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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2014}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Polynésie 16 juin 2014}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Sur un bateau de croisière comportant $500$~cabines, il existe trois types de cabines : Confort, Prestige et Royal ; elles peuvent être intérieures ou extérieures (c'est-à-dire avec vue sur la mer).
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 60\,\% des cabines sont du type Prestige. 
%\item[$\bullet~$] Il y a autant de cabines de type Confort que de type Royal. 
%\item[$\bullet~$] Les deux cinquièmes des cabines de type Confort sont extérieures. 
%\item[$\bullet~$] Parmi les cabines de type Prestige, il y a deux fois plus de cabines extérieures que de cabines intérieures. 
%\item[$\bullet~$] Il y a 10 cabines intérieures de type Royal.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant : 
$\bullet~~$ Il y a $0,60 \times 500 = 300$ cabines Prestige ;

$\bullet~~$ Il reste donc $500 - 300 = 200$ réparties équitablement entre 100 cabines Confort et 100 cabines Royal.

$\bullet~~$ Il y a $\dfrac{2}{5} \times 100 = 2 \times 20 = 40$ cabines Confort extérieures ;

$\bullet~~$ parmi les 300 cabines Prestige il y a $\dfrac{2}{3}$ de cabines extérieures, soit $\dfrac{2}{3}\times 300 = 200$ et donc 100 cabines Prestige intérieures.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Extérieure	& Intérieure&Total \\ \hline
Cabine de type Confort	&40			&60			&100 \\ \hline
Cabine de type Prestige	&200		&100		&300 \\ \hline 
Cabine de type Royal	&90			&10			&100 \\ \hline 
Total					&330		&170		&500 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item %On choisit au hasard une cabine parmi les $500$~cabines.
 
%On admet se trouver dans une situation d'équiprobabilité. 

	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide du tableau précédent, calculer la probabilité des évènements suivants  :
		 
%$R$ : \og La cabine est du type Royal \fg{} ; 
$\bullet~~$$p(R) = \dfrac{100}{500} = \dfrac{20}{100} = 0,2$.

%$E$ : \og La cabine est extérieure \fg.
$\bullet~~$$p(E) = \dfrac{330}{500} = \dfrac{660}{\np{1000}} = \dfrac{66}{100} = 0,66$. 
		\item %Décrire par une phrase l'évènement $R \cap E$ puis calculer sa probabilité. 
$R \cap E$ : \og la cabine est du type Royal et extérieure \fg.

$p(R \cap E) = \dfrac{90}{500} = \dfrac{9}{50} \dfrac{18}{100} = 0,18$.
		\item %Décrire par une phrase l'évènement $R \cup E$ puis calculer sa probabilité.
$R \cup E$ :  \og la cabine est du type Royal ou extérieure \fg.

$p(R \cup E) = p(R) + p(E) - p(R \cap E) = 0,20 + 0,66 - 0,18 = 0,68$.
		\item Décrire par une phrase l'évènement $\overline{R}$ puis calculer sa probabilité.
$\overline{R}$ évènement contraire de $R$ : \og la cabine n'est pas du type Royal \fg.

$p\left(\overline{R} \right) = 1 - 0,2 = 0,8$.
	\end{enumerate} 
\item %On choisit maintenant au hasard une cabine parmi celles de type Royal. 

%On admet se trouver dans une situation d'équiprobabilité.

%Quelle est la probabilité qu'elle bénéficie d'une vue sur la mer ?
Sur les 100 cabines Royal, 90 sont extérieures, donc la probabilité est égale à $\dfrac{90}{100} = 90\,\% = 0,9$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%Un voyagiste veut proposer à ses clients une nouvelle croisière d'une semaine dans la mer des Caraïbes à bord d'un bateau de croisière. On peut aménager dans ce bateau jusqu'à 110 cabines de type Royal avec vue sur la mer. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

%Avant de mettre en vente cette nouveauté, le voyagiste réalise une étude pour déterminer, selon le prix d'une semaine en cabine de type Royal avec vue sur la mer, le nombre de clients susceptibles de réserver cette proposition. On obtient les résultats suivants :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Prix d'une cabine de type Royal avec vue sur la mer (en \euro) : $x_{i}$& 
%\np{2000}& \np{3000}& \np{4000}& \np{5000}&\np{6000}& \np{7000}& \np{8000}& \np{9000}\\ \hline 
%Nombre de personnes intéressées : $y_{i}$&170 &145 &112 &93 &84 &57 &34 &25 \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.

%\begin{tabular}{l l}
%Unités graphiques : & 1 cm pour 500 \euro{} sur l'axe des abscisses;\\ 
%&1 cm pour 10 personnes sur l'axe des ordonnées.
%\end{tabular}
\begin{center}
\psset{xunit=0.001cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-500,-10)(10000,180)
\multido{\n=0+1000}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,180) \uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}
\multido{\n=0+10}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10000,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10000,Dy=10]{->}(0,0)(10000,180)
\psdots[linecolor=blue](2000,170)(3000,145)(4000,112)(5000,93)(6000,84)(7000,57)(8000,34)(9000,25)(5625,90)
\uput[d](5625,90){G}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1000}{9000}{202.5 0.02 x mul sub}
\end{pspicture}

\end{center}
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 
On a $x_{\text{G}} = \dfrac{\np{1000} + \np{2000} + \ldots + \np{9000}}{8} = \np{5625}$ et $y_{\text{G}} = \dfrac{170 + 145 + \ldots + 25}{8} = \dfrac{720}{8} = 90$.

