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%Corrigé : Michel Fréchet & Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie~\decofourright\\ 10 juin 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\emph{ Commun à tous les candidats.} 

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
\textbf{Prérequis}

\medskip
 
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
 
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.

\medskip
 
\textbf{Questions}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.

Démonstrations par le calcul et par récurrence.
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie B} \end{center}

On considère l'équation (E) : $z^4 = - 4$ où $z$ est un nombre complexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation (E) alors les nombres complexes $- z$ et $\overline{z}$ sont aussi solutions de l'équation (E).

Calculons $(-z)(-z)(-z)(-z)(-z) = z^4 = - 4$, donc $- z$ est aussi solution de l'équation (E).

De même $\overline{z} \times \overline{z} \times\overline{z} \times\overline{z} = \left(\overline{z} \times\overline{z} \right) \times \left(\overline{z} \times\overline{z} \right) = \overline{z^2} \times \overline{z^2}$ (d'après la R. O. C. 2. et toujours d'après la même formule) $= \overline{z^4} = \overline{-4} = - 4$, car $- 4 \in \R$.

Donc $\overline{z}$ est aussi solution de (E).
\item  %On considère le nombre complexe $z_{0} = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire le nombre complexe $z_{0}$ sous forme exponentielle.
$z_{0} = 1 + \text{i}$, donc $\left|z_{0}\right|^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \Rightarrow \left|z_{0}\right| = \sqrt{2}$.

On peut en factorisant écrire :

$z_{0} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) =  \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Vérifier que $z_{0}$ est solution de l'équation (E).
On a $z_{0}^4 = \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \right)^4 = \left(\sqrt{2} \right)^4 \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \right)^4 = 4 \left(\text{e}^{\text{i}\pi}\right) = 4 \times (-1) = - 4$.

$z_{0}$ est bien une solution de l'équation (E).
	\end{enumerate} 
\item  %Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation (E).
D'après la question B. 1. $-z_{0} = - 1 -  \text{i}$ et $\overline{z_{0}} = 1 - \text{i}$ sont aussi solutions ; mais puisque $\overline{z_{0}}$ est solution son opposé $- \overline{z_{0}} = - 1 - \text{i}$ l'est aussi.

Conclusion : $1 + \text{i},~1 - \text{i},~-1 - \text{i}$ et $-1 + \text{i}$ sont solutions de (E).
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie C}  \end{center}

%Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives :
 
%\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}~;~z_{\text{B}} = -1 + \text{i}~;~z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}~\text{et}~z_{\text{D}} = 1 - \text{i}.\]
 
%Soit $r$ la rotation du plan de centre C et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{3}$.

%On appelle E l'image du point B par $r$ et F celle du point D par $r$. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'écriture complexe de la rotation $r$.
D'après le cours l'écriture complexe de la rotation de centre C d'affixe $- 1 - \text{i}$  et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ est :

\[z' - z_{\text{C}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(z - z_{\text{C}} \right) \iff z' = - 1 - \text{i} + \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(z + 1 + \text{i} \right),\]

$z$ étant l'affixe d'un point et $z'$ celle de son image par $r$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'affixe du point E, notée $z_{\text{E}}$, est égale à $- 1 + \sqrt{3}$.
		On a donc $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i} + \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(- 1 + \text{i} + 1 + \text{i} \right) =$
		
$- 1 - \text{i} + \left(\cos \left(-\frac{\pi}{3} \right) + \text{i}\sin \left(-\frac{\pi}{3} \right) \right)\times 2\text{i} = - 1 - \text{i} + \left(\frac{1}{2} - \text{i} \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\times 2\text{i} = - 1 - \text{i} +  \text{i} + \sqrt{3} = z_{\text{E}} = - 1 + \sqrt{3}$. 
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F.
De même $z_{\text{F}} =  1 - \text{i} + \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left( 1 + \text{i} + 1 - \text{i} \right) =$

