\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,colortbl} \usepackage{paralist} \usepackage{tabto} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 17cm \textheight 26cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\tableofcontents \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie~\decofourright\\[4pt]14 juin 2017}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d'assistance téléphonique: le client doit d'abord signaler s'il est client Internet ou s'il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur. \bigskip \emph{Les parties {\rm A}, {\rm B} et {\rm C} sont indépendantes.} Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}.$ \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie A - Durée d'attente }} \begin{enumerate} \item %Dans cette question, on s'intéresse à la durée d'attente d'un client Internet lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. %Une étude permet de modéliser cette durée d'attente en minutes par la variable aléatoire $D_1$ qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6. \begin{enumerate} \item La durée d'attente en minutes est modélisée par la variable aléatoire $D_1$ qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6. %Quelle est la durée d'attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d'assistance ? L'espérance d'une loi exponentielle est $E\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)=\dfrac{1}{0,6}=\dfrac{10}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}\approx 1,67}}$. \textbf{\textcolor{red}{La durée moyenne d'attente est d'environ 1,67 min}}. \item %Calculer la probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes. $P\left(D_1< x\right)=\int_0^x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\text{ d}t=\left[-\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\right]_0^x=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ donc $P\left(D_1>5\right)=1-\mathrm{e}^{-5\lambda}=1-\mathrm{e}^{-3}\approx 0,950$ à $10^{-3}$. La probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes est d'environ 0,950. \end{enumerate} \item Dans cette question, on s'intéresse à la durée d'attente d'un client mobile lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d'attente en minutes par la variable aléatoire $D_2$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $\lambda$ étant un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item %Sachant que $P\left(D_2\leqslant 4\right) = 0,798$, déterminer la valeur de $\lambda$. $P\left(D_2\leqslant 4\right)=1-\mathrm{e}^{-4\lambda}$ (mêmes calculs que précédemment). On cherche donc $\lambda$ tel que $1-\mathrm{e}^{-4\lambda}=0,798$. On en déduit : $\mathrm{e}^{-4\lambda}=1-0,798=0,202$ donc $-4\lambda=\ln(0,202)$ d'où $\lambda=-\dfrac{\ln(0,202)}{4}\approx 0,4$ à $10^{-3}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\lambda\approx 0,4}}$ \item %En prenant $\lambda = 0,4$, peut-on considérer que moins de 10\:\% des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur? On prend $\lambda=0,4$. $P\left(D_2>x\right)=\mathrm{e}^{-\lambda x}$ donc $P\left(D_2>5\right)=\mathrm{e}^{-5\lambda}=\mathrm{e}^{-2}\approx 0,135$\: $\boxed{\textcolor{red}{\approx 13,5\:\%}}$. Environ 13,5\:\% des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes, donc plus de 10\:\%. L'affirmation est donc \textbf{\textcolor{red}{fausse}}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie B - Obtention d'un opérateur }} \bigskip Si la durée d'attente avant l'obtention d'un opérateur dépasse 5 minutes, l'appel prend automatiquement fin. Sinon, l'appelant obtient un opérateur. On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d'assistance. On admet que la probabilité que l'appel émane d'un client Internet est 0,7. De plus, d'après la partie A, on prend les données suivantes : \begin{itemize} \item Si l'appel provient d'un client Internet, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,95. \item Si l'appel provient d'un client mobile, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,87. \end{itemize} Notons : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $I$ l'évènement : \og{}Le client a souscrit un abonnement Internet\fg{}. \item $O$ l'évènement : \og{}Le client obtient un opérateur\fg{}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Traduction des données :}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $p(I) = 0,7$ \item $p_I(O) = 0,95$ \item $p_{\overline{I}}(O)=0,87$ \end{enumerate} \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur. La situation peut se décrire par l'arbre pondéré suivant : \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $0,7$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$O$}\taput{ $0,95$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{O}$}\tbput{ $0,05$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,3$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$O$}\taput{ $0,87$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{O}$}\tbput{ $0,13$} } } \end{center} $O=(O\cap I)\cup\left(O\cap\overline{I}\right)$ (réunion d'évènements incompatibles) donc : $p(O)=p\left(O\cap I\right)+p\left(O\cap\overline{I}\right)=p_I(O)\times p(I)+p_{\overline{I}}(O)\times p\left(\overline{I}\right)$ (formule des probabilités totales). $p(O)=0,95\times 0,7+0,87\times 0,3=0,665+0,261=\boxed{\textcolor{red}{0,926}}$. La probabilité que le client joigne un opérateur est 0,926. \item %Un client se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d'attente sans avoir obtenu d'opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile? \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $p_{\overline{O}}(I)=\dfrac{p\left(I\cap\overline{O}\right)}{p\left(\overline{O}\right)}=\dfrac{0,05\times 0,7}{1-0,926}=\dfrac{0,035}{0,074}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{35}{74}}}$. \item $p_{\overline{O}}\left(\overline{I}\right)=\dfrac{p\left(\overline{I}\cap\overline{O}\right)}{p\left(\overline{O}\right)}=\dfrac{0,13\times 0,3}{1-0,926}=\dfrac{0,039}{0,074}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{39}{74}}}$. \end{enumerate} $\boxed{\textcolor{red}{p_{\overline{O}}\left(\overline{I}\right)>p_{\overline{O}}(I)}}$. Si un client se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur, il est plus probable que ce soit un client mobile. