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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\ Polynésie 9 juin 2016}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

%La Polynésie française est composée d'environ cent vingt îles réparties en cinq subdivisions administratives :
%les îles du Vent, les îles Sous-le-Vent, les îles Marquises, les îles Australes et la subdivision des Tuamotu-Gambier.
%
%Le service Tahiti Tourism Authority, placé sous l'autorité hiérarchique du ministre chargé du tourisme, a
%identifié, au 31 juillet 2013, 294 établissements au titre de l'hôtellerie familiale (hébergement chez l'habitant
%ou pension familiale). Certains de ces établissements font l'objet d'un classement par nombre de fleurs de
%tiare croissant de 1 à 3. La qualité et les attraits touristiques du site d'implantation, le niveau de confort et
%d'équipement des installations et les services proposés font l'objet d'une attention particulière.
%Ces établissements se répartissent de la façon suivante :
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\cline{3-6}
% \multicolumn{2}{c|}{}&\multirow{2}{1.8cm}{Non classés}&\multicolumn{3}{c|}{Classement Tiare}\\\cline{4-6}
% \multicolumn{2}{c|}{}&                                & 1 tiare& 2 tiare& 3 tiare\\
%\hline
%\multirow{5}{2ex}{\rotatebox{90}{Subdivision}}
%&Îles du Vent& 68& 1 &7& 10\\\cline{2-6}
%&Îles Marquises& 18& 9& 13& 9\\\cline{2-6}
%&Îles Sous-le-Vent& 57& 9& 4 &1\\\cline{2-6}
%&Îles Australes& 11& 2& 2& 1\\\cline{2-6}
%&Tuamotu-Gambier& 62& 3& 4& 3\\\hline
%\end{tabular}
%
%\smallskip
%
%Source : www.servicedutourisme.gov.pf
%\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le pourcentage d'établissements non classés parmi l'ensemble des établissements.
Il y a $68 + 18 + 57 + 11 + 62 = 216$ établissements non classés sur un total de 294 établissements, soit $\dfrac{216}{294} \times 100 \approx 73,5\,\%$. 
\item %L'affirmation \og  Un huitième des établissements de la subdivision des îles Marquises est classé 2 tiare \fg est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

Il y a $7 + 13 + 4 + 2 + 4 = 30$ établissements classés 2 tiare soit $\dfrac{30}{294}\times 100 \approx 10,2\,\%$.

Or $\dfrac{1}{8} = \dfrac{125}{\np{1000}} = 12,5\,\%$ : l'affirmation est fausse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{On ne s’intéresse dans cette partie qu’aux 78 établissements classés selon le critère tiare.}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau fourni \textbf{en annexe (à rendre avec la copie)}.
Voir à la fin.
\item %L'ISPF, Institut de la Statistique de la Polynésie Française, réalise chaque année des enquêtes de fréquentation hôtelière. En août 2013, un questionnaire a été complété par chacun de ces 78 établissements.