$1 - \text{i} + \left(\cos \left(-\frac{\pi}{3} \right) + \text{i}\sin \left(-\frac{\pi}{3} \right) \right)\times 2 =  1 - \text{i} + \left(\frac{1}{2} - \text{i} \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\times 2 =  1 - \text{i} - 1 -\text{i}\sqrt{3} = z_{\text{E}} = - \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$.
		\item %Démontrer que le quotient $\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$ est un nombre réel.
$\dfrac{z_{\text{A}}- z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}} = \dfrac{1 + \text{i} + 1 - \sqrt{3}}{1 + \text{i} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)} = \dfrac{ \left[2 + \sqrt{3} + \text{i}\right]\left[1 - \text{i}\left(2 + \sqrt{3}\right)\right]}{\left[1 + \text{i}\left(2 + \sqrt{3}\right) \right]\left[1 - \text{i}\left(2 + \sqrt{3}\right) \right]} = \dfrac{2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}}{1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)^2} = \dfrac{4}{1 + 4 + 3 + 4\sqrt{3}} = \dfrac{4}{8 + 4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} \in \R_{+}.$ 
		\item %Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
$\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$  réel positif  entra\^{\i}ne que arg$\left(\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}} \right) = \left(\vect{\text{FA}},~\vect{\text{EA}} \right) = 0 \quad [2\pi]$ ce qui signifie que les points A, E et F sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 3 points}}

\emph{ Commun à tous les candidats.} 

\medskip

%Des robots se trouvent au centre de gravité O d'un triangle de sommets S, I et X.
% 
%Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  à chaque étape, il passe par l'un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; 
%\item les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; 
%\item les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; 
%\item on ne tient pas compte des passages par O.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\textbf{Partie A - Un seul robot} \end{center}
 
%Un seul robot se trouve au point O.
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à $\dfrac{1}{5}$.
Soient $p(S),~p(I)$ et $p(X)$ les probabilités respectives de passer par les points S, I et X.

On a $p(S) = p(X)$ et $p(S) = 2p(I)$.

Donc $p(S) = p(X) = 2p(I)$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(S) + p(X) + p(I) = 1 \iff 2p(I) + 2p(I) + p(I) = 1 \iff 5p(I) = 1 \iff p(I) = \dfrac{1}{5} = 0,2$.

On en déduit que $p(S) = p(X) =  \dfrac{2}{5}$.
\item %On note E l'évènement : 
% \og au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre \fg.
%  
%Démontrer que la probabilité de E est égale à $\dfrac{4}{125}$.
On a de façon évidente :

$p(E) = p(S)  \times p_{S}(I) \times p_{I}(X) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{125}$.
\item %On note $F$ l'évènement : 
%\og au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque \fg.
La probabilité de $F$ est la somme des probabilités de parcourir les \og chemins \fg{} :

SIX, SXI, ISX, IXS, XIS et XSI.

Comme on l'a vu à la question précédente la probabilité de parcourir l'un de ces chemins est égale à $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{125}$, donc finalement :

$p(F) = 6 \times \dfrac{4}{125} = \dfrac{24}{125} = \dfrac{192}{\nombre{1000}} = 0,192$. 
%Déterminer  la probabilité de $F$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\begin{center}
\textbf{Partie B - Plusieurs robots} \end{center} 

%Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres.
% 
%Quel nombre minimal $n$ de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'événement : 
%\og au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 ?
La probabilité qu'un robot ne passe pas par les sommets S, I et X dans cet ordre est d'après la question précédente : $1 - \dfrac{4}{125} = \dfrac{121}{125}$, donc la probabilité qu'aucun des $n$ robots ne passe par les sommets S, I et X dans cet ordre est $\left(\dfrac{121}{125} \right)^n$ (loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{121}{125}$.

La probabilité qu'au moins un robot passe par les sommets S, I et X dans cet ordre est donc $1- \left(\dfrac{121}{125} \right)^n$.

Il faut donc résoudre :

$1- \left(\dfrac{121}{125} \right)^n \geqslant 0,99 \iff \left(\dfrac{121}{125} \right)^n \leqslant 0,01 \iff \left(\dfrac{121}{125} \right)^n \leqslant 10^{-2}$, soit en prenant les logarithmes de ces nombres positifs, $n\ln \left(\dfrac{121}{125} \right) \leqslant -2 \ln 10 \iff n \geqslant \dfrac{-2 \ln 10}{\ln \left(\dfrac{121}{125} \right)} \approx 141,5$.

