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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Polynésie septembre 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.}
%
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
%
%\medskip
% 
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point Chaque réponse fausse retire $0,5$~point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\begin{center}
%Aucune justification n'est demandée.
%\end{center}
%Recopier et compléter le tableau ci-dessous en inscrivant pour chaque question la lettre a, b ou c correspondant à la réponse que vous pensez être correcte.
% 
%\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question	&1	&2	&3	&4	&5A	&5B	&5C	&5D\\ \hline
Réponse		&b	&a	&c	&b	&c	&a	&b	&b\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Les solutions de l'inéquation $3x + 2 \geqslant  9x -16$ sont :
$3x + 2 \geqslant  9x - 16 $ soit $18 \geqslant 6x$ ou $3 \geqslant x$. Réponse b.
%	\begin{enumerate}
%		\item tous les nombres supérieurs ou égaux à 3
%		\item  tous les nombres inférieurs ou égaux à 3
%		\item  tous les nombres inférieurs ou égaux à $- 3$
%	\end{enumerate}
\item  %Dans une classe de 36 élèves, 32 sont allés à l'étranger, dont 16 en Angleterre, 18 en Espagne et 4 dans ces deux pays. On choisit au hasard un élève de cette classe. La probabilité pour qu'il soit allé seulement en Angleterre est :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{7}{18}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{4}{9}$\\
%\end{tabularx}
Sont allés seulement en Angleterre $16 - 4 = 12$ ; la probabilité est donc égale à 
$\dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$. Réponse a.
\item  On a $f'(x) = - \dfrac{4 \times 2}{(2x - 1)^2} = - \dfrac{8}{(2x - 1)^2}$. Réponse c.
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~10] par $f(x) = \dfrac{4}{2x - 1}$. La fonction	 dérivée $f'$ est définie par :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}$f'(x) = \dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{12x + 5}{(2x - 1)^2}$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{-8}{(2x - 1)^2}$\\
% \end{tabularx}


\item  A $= \dfrac{3\times 10^6 - 0,25 \times 10^5}{0,25} = \dfrac{30\times 10^5 - 0,25\times 10^5}{0,25} = \dfrac{29,75\times 10^5}{0,25} = 119 \times 10^5 = 1,19\times 10^7$. Réponse b.
%Le nombre A $= \dfrac{3\times 10^6 - 0,25 \times 10^5}{0,25}$ s'écrit sous la forme :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}$2,9 \times 10^6$&\textbf{b.~~}$1,19 \times 10^7$&\textbf{c.~~}$2,9^6$\\
% \end{tabularx}

\item  ~%Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~5]$, dont on donne la courbe représentative ci-dessous. Répondre aux questions A, B, C et D.
\end{enumerate}
 
%\medskip
% 
%\begin{center}\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-6,-6)(9,6)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(-6,-6)(9,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-6)(9,6)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{x 3 exp 10 div x dup mul 3 mul 10 div sub 18 x mul 10 div sub 4 add}
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
 \medskip
 
\textbf{A.} %Sur l'intervalle [0~;~2], la fonction est :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}négative&\textbf{b.~~}croissante&\textbf{c.~~}décroissante\\
%\end{tabularx} 
La fonction est décroissante sur [0~;~2]. Réponse c.

\textbf{B.} %L'inéquation $f(x) \leqslant  0$ a pour ensemble de solutions :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}[2 ; 5]&\textbf{b.~~}$[-1,6~;~3,6]$&\textbf{c.~~}$[-3~;~0]$\\
%\end{tabularx} 
La fonction est négative sur [2~;~5]. Réponse a.
 
\textbf{C.} %L'équation $f(x) = 0$ a :\\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}une solution&\textbf{b.~~}deux solutions &\textbf{c.~~}trois solutions\\
%\end{tabularx}
La courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisse 2 et 5. Réponse b. 