%On prélève au hasard un de ces questionnaires, chacun ayant la même probabilité d'être choisi.
%
%On définit les deux évènements suivants :
%\begin{description}
%\item[] T : \og le questionnaire est celui d’un établissement classé 3 tiare \fg  ;
%\item[] V : \og le questionnaire est celui d'un établissement de la subdivision des îles du Vent \fg.
%\end{description}
%\end{enumerate}
%
%Les cinq questions suivantes constituent un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.
%
%\emph{Pour chaque question, on donnera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
%Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Aucun point n'est retiré pour une absence de réponse ou
%pour une réponse inexacte. Aucun point n’est attribué en cas de réponses multiples.}
	\begin{enumerate}
		\item  La probabilité de l'évènement $T$ est : $\dfrac{24}{78} = \dfrac{8}{26} = \dfrac{4}{13}$. 
%\begin{center}
%$\dfrac{1}{3} \hspace{3cm} \dfrac{4}{13}\hspace{3cm} \dfrac{1}{24}\hspace{3cm} \dfrac{24}{294}$ 
%\end{center}
		\item Il y a 10 établissements classés 3 tiare dans les Îles du Vent, donc  la probabilité de l'évènement $ \text{T} \cap \text{V}$ est : $\dfrac{10}{78} = \dfrac{5}{39}$.
%\begin{center}
%$\dfrac{5}{9}\hspace{3cm} \dfrac{5}{12}\hspace{3cm} \dfrac{5}{39} \hspace{3cm} \dfrac{5}{147}$
%\end{center}
		\item %La probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un établissement classé 3 tiare ou celui d'un établissement de la subdivision des îles du Vent est :
Il y a 18 établissements dans les Îles du Vent et 14 classés 3 tiare qui ne sont pas dans les Îles du Vent ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{18 + 14}{78} = \dfrac{32}{78} = \dfrac{16}{39}$. 
%\begin{center}
%$\dfrac{7}{13}\hspace{3cm}\dfrac{5}{39}\hspace{3cm}\dfrac{16}{39}\hspace{3cm}\dfrac{5}{13}$
%\end{center}
		\item %La probabilité que le questionnaire choisi ne soit ni celui d'un établissement classé 3 tiare ni celui d'un établissement de la subdivision des îles du Vent est :
%\begin{center}
%$\dfrac{23}{39}\hspace{3cm}\dfrac{34}{39}\hspace{3cm}\dfrac{6}{13}\hspace{3cm}\dfrac{57}{78}$
%\end{center}
On cherche la probabilité de l'évènement contraire de l'évènement précédent ; sa probabilité est donc égale à $1 - \dfrac{16}{39} = \dfrac{39 - 16}{39} = \dfrac{23}{39}$
		\item %On prélève un questionnaire au hasard parmi ceux qui proviennent des établissements classés 3 tiare.

%On suppose que chaque questionnaire a la même probabilité d'être choisi.

%La probabilité que ce questionnaire soit celui d'un établissement de la subdivision des îles du Vent est :
%\begin{center}
%$\dfrac{5}{27}\hspace{3cm} \dfrac{5}{39}\hspace{3cm} \dfrac{5}{9}\hspace{3cm} \dfrac{5}{12}$
%\end{center}
Sur les 24 établissements classés 3 tiare, 10 sont dans les Îles du Vent ; la probabilité est donc égale à : $\dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2}\hfill(12 points) }

\medskip
%Le site de l'Institut de la Statistique de la Polynésie Française fournit des informations concernant la
%fréquentation hôtelière des établissements de la Polynésie française \textbf{de type international}. Ces établissements sont classés de deux à cinq étoiles. On s’intéresse aux données disponibles depuis 2007.
%
%\medskip

\textbf{Partie A : chambres d’hôtel de type international proposées à la location}

\medskip

%\np{1060379} chambres étaient proposées à la location pour l'année 2012.
%
%Pour l'année 2013, il y en avait \np{969444}.
%
%Calculer le taux d'évolution, en pourcentage, de 2012 à 2013, du nombre de chambres proposées à la %location.
Le taux d'évolution est : $\dfrac{\np{969444} - \np{1060379}}{\np{1060379}} = \dfrac{\np{90935}}{\np{1060379}} = - 0,0857$ soit environ $- 8,6\,\%$.
\medskip

\textbf{Partie B : taux d’occupation des hôtels de type international}

\medskip

%On a extrait des données disponibles le tableau ci-dessous qui donne, en pourcentage, le taux d’occupation des hôtels entre 2009 et 2013. Les années 2007 et 2008 correspondraient aux rangs 1 et 2.
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabular}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|}}\hline
%\centering Année 		&2009 	&2010	& 2011	& 2012 	&2013\\\hline
%Rang de l'année : $x_i$ &3 		&4		& 5		& 6 	&7\\\hline
%Taux d’occupation : $y_i$
%(en pourcentage)		&46,5	& 52,3	& 53,7	& 56,8	& 60,4\\\hline
%\multicolumn{3}{r}{\emph{Source :ISPF - Enquête de fréquentation hôtelière }}
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%On donne \textbf{en annexe} le nuage de points associé à ce tableau.
%
%On note G le point moyen de ce nuage et B le point de coordonnées (7~;~60,4).
%
%On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite (GB).

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du point G.
On a $\dfrac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = \dfrac{25}{5} = 5$ et $\dfrac{46,5 + 52,3 + 53,7 + 56,8 + 60,4}{5} = \dfrac{269,7}{5} = 53,94$.

