u_1 + u_0$ et en calculant la somme on obtient :

$2S_{11} = (198 + 498 + (228 + 468) + \cdots + (468 + 228) + (498 + 198) =  $

$12\times (198 + 498) = 12 \times 696 = \np{8392}$, donc $S_{11} = \np{4196}$.

\np{4196} couverts ont donc été servis au cours de l'année 2009.
\end{enumerate}
\end{document}