\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !!!
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{color}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\everymath{\displaystyle}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%Tapuscrit : Denis Vergés
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technicien de l'hôtellerie},
pdftitle = {Polynésie juin 2013},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}   
\textheight 23,5cm 
%\voffset -1.5cm \oddsidemargin 0pt 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie Polynésie~\decofourright\\juin 2013}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

%Un centre de vacances implanté sur la Côte d'Azur a une capacité d'accueil maximale de \np{1200}~personnes. Le directeur s'attend à ce que le nombre de vacanciers augmente au fil de la saison 2013. Il note donc chaque semaine, à partir de l'ouverture de son centre, le nombre de vacanciers.
% 
%Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Rang de la semaine : $x_{i}$	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline 
%Nombre de vacanciers : $y_{i}$	&450 	&520 	&545	&613	&641	&705	&769	&813\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de vacanciers entre la première et la huitième semaine d'ouverture (arrondir le résultat à 0,1\,\%).
L'évolution en pourcentage est égale à : $\dfrac{813 - 450}{450} \times 100  = \dfrac{363}{450} \times 100 \approx 80,7\,\%$. 
\item ~%Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. 

%Unités graphiques : 2~cm pour 1 semaine en abscisse ; 1~cm pour 20~vacanciers en ordonnée. 

%On pourra graduer l'axe des ordonnées à partir de $400$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(11,450)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,450)}
\multido{\n=0+25}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=400,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(11,450)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=400,Dy=25](0,0)(0,0)(11,450)
\psdots(1,50)(2,70)(3,95)(4,213)(5,241)(6,305)(7,369)(8,413)
\psdots[linecolor=red](4.5,232)\uput[l](4.5,232){\red G}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8.5}{50 x mul 7 add}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 
On a $x_{\text{G}} = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 8}{8} = 4,5$ et $y_{\text{G}} = \dfrac{450 + 520 + \cdots + 813}{8} = 632$.
%Placer ce point G sur le graphique précédent. 

Voir ci-dessus
\item %On admet que la droite d'équation $y = 50x + 407$ réalise un bon ajustement du nombre de vacanciers en fonction du rang de la semaine. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point G appartient à cette droite. 
G$(4,5~;~632) \in y = 50x + 407 \iff 632 = 50 \times 4,5 + 407 \iff 632 = 225 + 407$ : cette égalité est vraie.
		\item %Combien le directeur peut-il prévoir de vacanciers dans son centre la dixième semaine d'ouverture ? 
Avec cet ajustement on obtient pour $x = 10$, \: $y = 50 \times 10 + 407 = 500 + 407 = 907$.
		\item %Au bout de combien de semaines le centre afficherait-il complet ? 
Il faut résoudre l'équation :

$50x + 407 = \np{1200} \iff 50x = 793\iff x \dfrac{793}{50} = \dfrac{\np{1586}}{100} = 15,86$.

Le centre sera complet à partir de la 16\up{e} semaine.

IL y aura à ce moment : 

$y = 50 \times 16 + 407 = 800 + 407 = \np{1207}$~demandes.

Le directeur devra refuser cette 16\up{e} semaine 7 personnes.

%Combien de personnes le directeur devrait-il refuser cette semaine-là?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 13 points}

\medskip

%Une agence de voyage va mettre en vente une nouvelle offre correspondant à un séjour d'une semaine de thalassothérapie en Bretagne. Le directeur de l'agence souhaite faire une étude afin de déterminer un prix de vente lui permettant de dégager un bénéfice.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude de la demande}

\medskip
 
%Le directeur fait tout d'abord une enquête auprès de clients potentiels pour évaluer la demande en fonction du prix de vente proposé.
% 
%Le prix de vente du séjour, exprimé en milliers d'euros, est noté $x$.
% 
%Le nombre de séjours vendus est fonction du prix de vente unitaire. Il est modélisé par la fonction d définie par : 
%
%\[d(x) = - 30x + 180,\]
%
%pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~5,5].
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre de séjours qui seraient vendus si le prix de vente unitaire était fixé à $1,5$~millier d'euros.
Pour $x = 1,5$, on a $y = - 30 \times 1,5 + 180 = - 45 + 180 = 135$~séjours. 
\item %Quel serait alors le chiffre d'affaires réalisé ?

Le chiffre d'affaires réalisé sera alors : $135 \times 1,5 = 202,5$ milliers d'euros soit \np{202500}~\euro.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude du chiffre d'affaires}

\medskip
 
%On note $f(x)$ le chiffre d'affaires réalisé, en milliers d'euros, lorsque le séjour est vendu $x$ milliers d'euros.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~5,5], on a $f(x) = - 30x^2 + 180x$.
Chaque séjour est vendu $- 30x + 180$, donc $x$ séjours vendus donnent un chiffre d'affaires de :

$x \times (- 30x + 180) = 180x - 30x^2$.
\item %On définit ainsi la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~5,5]. On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle,  et on note $f'$ sa fonction dérivée. Calculer $f'(x)$.
On a sur l'intervalle [1~;~5,5], \: $f'(x) = 180 - 2 \times 30x = 180 - 60x$. 
\item ~%Étudier le signe de $f'(x)$ sur [1~;~5,5].