G$(\np{5625}~;~90)$. 
%Placer ce point G sur le graphique précédent. 
\item %On choisit de réaliser un ajustement du nuage précédent par la droite D passant par le point G et dont l'équation réduite est de la forme : 

%$y = - 0,02 x + b$.
 
%On admet que cette droite $D$ réalise un bon ajustement affine du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur de $b$.
On sait que G appartient à cette droite donc,

$90 = - 0,02 \times \np{5625} +b \iff 90 = - 112,5 + b \iff 90 + 112,5 = b \iff 202,5 = b$. 
		\item %Tracer la droite $D$ dans le repère précédent. 
Voir ci-dessus le tracé de la droite $D$ dont une équation est 

$y = - 0,02x + 202,5$.
		\item %En utilisant cet ajustement, calculer une estimation du nombre de personnes susceptibles de réserver une cabine de type Royal avec vue sur la mer, si le tarif pour une semaine est de \np{3500}~\euro.
Avec un tarif de \np{3500}~\euro, on peut avec ce modèle espérer 

$- 0,02 \times \np{3500} + 202,5 = 132,5$, soit au moins 132 réservations (soit plus que de cabines !).
	\end{enumerate} 
\item %On souhaite que 110 cabines de type Royal avec vue sur la mer soient occupées. 
%Estimer alors le tarif hebdomadaire à ne pas dépasser.
Si $y = 110$, alors $110 = - 0,02x + 202,5 \iff 0,02x = 202,5 - 110 \iff $

$0,02x = 92,5 \iff x = 92,5 \times 50 = \np{4625}$~\euro.

Le voyagiste ne doit pas demander plus de \np{4625}~\euro{} s'il veut vendre ses 110 cabines.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

%On cherche à étudier le chiffre d'affaires hebdomadaire que le voyagiste peut réaliser pour la location des cabines de type Royal avec vue sur la mer. On suppose pour cela que le nombre de clients réservant ce type de cabine pour une semaine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [\np{2000}~;~\np{9000}]  par : 

%\[f(x) = - 0,02x + 200,\] 

%où $x$ représente le prix, en euros, pour un séjour d'une semaine.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le chiffre d'affaires hebdomadaire est donné par la fonction $A$ définie sur l'intervalle [\np{2000}~;~\np{9000}] par : 

%\[A(x) = - 0,02x^2 + 200x,\]

%$x$ représentant le prix (en \euro) pour un séjour d'une semaine. 
Si $f(x)$ clients paient chacun $x$ euros, le chiffre d'affaires du voyagiste est :

$A(x) = f(x) \times x = (- 0,02x + 200) \times x  = - 0,02x^2 + 200x$.
\item %On admet que $A$ est dérivable sur l'intervalle [\np{2000}~;~\np{9000}]. Soit $A'$ la fonction dérivée de $A$.
 
%Calculer $A'(x)$.
Sur l'intervalle  [\np{2000}~;~\np{9000}], $A'(x) = 2 \times (- 0,02x) + 200 = 200 - 0,04x$.
\item %Étudier le signe de $A'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction A sur [\np{2000}~;~\np{9000}]. 
$\bullet~~200 - 0,04x > 0 \iff 200 > 0,04x \iff \frac{200}{0,04} > x \iff \np{5000} > x \iff $

$x < \np{5000}$. Donc sur l'intervalle [\np{2000}~;~\np{5000}] la fonction $A$ est croissante ;

$\bullet~~200 - 0,04x < 0 \iff 200 < 0,04x \iff \frac{200}{0,04} < x \iff \np{5000} < x \iff $

$x > \np{5000}$. Donc sur l'intervalle [\np{5000}~;~\np{9000}] la fonction $A$ est décroissante ;

$\bullet~~200 - 0,04x = 0 \iff 200 = 0,04x \iff \frac{200}{0,04} = x \iff \np{5000} = x$.

La fonction $A$ est croissante de $A(\np{1000}) = - 0,02 \times  \np{1000}^2 + 200\times \np{1000} = $

$\np{1000}(200 - 20) = \np{1000} \times 180 = \np{180000}$ à $f(\np{5000}) = $

$- 0,02 \times  \np{5000}^2 + 200\times \np{5000}  = \np{5000}(200 - 0,02 \times \np{5000}) = \np{5000}(200 - 100) = \np{500000}$, puis décroissante de $\np{500000}$ à $A(\np{9000}) = - 0,02 \times  \np{9000}^2 + 200\times \np{9000} = \np{9000}(200 - 0,02 \times \np{9000}) = \np{9000}(200 - 180) = \np{180000}$. 
\item %Déterminer le prix d'une semaine en cabine de type Royal avec vue sur la mer qui rendrait le chiffre d'affaires hebdomadaire maximal. Quel serait alors ce chiffre d'affaires maximal ?
D'après la question précédente la dérivée de $A$ s'annule en $x = \np{5000}$ : cela correspond au maximum de la fonction $A$ et on a vu que $A(\np{5000}) = \np{500000}$~\euro. 

Un prix de \np{5000}\,\euro{} donne un chiffre d'affaires maximal.
\item %Combien de cabines de type Royal avec vue sur la mer devraient être aménagées dans ce bateau pour que le chiffre d'affaires soit maximal ?
On a vu dans la partie A que pour un prix de \np{5000}~\euro{}, \, 93 personnes seraient intéressées. 

Si on prend le modèle de la droite (D), on obtient :

$y = - 0,02 \times  \np{5000} + 202,5 = 202,5 - 100 = 102,5$ soit 102 personnes environ.

Il est donc raisonnable d'aménager à peu près 95 cabines.
\end{enumerate}
\end{document}