Il faut donc au minimum 142 robots.
\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\emph{Enseignement obligatoire} 

\medskip 

%Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item les points A(1~;~1~;~1) et B(3~;~2~;~0) ;  
%\item le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur normal ; 
%\item le plan (Q) d'équation : $x - y + 2z + 4 = 0$ ; 
%\item la sphère (S) de centre A et de rayon AB.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P) est : $2x + y - z - 8 = 0$
Le vecteur $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $(2~;~1~;~-1)$.

Une équation d'un plan normal à $\vect{\text{AB}}$ est donc de la forme $2x + 1y - 1z + d = 0$.

B$(3~;~2~;~0)\in (\text{P}) \iff 2 \times 3 + 2 - 0 + d = 0 \iff d = - 8$.

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{P}) \iff 2x + y - z - 8 = 0$.
\item %Déterminer une équation de la sphère (S).
D'après la question précédente : AB$^2
 = 4 + 1 + 1 = 6 \Rightarrow \text{AB} = \sqrt{6}$.

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{S}) \iff \text{A}M^2 = \text{AB}^2 \iff (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 6 \iff $

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{S}) \iff x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 3 = 0$.

(On peut calculer que les coordonnées de B vérifient cette équation.) 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la distance du point A au plan (Q).
On a $d(\text{A},~(\text{Q})) = \dfrac{\left|1 - 1  + 2 + 4  \right|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.
		 
%En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). 
Comme la distance de A au plan (Q) est égale au rayon de la sphère de centre A et de rayon $\sqrt{6}$, on en déduit que le plan (Q) est tangent à la sphère (S).
		\item  %Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?
On calcule $d(\text{A},~(\text{P})) = \dfrac{\left|2 + 1  - 1 - 8  \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}= \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.

La réponse est donc : oui.
	\end{enumerate} 
\item %On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées $(0~;~2;~-1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants.
(P) a pour vecteur normal $\vect{\text{AB}}(2~;~1~;~-1)$ et (Q) a pour vecteur normal $\vect{p}(1~;~-1~;~2)$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans (P) et (Q) ne sont pas parallèles : ils sont donc sécants

Les vecteurs normaux respectivement à (P) et à (Q) ne sont pas orthogonaux 
		\item  %Soit (D) la droite d'intersection des plans (P) et (Q).
		 
%Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est :

%$\left\{\begin{array}{l c r}
%x&=&t\\
%y &=& 12 - 5t\\
%z& =& 4 - 3t
%\end{array}\right.$  avec $t \in \R$.   
Si $M(x~;~y~;~z) \in (\text{D}) = (\text{P}) \cap (\text{Q}),~(x~;~y~;~z)$ vérifie le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y - z - 8&=&0\\
x - y + 2z + 4&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
2x + y - z - 8&=&0\\
x - y + 2z + 4&=&0
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x		&=&t\\
y - z 	&=&-2t + 8\\
- y + 2z&=&-t - 4
\end{array}\right. \Rightarrow$

$(\text{par somme}) z = -3t + 4$ puis en remplaçant dans la première équation 

$y = z - 2t + 8 = -3t + 4 - 2t + 8 = - 5t +12$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{D}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-3}t\\
y&=&\phantom{-}5t + 12\\
z&=&-3t + 4
\end{array}\right.$.
		\item  %Vérifier que le point A n'appartient pas à la droite (D)
A$(1~;~1~;~1) \in (\text{D}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1&=&t\\
1&=&5t + 12\\
1&=&-3t + 4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1&=&t\\
-\dfrac{11}{5}&=&t\\
1&=&t
\end{array}\right.$

Conclusion : A $\notin  (\text{D}) $.
		\item  %On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D).

%L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
 
%\og Tout point du plan (R) est équidistant des points B et C \fg.
 
%Justifier votre réponse.

\emph{Méthode 1}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] On a $\vect{\text{AB}}(2~;~1~;~-1)$  et $\vect{\text{AC}}(-1~;~1~;~2)$, donc $\text{AB}^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6$ et $\text{AC}^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6$.

$\text{AB}^2 = \text{AC}^2 \Rightarrow \text{AB} = \text{AC}$ : A est donc équidistant de B et de C.
\item[$\bullet~$] Soit $M$ un point de (D), donc $M(t~;~12 - 5t~;~4 - 3t)$ et par conséquent  $\vect{\text{B}M}(t - 3~;~10 - 5t~;~4 - 3t)$ et $\vect{\text{C}M}(t~;~10 - 5t~;~5 - 3t)$.