Donc G(5~;~53,94).
\item %Déterminer une équation de la droite (GB), puis la tracer sur le graphique de \textbf{l’annexe (à rendre avec la copie)}.
Une équation réduite de la droite (GB) est $y = ax + b$. On doit avoir :

$\left\{\begin{array}{l c l}
53,94&=5a + b\\
60,4&=7a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $\: (par différence) $60,4 - 53,94 = 7a - 5a \iff 6,46 = 2a \iff a = 3,23$ et en remplaçant par exemple dans la première équation :

$53,94 = 5 \times 3,23 + b \iff b = 53,94 - 16,15 = 37,79$.

Une équation de la droite (GB) est donc $y = 3,23x + 37,79$.
\end{enumerate}
\item %On admet que cet ajustement reste valide jusqu’en 2017 inclus.

%Estimer, à l’aide de cet ajustement, le taux d’occupation des hôtels de type international pour 2017.
2017 correspond au rang 11. L'ajustement donne pour $x = 11$, 

$y = 3,23 \times 11 + 37,79 = 35,53 + 37,79 = 73,32$.

En 2017 le taux d'occupation devrait être de 73,3\,\% environ.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip

%L'ISPF a aussi étudié l'évolution du revenu moyen annuel pour une chambre louée dans les hôtels de type
%international, en Polynésie française entre 2007 et 2013. On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle
%[1~;~7] et dont la courbe représentative est donnée en \textbf{annexe}, modélise cette évolution.
%
%Ainsi, pour tout entier $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~7], $f(x)$ est le revenu moyen annuel, \textbf{en milliers de
%francs CFP}, pour une chambre louée au cours de l'année $(2006 + x)$.
%
%Le franc CFP, ou franc Pacifique, est la monnaie utilisée en Polynésie française.
%
%Son cours est fixe par rapport à l'euro : \textbf{1 franc CFP vaut 0,00838 euros}.
\begin{enumerate}
\item  %Pour répondre aux questions suivantes, certaines informations peuvent être obtenues par lecture graphique sur l'\textbf{annexe}. \emph{On laissera apparents sur le graphique tous les tracés utiles.}

	\begin{enumerate}
		\item %Quel était, \textbf{en euros}, le revenu moyen pour une chambre louée en 2013 ?
2013 correspond au rang $x = 7$. On lit sur la figure un revenu moyen d'environ 30 milliers de francs CFP, soit $\np{30000} \times \np{0,00838} = 251,40~$\euro.
		\item %Pour quelles années le revenu moyen pour une chambre louée a-t-il été inférieur à 210 euros ?
210 euros correspondent à $\dfrac{210}{\np{0,00838}} = \np{25509,7}$ soit environ 25,5 milliers de francs CFP.

On trace la droite horizontale d'équation $y = 25,5$. Elle coupe la courbe en deux points : l'un d'abscisse inférieure à 2 et l'autre d'abscisse supérieure à 5.

Donc le revenu moyen pour une chambre louée a été inférieur à 210 euros du rang 2 au rang 5, soit de 2008 à 2011.
	\end{enumerate}
\item %La fonction $f$, dont la représentation graphique est donnée en annexe, est définie sur l'intervalle [1~;~7]
par :

\[ f(x)= 0,5x^2 - 3,4x + 29,2.\]

%On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle [1~;~7].

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
Sur l'intervalle [1~;~7], on a $f'(x) = 2 \times 0,5x - 3,4 = x - 3,4$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle [1~;~7].
$f'(x) > 0 \iff x - 3,4 > 0 \iff x > 3,4$ : $f'(x) > 0$ sur ]3,4~;~7] ;

$f'(x) < 0 \iff x - 3,4 < 0 \iff x < 3,4$ : $f'(x) < 0$ sur [1~;~3,4[ ;

$f'(3,4) = 0$
		\item %En s’appuyant sur l’étude de signe précédente, déterminer en quelle année le revenu moyen par chambre louée a été minimal. Justifier.
Du signe de $f'(x)$ trouvé à la question précédente, on en déduit que la fonction $f$ est décroissante sur [1~;~3,4[ et croissante sur ]3,4~;~7]  : il y a donc un minimum en 3,4 égal à :

$f(3,4) = 0,5 \times 3,4^2 - 3,4 \times 3,4 + 29,2 = 23,42$.

