%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-eucl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Corrigé Polynésie juin 2006}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{DuréŽe : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat S Polynésie~\decofourright\\juin 2006}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Si $z\neq -1,~z = \dfrac{z- 1}{z + 1} \iff z^2 + z = z - 1 \iff z^2 = - 1 \iff z = \text{i}~\text{ou}~z = - \text{i}$. Les points invariants par $f$ sont les deux points d'affixes $\text{i}$ et $- \text{i}$ \item \begin{enumerate} \item $z\neq -1,~(z' - 1)(z + 1) = \left(\dfrac{z - 1}{z + 1} - 1 \right)(z + 1) = z - 1 - z - 1 = - 2$. \item L'égalité de ces deux complexes entra\^{\i}ne l'égalité de leurs modules soit $\left(z' - 1)(z + 1)\right| = |- 2| \iff |z' - 1| \times |z + 1| = 2\iff \text{A}M' \times\text{B}M = 2$. Même chose pour les arguments : arg$[(z'-1)(z + 1)] = \text{arg}(-2) \iff$ $\text{arg}(z' - 1) + \text{arg}(z + 1) = \pi \quad [2\pi] \iff \left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{B}M}\right) = \pi \quad [2\pi]$. \end{enumerate} \item $M$ appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2 si et seulement si BM = 2 $\iff |z - (-1)| = 2 \iff |z + 1| = 2$. En reportant dans la première relation trouvée à la question précédente, il suit que $2 \text{A}M' = 2 \iff \text{A}M' = 1$ qui signifie que $M'$ appartient au cercle (C$'$) de centre A et de rayon 1. \item \begin{enumerate} \item $p + 1 = - 2 + 1 + \text{i}\sqrt{3}$. D'où $|p + 1|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Longrightarrow |p + 1| = 2$. Donc $p + 1 = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$ \item On vient de trouver que $|p + 1| = 2 \iff \text{BP} = 2$ qui signifie que P appartient au cercle (C). \item Soit P$_{1}$ le point d'affixe $p + 1$. Les points P$_{1}$ et O sont les images respectives des points P et B dans la translation de vecteur $\vect{u}$. (OBPP$_{1}$) est donc un parallélogramme. Donc les vecteurs $\vect{\text{OP}_{1}}$ et $\vect{\text{BP}}$ ont la même affixe, d'où le même argument $\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ d'après la a. et le même module 2. D'autre part la construction classique (opposé du conjugué) montre que P et Q sont symétriques autour de l'axe $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$ et B et A le sont aussi. Donc [BP] et[AQ] sont symétriques dans la symétrie autour de $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$. Donc par supplémentarité $\left(\vect{u},~\vect{\text{AQ}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$. Or d'après 2. b. $\left(\vect{u},~\vect{\text{BP}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{AP}'}\right) = \pi$. Conclusion : le point P$'$ appartient à la droite (AQ), ou encore les points A, P$'$ et Q sont alignés. \item On en déduit la construction simple de P$'$ : \begin{itemize} \item Construire Q symétrique de P autour de l'axe des ordonnées ; \item Le segment [AQ] coupe le cercle (C) en P$'$. \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \rput(1,0){$\times$} \rput(-1,0){$\times$} \uput[dr](1,0){A} \uput[dl](-1,0){B} \uput[dr](0,0){O}\uput[ul](-2,1.732){P} \pscircle(-1,0){2} \pscircle(1,0){1} \uput[u](-1,1.732){P$_{1}$} \psline[linestyle=dashed](-2,1.732)(2,1.732)(-2,-1.732)(-2,0)(-2,1.732)(0,1.732) \psline(-2,1.732)(-1,0)(-1,1.732) \psline(2,1.732)(1,0) \uput[ul](2,1.732){Q} \SpecialCoor \psline(0;0)(2;120) %\psline[linestyle=dashed](2;120)(2;-120)(2;60)(1;0) %\psline[linestyle=dashed](2;120)(2;60) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \begin{enumerate} \medskip \item[\textbf{Proposition}]\textbf{1 :} Faux. Avec $M(x~;~y~;z),~\vect{\text{A}M} \cdot \vect{\text{BC}} = 0 \iff 2x - 4y + 0(x - 2) = 0 \iff 2x - 4y = 0 \iff x - 2y = 0$ qui est l'équation d'un plan. Or les coordonnées (1~;~2~;~0) du point I ne vérifient pas cette équation. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{2 :} Vrai. $\left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\| \iff \left\|2\vect{M\text{I}}\right\| = \left\|\vect{\text{CB}}\right\| \iff \text{I}M = \dfrac{1}{2}\text{BC} \iff M$ appartient à la sphère de centre I et de diamètre [BC]. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{3 :} Faux. En prenant comme base de ce tétraèdre le triangle rectangle OBC, [OA] est une hauteur. Le volume est donc V $ = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}(\text{OBC}) \times \text{OA} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \times 2 = \dfrac{8}{3}$. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{4 :} Vrai Les coordonnées des trois points vérifient bien l'équation donnée. Le vecteur $\vect{\text{OH}}\left(\begin{array}{l}\frac{8}{9}\\\frac{4}{9} \frac{8}{9}\\ \end{array}\right) = \dfrac{4}{9}\left(\begin{array}{l}2\\1\\2\\ \end{array}\right)$ ; il est donc bien normal au plan (ABC). Enfin les coordonnées de H vérifient bien l'équation du plan (ABC). \item[\textbf{Proposition}]\textbf{5 :} Vrai. De $\vect{\text{OG}} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}\right)$ on en déduit que G $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{4}{3}~;\dfrac{2}{3}\right)$ puis que $\vect{\text{AG}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{r}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\\-\frac{4}{3} \end{array}\right)$ qui est colinéaire au vecteur $\left(\begin{array}{r}1\\2\\- 2 \end{array}\right)$. Une équation paramétrique de la droite (AG) est donc : \[\left\{\begin{array}{l} x = 0 + 1 \times t\\ y = 0 + 2 \times t\\ z = 2 + (- 2) \times t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x = t\\ y = 2 \times t\\ z = 2 - 2 t \end{array}\right.~\text{avec}~t \in \R \] \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{Proposition}]\textbf{1 :} Vrai Par récurrence : \emph{Initialisation} $3 | 2^{2\times 0} - 1 \iff 3 | 0$. Vrai : c'est vrai au rang $0$. \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $3 | 2^{2n} - 1 \iff ~\text{il existe}~k \in \R~\text{tel que}~2^{2n} - 1 = 3k \iff 2^{2n} = 3k + 1$. Or $2^{2(n+1)} = 2^{2n+2} = 2^{2n} \times 2^2 = 4\times 2^{2n} = 4(3k + 1) = 12k + 4$. Finalement $2^{2(n+1)} - 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)$ qui est un multiple de 3. Autre méthode : $2^2 \equiv 1 \mod 3$, d'où $\left(2^2\right)^n \equiv 1 \mod 3 \iff 2^{2n} \equiv1 \mod 3 \iff 2^{2n} - 1 \equiv 0 \mod 3 \iff 2^{2n} - 1$ est un multiple de 3. C'est vrai au rang $0$ et si c'est vrai au rang $n$, c'est vrai au $n + 1$, donc on a démontré par le principe de récurrence que pour tout $n \in \N$, \: $2^{2n} - 1$ est un multiple de 3. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{2 :} Faux $x^2 + x \equiv 0 \mod 6 \iff x(x + 1) \equiv 0 \mod 6$. Or les entiers $x$ et $x + 1$ sont consécutifs ; il en résulte donc que ou $x \equiv 0 \mod 3$ (si $x + 1$ est pair) , ou $x + 1 \equiv 0 \mod 3$ (si $x$ est pair) et dans ce dernier cas $x \equiv 0 \mod 3$ est faux. Exemple : $2^2 + 2 \equiv 0 \mod 6$ et $2 \equiv 0 \mod 3$ est faux. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{3 :} Faux Un couple solution est suggéré : (4~;~9) puisque $12 \times 4 - 5 \times 9 = 3$. $\left\{\begin{array}{l c l} 12x - 5y &=&3\\ 12 \times 4 - 5 \times 9&=&3\\ \end{array}\right. \Longrightarrow ~\text{(par différence)}~12(x - 4) -5(y - 9) = 0 \iff$ $12(x - 4) = 5(y - 9) ~(1)$. Donc $5$ étant premier avec 12 divise $x - 4$ ; il existe donc $\alpha$ tel que $x - 4 = 5\alpha \iff x = 4 + 5\alpha$ et en remplaçant dans l'égalité (1), $y - 9 = 12\alpha \iff y = 9 + 12\alpha$. Si $\alpha$ est impair on n'obtient pas les couples solutions proposés. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{4 :} Si $d$ est le PGCD$(a~;~b)$ alors il existe deux entiers$a'$ et$b'$ tels que $a = da'$ et $b = db'$. Le PPCM$(a~;~b) = a'b'd$. En remplaçant dans l'énoncé $a'b'd - d = 1 \iff d\left(a'b' - 1\right) = 1$. Cette égalité prouve que $d$ divise 1, donc que $d = 1$. On a donc PGCD$(a~;~b) = 1$ et PPCM$(a~;~b) = ab$. L'égalité s'écrit donc : $ab - 1 = 1 \iff ab = 2$. Les seuls couples solutions sont (1 ; 2) et (2 ; 1) et le seul avec $a < b$ est le couple(1~;~2). \item[\textbf{Proposition}]\textbf{5 :} Vrai On a par hypothèse $M = 100a + 10b + c = 27k,~(1)~k \in \N$et$N = 100b + 10c + a$. Donc $M - N = 99a - 90b - 9c = 9(11a - 10b - c)$. Or (1) $\Longrightarrow - 10b - c = 100a - 27k$. Donc $M - N = 9(11a + 100a - 27k) =$ $9(11a - 27k) = 9(3\times 37a - 3 \times 9k) = 27(37a - 9k)$ qui est bien un multiple de 27. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $318 + 110 = 428$ personnes sur $\np{1000}$ ont eu au moins un retard le premier mois ; la probabilité est donc égale à $0,428$. \item Sur les $572$ personnes n'ayant pas eu de retard le premier mois, $250 + 60 = 310$ ont eu au moins un retard le mois suivant ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{310}{572} = \dfrac{155}{286}.$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La lecture du tableau permet de dire que $p_{1} = 0,512,~q_{1} = 0,318$ et $r_{1} = 0,110$. \item On dresse l'arbre suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$A_{n+1}$}\taput{$0,46$} \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{$0,54$} } \pstree{\TR{$B_{n}$}\tbput{$q_{n}$}} { \TR{$A_{n+1}$}\taput{$0,66$} \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{$0,34$} } \pstree{\TR{$C_{n}$}\tbput{$r_{n}$}} { \TR{$A_{n+1}$}\taput{$0,66$} \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{$0,34$} } } \end{center} On a donc \[p_{n+1} = p\left(A_{n+1}\right) = p_n\times p_{A_{n}}\left(A_{n+1}\right) + q_n\times p_{B_{n}}\left(A_{n+1}\right) + r_n\times p_{C_{n}}\left(A_{n+1}\right) =\] soit $p_{n+1} = 0,46p_{n} + 0,66q_{n} + 0,66r_{n}$. \item Or $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$. D'où $p_{n+1} = 0,46p_{n} + 0,66(1 - p_{n}) = -0,2p_{n} + 0,66$. \item $u_{n} = p_{n} - 0,55 \Longrightarrow u_{n+1} = p_{n+1} - 0,55 = -0,2p_{n} + 0,66 - 0,55 =$ $- 0,2(u_{n} + 0,55) + 0,11 = -0,2u_{n}$, égalité qui montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$. \item Comme la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$ est $-1 < - 0,2 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to+\infty} u_{n} = 0$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{n \to+\infty} p_{n} - 0,55 = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to+\infty} p_{n} = 0,55$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On sait que $F'(x) = f(x) \leqslant 0 \iff f$ est croissante sur $\R$. \item Sur $[2~;~+\infty[$, \:$f(x) \geqslant 4\text{e}^{-2}$, d'où $\displaystyle\int_{2} ^3 f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{2} ^x 4\text{e}^{-2}\:\text{d}t \iff F(3) \leqslant 4\text{e}^{-2}$. D'autre part cette intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle [2 ; 3] est positive. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $f(x) = x^2\text{e}^{-x} \Longrightarrow f'(x) = 2x\text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x}(2 - x)$, dérivée qui a le signe du trinôme $x(2 - x)$. Celui-ci est positif entre les racines $0$ et $2$. Les variations sont donc bien celles qui sont indiquées dans le tableau. D'autre part $f(0) = 0$ et $f(2) = 2^2\text{e}^{-2} = 4\text{e}^{-2}$. \item On a $f(x) - g(x) = x^2\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} = \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x}$ qui est du signe du trinôme $x^2 - 1$. Conclusion : $(\mathcal{C})$ est au dessus ($\Gamma$) sauf entre $-1$ et $1$. \end{enumerate} \item La fonction $h$ est la fonction « écart vertical » entre les deux courbes de la question précédente. $H'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} - \left(- x^2 - 2x - 1\right)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(-2x - 2 + x^2 + 2x +1\right) =$ $\text{e}^{-x}\left(x^2 - 1\right)$. \begin{enumerate} \item $H'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} - \left(- x^2 - 2x - 1\right)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(-2x - 2 + x^2 + 2x +1\right) =$ $\text{e}^{-x}\left(x^2 - 1\right)$. Donc $H$ est bien une primitive de $h$. \item $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} f(t)\,\text{d}t - \displaystyle\int_{1}^{\alpha} g(t)\,\text{d}t = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} [f(t) - g(t)]\,\text{d}t = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} h(t)\,\text{d}t = [H(t)]_{1}^{\alpha} = \left(- \alpha^2 - 2\alpha - 1\right)\text{e}^{-\alpha} + 4 \text{e}^{-1}$. \item On a $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\alpha^2}{\text{e}^{\alpha}} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2\alpha}{\text{e}^{\alpha}} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\text{e}^{\alpha}} = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \mathcal{A}(a) = \dfrac{4}{\text{e}}$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(5,16) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=6,gridwidth=0.5pt](0,0)(-3,-1)(5,16) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-1)(5,16) \psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-1.705}{5}{x 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-2.77}{5}{2.71828 x neg exp} \psline[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000](-1.64872,14.13595)(-2.64872,14.13595) \psline[linestyle=dashed](-1.64872,14.13595)(-1.64872,0) \uput[d](-1.64872,0){$x_{P}$} \psline[linestyle=dashed](-2.64872,14.13595)(-2.64872,0) \uput[d](-2.64872,0){$x_{Q}$} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Voir ci-dessus \item On a par définition $PQ = \left|x_{Q} - x_{P}\right| = x_{P} - x_{Q}$ (d'après le graphique pour $x < - 1$). D'autre part par définition : $f(x_{P}) = m$ et $g(x_{Q}) = m$. Donc $f(x_{P}) = g(x_{Q})$. \item Si $PQ = 1$, alors $x_{P} = x_{Q} + 1$. L'égalité précédente $f(x_{P}) = g(x_{Q})$ s'écrit donc : $x_{P}^2\text{e}^{-x_{P}} = \text{e}^{-x_{Q}} \iff \left(x_{Q} + 1\right)^2 2\text{e}^{-x_{Q}- 1} = \text{e}^{-x_{Q}} \iff \left(x_{Q} + 1\right)^2\text{e}^{-1} = 1 \iff \left(x_{Q} + 1\right)^2 = \text{e} \iff x_{Q} + 1 = - \sqrt{\text{e}} \iff x_{P} = - \sqrt{\text{e}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}