D'où $\text{B}M^2 = (t - 3)^2 + (10- 5t)^2 + (4 - 3t)^2 = t^2 + 9 - 6t + 100 + 25t^2 - 100t + 16 + 9t^2 - 24t = 35t^2 -130t + 125$.

De même $\text{C}M^2 = t^2 + (10 - 5t)^2 + (5 - 3t)^2 = t^2  + 100 + 25t^2 - 100t + 25 + 9t^2 - 30t = 35t^2 -130t + 125$.

On a $\text{B}M^2 = \text{C}M^2 \Rightarrow \text{B}M = \text{C}M$, donc tout point de (D) est équidistant de B et de C.

Conclusion : tout point de (Q) défini par A et la droite (D) est équidistant de B et de C (plan médiateur de [BC]).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Méthode 2}

Les vecteurs $\vect{u}\left|\begin{array}{l}
1\\
-5\\
-3
\end{array}\right.$ et $\vect{\text{AI}}\left|\begin{array}{l}
-1\\
11\\
3
\end{array}\right.$ sont deux vecteurs directeurs du plan $(R)$. Donc tout point du plan $(R)$ a pour coordonnées:
\[
 M\left\lbrace\begin{array}{l}
x=1-k+l\\
y=1+11k-5l\quad\text{avec}\ k\in \R \ \text{et}\ l\in \R\\
z=1+3k-3l
\end{array}\right.
\]
Calculons, pour tout $k$ et tout $l$, $\text{B}M^2-\text{C}M^2$:

$\text{B}M^2- \text{C}M^2 = (1-k+l-3)^2+(1+11k-5l-2)^2+(1+3k-3l)^2-(1-k+l)^2 -(1+11k-5l-2)^2 -(1+3k-3l+1)^2$

$= (-2-k+l)^2+(1+3k-3l)^2-(1-k+l)^2-(2+3k-3l)^2$

$= (-2-k+l-1+k-l)(-2-k+l+1-k+l)+(1+3k-3l-2-3k+3l)$

$(1+3k-3l+2+3k-3l))$

$= (-3)(-1-2k+2l)+(-1)(3+6k-6l)=3+6k-6l-3-6k+6l = 0$.

Ainsi, tout point $M$ du plan (R) est équidistant de B et C.

\medskip

\emph{Méthode 3} Avec le plan médiateur de [BC] :

On a $\vect{\text{BC}}(-3~;~0~;~-1)$ et le milieu I de [BC] a pour coordonnées I$\left(\frac{3}{2}~;~2~;~- \frac{1}{2}\right)$.

Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient au plan médiateur de [BC] si, et seulement si $\vect{\text{I}M} \cdot  \vect{\text{BC}} = 0 \iff -3\left(x - \frac{3}{2}\right) + 0\times (y - 2) -1\left(z + \frac{1}{2}\right) = 0$

$ \iff -3x - z + 4 = 0$.

Or $-3 \times 1 - 1 + 4 = 0$ est vraie ce qui signifie que A(1~;~1~;1) appartient au plan médiateur ;

De m\^eme $-3t - (4 - 3t) + 4 = 0$ est vraie ce qui signifie que tout point $M$ de (D) appartient au plan médiateur de [BC].

Le point A et tout point de (D) sont donc équidistants de B et de C, donc tout point du plan défini par A et la droite (D) est équidistant de B et de C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\emph{Enseignement de spécialité} 

\medskip 

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} 

%On considère l'équation (E) : $7x - 6y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.
 
\begin{enumerate}
\item %Donner une solution particulière de l'équation (E)
Le couple (1~;~1) est une solution évidente de (E) 
\item %Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation (E).
On a donc :
$\left\{\begin{array}{l c l}
7x - 6y &=& 1\\
7\times 1 - 6\times 1 &=& 1
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par différence}) 7(x - 1) - 6(y - 1) = 0 \quad [1]$

$ \iff 7(x - 1) = 6(y - 1)$.