Mais on ne considère que des valeurs entières pour $x$.

$f(3) = 23,5$ et $f(4) = 23,6$.

Conclusion : le revenu moyen par chambre louée a été minimal au rang 3, soit en 2009 avec un revenu moyen de \np{23500}~francs CFP.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie D}

\medskip

%À l’aide des trois parties précédentes, évaluer le chiffre d’affaires en euros de l’année 2013 \textbf{pour l'ensemble des chambres louées} dans les hôtels de type international en Polynésie française.
En 2013,  il y en avait \np{969444} chambres disponibles.

D'après la partie B le taux d'occupation pour cette année 2013 a été d'après le modèle :

$y = 3,23 \times 7 + 37,79 = 60,4$.

D'après la partie C le revenu moyen par chambre louée en 2013 a été d'après la courbe :

$f(7) =   0,5 \times 7^2 - 3,4 \times 7 + 29,2 = 29,9$.

Conclusion : le chiffre d’affaires  en francs CFP pour l'année 2013 a été de :

$\np{969444}\times 0,604 \times 29,9 \approx \np{17507770,9}$, soit finalement en euros :

\[\dfrac{\np{17507770,9}}{\np{0,00838}} \approx \np{2089232800}.\]

(environ 2,09 milliards d'euros).
\newpage
\begin{flushright}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{flushright}

\begin{center}

\textbf{\textsc{Exercice  1} (Partie B)}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabular}[]{|*{6}{c|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c}{}	&\multicolumn{3}{|c|}{Classement Tiare}&\multicolumn{1}{c}{}\\\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}	& 1 tiare			& 2 tiare	& 3 tiare& \multicolumn{1}{c|}{Total}\\\hline
\multirow{3}{2ex}{\rotatebox{90}{Subdivision}}&Îles du Vent&1&7&10&18\\\cline{2-6}
						&Îles Sous-le-Vent	&9	&4	&1&14 \\\cline{2-6}
						&Autres				&14	&19	&13&46\\  \hline
\multicolumn{1}{c|}{}	&Total				&24	&30	&24&78\\\cline {2-6} 
\end{tabular}

\vspace{0.75cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} (Partie B)}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptscriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,35)
\multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,31.5)}
\multido{\n=0+1}{32}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.1,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=45]{->}(0,0)(0,0)(12.8,31.9)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](3,1.5)(4,7.3)(5,8.7)(6,11.8)(7,15.4)
\psdots[dotangle=45,dotscale=1.,linecolor=red](5,8.94)(7,15.4) \uput[u](5,8.94){\red G}
\uput[u](7,15.4){\red B}
\uput[ul](0,31){\scriptsize $y$}\uput[ur](0,31){\scriptsize taux de remplissage en \%}
\uput[u](12.2,-0.05){\scriptsize $x$  rang de l'année}
\uput[dr](0,0){\scriptsize $0$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{3}{11}{3.23 x mul 7.21 sub} 
\end{pspicture}

\vspace{0.75cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2}(Partie C)}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptscriptstyle,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.8,8.5)
\multido{\n=0+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8.2)}
\multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.1,\n)(8.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=22,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.7,-0.4)(8.6,8.48)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.95pt,plotpoints=10000]{1}{7}{x x mul 0.5 mul x 3.4 mul sub 7.2 add}
\uput[ul](0,8.2){\scriptsize $y$}\uput[dr](0,8.4){\scriptsize revenu moyen en milliers de francs CFP}
\uput[d](8.2,0.05){\scriptsize $x$}\uput[u](8.2,-0.05){\scriptsize rang de l'année}
\uput[dr](0,0){\scriptsize $0$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,ArrowInside=->](7,0)(7,7.9)(0,7.9)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=cyan](0,3.5)(8,3.5)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-2.5)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.05pt]{->}(0,0)(-0.25,-2.5)(6,7)
 \multido{\n=0+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,6.5)}
 \multido{\n=-2.5+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(5.5,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{5.2}{x ln 1 sub x 2 mul mul}
\uput[u](2,-2){$\mathcal{C}_g$}
 \pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=violet]{
\psline[linewidth=0.1pt](3,0)(3,0.59167)
\psline[linewidth=0.1pt] (5,6.0944)(5,0)
}