$\bullet~~180 - 60x > 0 \iff 180 > 60x \iff 3 > x \iff x < 3$ ; sur l'intervalle [1~;~3], $f'(x) > 0$ ;

$\bullet~~180 - 60x < 0 \iff 180 < 60x \iff 3 < x \iff x > 3$ ; sur l'intervalle [3~;~5,5], $f'(x) < 0$ ; 

$\bullet~~180 - 60x = 0 \iff  x = 3$. 
\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~5,5]. 
On déduit de la question précédente que :

$\bullet~~f$ est croissante sur l'intervalle [1~;~3] ;

$\bullet~~f$ est décroissante sur l'intervalle [3~;~5,5] ;

$\bullet~~f(3) = 180\times 3 - 30\times 3^2 = 540 - 270 = 270$~(milliers d'euro) est le maximum de la fonction sur l'intervalle [1~;~5,5]. est croissante sur l'intervalle [1~;~3] ;
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&1 	&1,5	&2 		&2,5	&3 		&3,5	&4 		&4,5	&5 		&5,5\\ \hline
$f(x)$	&150&202,5	&240	&262,5	&270	&262,5	&240	&202,5	&150	&82,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item ~%Sur une feuille de papier millimétré, représenter la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~5,5] dans un repère orthogonal. 

%Unités graphiques : 
%
%\hspace{1.5cm} 1 cm pour 0,5 millier d'euros sur l'axe des abscisses ;
% 
%\hspace{1.5cm} 1 cm pour 20 milliers d'euros sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{xunit=1.9cm,yunit=0.04cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(0,-10)(6,280)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,280)}
\multido{\n=0+20}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(6,280)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20](0,0)(0,0)(6,280)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5.5}{180 x mul 30 x dup mul mul sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue ]{1}{5.5}{327 42 x mul sub}
\uput[u](5.8,0){$x$}\uput[r](0,275){$f(x)$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2.03,241)(2.03,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(5.35,102)(5.35,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : étude des coûts et conclusion}

\medskip
 
%Pour cette nouvelle offre de séjour en thalassothérapie, les coûts fixes s'élèvent, pour l'agence de voyage, à 75~milliers d'euros. De plus, chaque séjour vendu lui coûte 1,4~millier d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On suppose dans cette question que le directeur fixe à $1,5$ millier d'euros le prix unitaire du séjour. 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la question 1 de la partie A, justifier que le coût total de cette offre, pour l'agence de voyages, est de $264$~milliers d'euros.
D'après la partie A, l'agence vend 135 séjours à 1,5 millier d'euros.

Le coût de ces 135 séjours est égal à :

$75 + 135 \times 1,4 = 75 + 189 = 264$~milliers d'euros. 
		\item %À l'aide de la partie B, justifier que, dans ce cas, l'agence ne réalise pas de bénéfice.
D'après la partie B, le chiffre d'affaires est égal à :
		
$180 \times 1,5 - 30 \times 1,5^2 = 202,5$.
		
Comme $202,5 < 264$, l'agence aura une perte.
	\end{enumerate} 
\item %On modélise le coût total de cette offre pour l'agence (exprimé en milliers d'euros) en fonction du prix $x$ du séjour (exprimé en milliers d'euros) par une fonction définie sur l'intervalle [1~;~5,5]. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'on peut modéliser ce coût total par la fonction $C$ définie par :
Pour un prix de $x$ millier d'euros le nombre de séjours vendus est $180 - 30x$.
		
Le coût de ces $180 - 30x$ séjours est donc :
		
$C(x) = 75 + 1,4\times (180 - 30x) = 75 + 1,4 \times 180 - 1,4 \times 30x = 75 + 252 - 42x = 327 - 42x$.
		 
%\[C(x) = - 42x + 327,\: \text{pour tout $x$ appartenant à l'intervalle }\: [1~;~5,5].\] 
		\item %Représenter la fonction $C$ sur l'intervalle [1~;~5,5] dans le repère de la question 6 de la partie B.
Voir plus haut. 
		\item %À quelles conditions l'agence réalisera-t-elle un bénéfice ? Expliquer la démarche mise en œuvre.
On constate que le chiffre d'affaires en rouge est supérieur au coût sur l'intervalle [2,1~;~5,3] à peu près.

Elle doit donc, pour faire un bénéfice, vendre le séjour entre \np{2100} et \np{5300}~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}