Comme 7 divise $6(y - 1)$ et est premier avec 6, 7 divise $y - 1$ (Gauss) : il existe donc $k \in \Z$ tel que $y - 1 = 7k \iff y = 7k + 1$ et en reportant dans [1] $7(x- 1) = 6 \times 7k \iff x - 1 = 6k \iff x = 6k + 1$.

On vérifie aisément que tout couple $(6k + 1~;~7k + 1),~k \in\Z$ vérifie l'équation (E).

Les couples solutions sont les couples d'entiers $(6k + 1~;~7k + 1),~k \in\Z$.
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,~m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation : $7^n - 3 \times 2^m = 1$  (F). 

\begin{enumerate}
\item %On suppose $m \leqslant 4$.
 
%Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions. 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Si $m = 1$, (F) s'écrit $7^n - 6 = 1 \iff 7^n = 7$, d'ou $n = 1$. Le couple (1~;~1) est solution.
\item Si $m = 2$, (F) s'écrit $7^n - 12 = 1 \iff 7^n = 13$ or 7 ne divise pas 13 : pas de solution ;
\item Si $m = 3$, (F) s'écrit $7^n - 24 = 1 \iff 7^n = 25$ or 7 ne divise pas 25 : pas de solution ;
\item Si $m = 4$, (F) s'écrit $7^n - 48 = 1 \iff 7^n = 49$ d'où $n = 2$.  Le couple (2~;~4) est solution.
\end{itemize}

\item %On suppose maintenant que $m \geqslant  5$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n  \equiv 1\quad  (\mod 32)$.
Comme $m \geqslant 5$, il existe $p$ tel que $m = 5 + p$.

$(n~;~m)$ vérifie (F) donc $7^n - 3 \times 2^m = 1 \iff 7^n =$

$ 1 + 3 \times 2^{5 + p} = 1 + 3 \times 2^5 \times 2^p = 1 + 3 \times 32 \times 2^p$.

Comme $3 \times 32 \times 2^p \equiv 0 \quad [32]$, il en résulte que $7^n \equiv 1 \quad [32]$.
		\item %En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $n$ est divisible par $4$.
On a $7 \equiv 7 \quad [32]$ ;

$7^2 \equiv 17 \quad [32]$ ;

$7^3 \equiv 23 \quad [32]$ ;

$7^4 \equiv 1 \quad [32]$.

À partir de là on retrouve de manière cyclique 7,~17,~23,~1 comme restes dans la division par 32.

Les puissances de 7 dont le reste dans la division par 32 est égal à 1 sont donc celles dont l'exposant $n$  est un multiple de 4.		 
		\item %En déduire que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n \equiv 1\quad  (\mod 5)$.
D'après les deux questions précédentes si un couple $(n~;~m)$ est solution de (F), alors $7^n \equiv 1 \quad [32]$ et $n$ est un multiple de 4.

Il existe donc $k \in \N$ tel que $n = 4k$, d'où en reportant $7^{4k} \equiv 1 \quad [32] \iff \left(7^4 \right)^k \equiv 1 \quad [32] \iff \np{2401}^k \equiv 1 \quad [32]$.

Or $\np{2401} = 5 \times 480 + 1$, c'est-à-dire que $\np{2401} \equiv 1 \quad [5] \Rightarrow \left(\np{2401}  \right)^k \equiv 1^k \quad [5] \iff 7^n \equiv 1 \quad [5]$ en revenant à l'écriture initiale de la puissance.
		\item %Pour $m \geqslant 5$, existe-t-il des couples $(n,~m)$ d'entiers naturels vérifiant la relation (F) ?
Soit $(n~;~m)$ un couple solution de (F) ; donc 

$\left\{\begin{array}{l c l}
7^n - 3 \times 2^n&=&1\\
7^n &\equiv 1 & [5]
\end{array}\right. \Rightarrow - 3 \times 2^n \equiv 0 \quad [5]$.

Ceci n'est pas possible puisque 5 ne divise ni 2, ni 3.