\textbf{D.}  %Le nombre dérivé $f'(0)$ est :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}positif&\textbf{b.~~}négatif&\textbf{c.~~}égal à zéro\\
%\end{tabularx}
En (0~;~4), la tangente a une pente négative : le nombre dérivé $f'(0)$ est négatif. Réponse b.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ~;~ 10] par :

\[f(x) = x\text{e}^{-0,25x} + 2.\]

%On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que :

%\[f'(x) = \text{e}^{-0,25x}(1 -  0,25x).\]
En dérivant le produit :

$f'(x) = \text{e}^{-0,25x} + x \times (- 0,25) \text{e}^{-0,25x} = \text{e}^{-0,25x}(1 -0,25x)$.
\item %Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~10].
On sait que quel que soit le réel $x$, $\text{e}^{-0,25x} > 0$, donc :

$f'(x) = 0$ si $1 - 0,25x = 0$ soit $1 = 0,25x$ ou $x = 4$.

De même $f'(x) > 0$ si $1 - 0,25x > 0$ ou  $1 > 0,25x$ et enfin $4 > x$ ou $x < 4$.

Et aussi $f'(x) < 0$ si $x > 4$.

Conclusion :

$\bullet~~$$f'(x) > 0$ sur [0~;~4] ;

$\bullet~~$$f'(4) = 0$ ;

$\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur [4~;~10] ;
\item  ~%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] (\emph{les valeurs figurant dans ce tableau seront données sous forme exacte}).
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){0} \uput[u](4,2.4){4} \uput[u](6.7,2.4){10}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2.5,2.25){+}\rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.5,0){2}\uput[d](4,2){$2 + 4\text{e}^{-1}$}\uput[u](6.3,0){$2 + 4\text{e}^{-2,5}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (\emph{on donnera des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près})

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	& 1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
$f(x)$	&2	&2,78	&3,21	&3,42	&3,47	&3,43	&3,34	&3,22	&3,08	&2,95	&2,82\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~%Sur une feuille de papier millimétré, construire la courbe 
%$\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 1~cm représente une unité,
%\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 10~cm représentent une unité et on graduera à partir de 2.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(10.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2,Dy=.5]{->}(0,0)(10.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2,Dy=.5](0,0)(10.5,1.5)
\psdots(0,0.1)(1,0.75)(2,1.25)(3,1.38)(4,1.5)(5,1.4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7,linecolor=blue](0,0)(1,0.78)(2,1.21)(3,1.42)(4,1.47)(5,1.43)(6,1.34)(7,1.22)(8,1.08)(9,0.95)(10,0.82)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 2.71828 0.25 x mul exp div}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1)(8.6,1)(8.6,0)
\multido{\n=0+1,\na=2001+1}{11}{\uput[d](\n,-0.15){\na}}
\uput[r](0,1.5){milliers d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B -Application}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
%
%Dans un hôpital, les dépenses de téléphone par année sont données dans le tableau ci-dessous pour six années consécutives.
%
%On désigne par $x_{i}$ le rang de l'année et par $y_{i}$ le montant  des dépenses  de téléphone en milliers d'euros pour l'année de rang
%$x_{i}$.
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année		&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\ \hline
%$x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
%$y_{i}$	&2,1	&2,75	&3,25	&3,38	&3,5	&3,4\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le repère précédent.
Voir ci-dessus.
\item %L'observation du graphique précédent nous permet d'admettre qu'une bonne estimation du montant en milliers d'euros des dépenses de téléphone pour l'année de rang $x$ est donnée par la valeur de $f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
	\begin{enumerate}
		\item  %Estimer par un calcul le montant des dépenses de téléphone en 2008.
2008 correspond à $x = 7$, donc $f(7) = 7\text{e}^{-0,25 \times 7} + 2 \approx 3,216$~milliers d'euros soit environ \np{3216}~\euro.
		
On peut estimer qu'en 2008 les dépenses de téléphone seront de \np{3216}~\euro.
		\item  %Estimer, par une méthode graphique, à partir de quelle année la dépense redeviendra inférieure à \np{3000}~euros (\emph{on fera figurer les tracés utiles sur le graphique.})
On voit sur le graphique que $f(x) \leqslant 3$, lorsque $x \geqslant 8,6$, donc que les dépenses redeviendront inférieures à \np{3000}~euros à partir de $x = 9$ qui correspond à l'année 2010.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}