Conclusion : il n'existe pas de couple solution avec un second terme supérieur à 4
	\end{enumerate} 
\item %Conclure, c'est-à-dire déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).
D'après les questions 1. et 2. les seuls couples solutions de (F) sont  (1~;~1) et (2~;~4).
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 7 points}}

\emph{ Commun à tous les candidats.} 

\medskip

\emph{L'annexe qui suit sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center} 

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $g$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

%\[g(x) = \ln (2x) + 1 - x\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %\emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction.}
 
%Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[1~;~+ \infty[$ une unique solution notée $\alpha$.
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La fonction $x \mapsto \ln (2x)$ est la composée des fonctions  $x \mapsto 2x$ et $X \mapsto \ln (X)$ qui sont dérivables respectivement sur $[1~;~+ \infty[$ et $\ln 2~;~+ \infty[$.

La fonction $g$ somme  de fonctions dérivables sur $[1~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et $g'(x) = \dfrac{2}{2x} - 1 \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$.

Comme $x > 0$, cette dérivée est du signe du numérateur $1 - x$.

Donc $g'(x) = \iff x  = 1$,

$g'(x) < 0 \iff 1 < x$.

Conclusion : la fonction $g$ est décroissante sur $]1~;~+ \infty[$.
\item[$\bullet~$] D'autre part $g(1) = \ln 2 + 1 - 1 = \ln 2$.

En écrivant $g(x) = 2x \left(\dfrac{\ln (2x)}{2x} + \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{2} \right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (2x)}{2x} = 0,{} \displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{1}{2x} = 0$, donc par somme, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln (2x)}{2x} + \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{2}$  puis par produit  de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
\item[$\bullet~$] La fonction $g$ est donc dérivable donc continue sur $[1~;~+ \infty[$ et décroissante de $\ln 2$ à moins l'infini : il existe donc un réel unique $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item  %Démontrer que $\ln (2\alpha) + 1 = \alpha$.
		D'après la question précédente $g(\alpha) = 0 \iff \ln (2\alpha) + 1 - \alpha = 0 \iff \alpha = \ln (2\alpha) + 1$.
\end{enumerate} 
\item %Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$, par 

%$u_{n+1} = \ln \left(2u_{n}\right) + 1$. 
 
%On désigne par $(\Gamma)$ la courbe d'équation $y = \ln (2x) + 1$ dans un repère orthonormal \Oij. Cette courbe  est donnée dans l'annexe. 

	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant la courbe $(\Gamma)$ ,construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.
En allant \og verticalement \fg{} vers la courbe $(\Gamma)$ et \og horizontalement \fg{} vers la droite d'équation $y = x$, on obtient quatre points de cette droite dont les abscisses sont $u_{0},~u_{1},~u_{2},~u_{3}$.

Voir la figure. 
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  3$.
		Par récurrence :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Initialisation : comme $u_{0} = 1$ et $u_{1} = \ln (2) + 1\approx 1,69 < 3$, on a bien :

\[1 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 3.\]

\item[$\bullet~$] Hérédité :

Supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $1 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  3$ (1).

Donc $u_{n+2} = \ln\left(2u_{n+1} \right) + 1$.

Or (1) implique par produit par 2 :

$2 \leqslant  2u_{n} \leqslant  2u_{n+1} \leqslant  6$, puis 

$\ln 2 \leqslant  \ln \left( 2u_{n}\right) \leqslant  \ln \left( 2u_{n+1} \right)\leqslant  \ln 6$ et enfin

$1 + \ln 2 \leqslant  \ln \left( 2u_{n}\right) + 1  \leqslant  \ln \left( 2u_{n+1} \right) + 1 \leqslant  \ln 6 + 1$ soit 

$1 + \ln 2 \leqslant  u_{n+1}  \leqslant  u_{n+2} \leqslant  \ln 6 + 1$.

Comme $1 + \ln 6 \approx 2,791 < 3$, on en déduit finalement que 

$1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant  u_{n+2} \leqslant  3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc démontré par récurrence que pour tout naturel $n,~1 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  3$.
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
		On vient de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et majorée par 3 : elle est donc convergente vers une limite $\ell \leqslant 3$.
		
Comme la fonction $g$ est continue, la fonction définie par $g(x) + x$ l'est aussi et à la limite on a donc :

$\ell = \ln (\ell) + 1$. Or on a vu à la question 1. b. que $\alpha$ était la solution de cette équation.

Conclusion $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

%\[f(x) = (x - 1) \text{e}^{1 - x}\]
 
%On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Cette  courbe est donnée dans l'annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, on pose :
 
%\[F(x) = \int_{1}^x f(t)\:\text{d}t = \int_{1}^x (t - 1)\text{e}^{1 -t}\:\text{d}t\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $F$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$.
		La fonction $f$ produit de fonctions dérivables sur $[1~;~+ \infty[$ est dérivable et par conséquent continue sur cet intervalle.
		
		On sait alors que $F(x)$ est une primitive de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$. On a donc $F'(x) = f(x)$.
		
Or sur $[1~;~+ \infty[,~x - 1 \geqslant 0$ et $\text{e}^{1 - x} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc par produit $f(x) \geqslant 0$.

La dérivée de $F$ étant positive, la fonction $F$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item %Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout réel $x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$,  $F(x) = - x\text{e}^{1 - x} + 1$.
On pose : $\left\{\begin{array}{l c l}
u(t) &=& t - 1\\
v'(t) &=& \text{e}^{1 - t}
\end{array}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
u'(t) &=& 1\\
v(t) &=& - \text{e}^{1 - t}
\end{array}\right.$

Toutes les fonctions étant continues car dérivable sur $[1~;~+ \infty[$, on a par intégration par parties :

$F(x) = \left[- (t - 1)\text{e}^{1 - t}  \right]_{1}^x - \int_{1}^x
-\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = \left[- (t - 1)\text{e}^{1 - t}  \right]_{1}^x - \left[\text{e}^{1 - t} \right]_{1}^x = \left[-t\text{e}^{1 - t} \right]_{1}^x$

$ = - x\text{e}^{1 - x} - (1\text{e}^0) = 1 -  x\text{e}^{1 - x}.$

	\item %Démontrer que sur $[1~;~+ \infty[$, l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ est équivalente à l'équation $\ln (2x) + 1 = x$.
On a $F(x) = \dfrac{1}{2} \iff  1 -  x\text{e}^{1 - x} = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{1}{2} = x\text{e}^{1 - x} \iff$

 (les deux membres étant supérieur à zéro et par croissance de la fonction ln) $\ln \left(\dfrac{1}{2} \right) = \ln \left(x\text{e}^{1 - x} \right) \iff - \ln 2 = \ln x  + (1 - x) \iff$
 
$\ln 2 + \ln x + 1 - x = 0 \iff \ln (2x) + 1 = x$.
	\end{enumerate}
\item %Soit un réel $a$ supérieur ou égal à $1$. On considère la partie $\mathcal{D}_{a}$ du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = a$.
 
%Déterminer $a$ tel que l'aire, en unités d'aires, de $\mathcal{D}_{a}$, soit égale à $\dfrac{1}{2}$ et hachurer $\mathcal{D}_{a}$ sur le graphique.
On a vu que sur  $[1~;~+ \infty[,~f(x) \geqslant 0$, donc l'aire de la partie 
$\mathcal{D}_{a}$ est égale à l'intégrale $F(a)$.

Résoudre $F(a) = \dfrac{1}{2}$ a été fait à la question précédente et sa solution est le nombre vérifiant $\ln (2x) + 1 = x$ ; or on a vu à la question 1. b. que ce nombre est le nombre $\alpha$
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\vspace{1cm} 

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 4} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(7.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=orange](-1,-3.5)(7.5,4)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-3.5)(7.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,0)(4,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.0125}{7.5}{x 2 mul ln 1 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-0.1}{7.5}{2.71828 1 x sub exp x 1 sub mul}
\rput{45}(3.5,3.65){$y = x$}
\uput[d](1,0){$u_{0}$} \uput[d](1.69315,0){$u_{1}$} \uput[d](2.21974,0){$u_{2}$} \uput[d](2.49,0){$u_{3}$} 
\uput[u](7,0.1){$(\mathcal{C})$} \uput[d](7,3.5){$(\Gamma)$}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{1}{2.8}{2.71828 1 x sub exp x 1 sub mul}
\psline(2.8,0)(1,0)
}
\uput[d](2.8,-0.12){$\alpha$}\rput(2,0.2){$\mathcal{D}_{a}$}
\psline(1,0)(1,1.69315)(1.69315,1.69315)(1.69315,0)(1.69315,2.21974)(2.21974,2.21974)(2.21974,0)(2.21974,2.49)(2.49,2.49)(2.49,0)(2.49,2.60565)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}