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie C - Enquête de satisfaction }} La société annonce un taux de satisfaction de 85\:\% pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur. Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge \numprint{1303} personnes. Parmi celles-ci, \numprint{1150} se disent satisfaites. %Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société ? \bigskip D'après la société, la proportion $p$ de clients satisfaits est $p=0,85$. On interroge \numprint{1303} personnes, donc la taille de l'échantillon est $n=\numprint{1303}$. On a : $\begin{cases}n=\numprint{1303}\geqslant 30\\ np=\numprint{1303}\times 0,85=1107,55\geqslant 5\\ n(1-p)=\numprint{1303}\times 0,15=195,45\geqslant 5\end{cases}$ Les conditions sont vérifiées pour que l'on puisse calculer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% : $I_{0,95}=\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\approx[0,83~;~0,87]$. La fréquence observée de clients satisfaits sur l'échantillon considéré est $f=\dfrac{\numprint{1150}}{\numprint{1303}}\approx 0,88\notin I_{0,95}$. La fréquence $f$ n'est pas dans l'intervalle de fluctuation asymptotique. On peut remettre en question l'affirmation de la société. Cependant, la fréquence de clients satisfaits est supérieure à la proportion annoncée ! \bigskip \subsection{\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.6,-1.6)(1.6,1.6) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.18,-5.08)(15.02,7.76) \pscircle(0.,0.){1.6} \psline(0,0)(1.6,0) \uput[u](1,0){R} \end{pspicture*} &\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.6,-1.6)(1.6,1.6) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.18,-5.08)(15.02,7.76) \psarc(0,0){1.6}{30}{360} \psline(0,0)(1.6,0) \psline(0,0)(1.39,0.8) \psarc(0,0){0.5}{0}{30} \uput[r](0.7,0.2){$\alpha$} \end{pspicture*} &\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.6,-1.6)(1.6,3) \psline(0,-1)(-2,2) \psline(0,-1)(2,2) \psline(0,-1)(0,1.5) \psellipse(0,1.5)(1.6,0.5) \uput[r](0.7,0){R} \uput[r](0,0.5){h} \uput[r](0.5,1.55){$\ell$} \psline[linestyle=dashed](0,1.45)(2,1.45) \end{pspicture*} \end{tabular} \end{center} Dans un disque en carton de rayon $R$ , on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure $\alpha$ radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l'angle $\alpha$ pour obtenir un cône de volume maximal. \bigskip On appelle $\ell$ le rayon de la base circulaire de ce cône et $h$ sa hauteur. On rappelle que : \begin{itemize} \item le volume d'un cône de révolution de base un disque d'aire $\mathscr{A}$ et de hauteur $h$ est $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}h$. \item la longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ et d'angle $\theta$, exprimé en radians, est $r\theta$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item On choisit $R = 20$ cm. \begin{enumerate} \item %Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est $V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\left(400-h^2\right)h$. D'après le théorème de Pythagore, on a $\ell^2=R^2-h^2=20^2-R^2=400-h^2$. L'aire de base vaut $\mathscr{A}=\pi\ell^2=\pi\left(400-h^2\right)$. Le volume du cône est alors $\boxed{\textcolor{red}{V(h)=\dfrac{1}{3}\pi\left(400-h^2\right)h}}$. \item %Justifier qu'il existe une valeur de $h$ qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur. La fonction $V$ est définie sur $[0~;~20]$ et dérivable. $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\times \left(400h-h^3\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\times \left(400-3h^2\right)}}$. $V'(h)$ a pour racines $h_1=-\sqrt{\dfrac{400}{3}}=-\dfrac{20}{\sqrt{3}}=-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\notin[0~;~20]$ et $h_2=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\in[0~;~20]$. $V'(h)$ est un polynôme du second degré qui est du signe du coefficient de $h^2$ à l'extérieur des racines, donc négatif. La fonction est donc croissante sur $\left[0~;~\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{20\sqrt{3}}{3}~;~20\right]$. \newpage \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} : \begin{center} \begin{variations} x&0&&\frac{20\sqrt{3}}{3}&&20\\ \hline V'(h)&&+&\z&-&\\ \hline \h{V(h)}&0&\c&\h{V\left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)}&\d&0\\ \hline \end{variations} \end{center} \bigskip Le volume maximum est $V\left(\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}\left(400-\dfrac{400}{3}\right)\times \dfrac{20\sqrt{3}}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\numprint{16000}\pi\sqrt{3}}{27}\approx \numprint{3224}~\text{cm}^3}}$ . \item %Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de $\alpha$ au degré près. On a vu précédemment que le rayon du cercle de base était $\ell=\sqrt{400-h^2}$. Le volume est maximum pour $h=h_2=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$ ; la valeur correspondante de $\ell$ est \\ $\ell_2=\sqrt{400-h_2^2}=\sqrt{400-\dfrac{400}{3}}=\sqrt{\dfrac{800}{3}}=\sqrt{\dfrac{2\times 400}{3}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{20\sqrt{6}}{3}}}$. Le périmètre du cercle de base est alors $p_2=2\pi\ell_2=\boxed{\textcolor{red}{40\pi\dfrac{\sqrt{6}}{3}}}$. La longueur du cercle de base est aussi la longueur de l'arc de cercle du carton restant après avoir ôté le secteur circulaire d'angle au centre $\alpha$ : $p_2=R\left(2\pi-\alpha\right)$. Par conséquent : $20(2\pi-\alpha)=40\pi\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ d'où $2\pi-\alpha=2\pi\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ qui donne $\alpha=2\pi-2\pi\dfrac{\sqrt{6}}{3}=2\pi\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\alpha=2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\right)}}$. (en radians) \textbf{\textcolor{blue}{En degrés}} : $\alpha=2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\right)\times \dfrac{180}{\pi}=\boxed{\textcolor{red}{120\left(3-\sqrt{6}\right)\approx 66,06\:\text{\degre}}}$ \end{enumerate} \item %L'angle $\alpha$ dépend-il du rayon $R$ du disque en carton ? On reprend les calculs précédents avec $R$ quelconque. On a (avec les mêmes notations) : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(R^2h-h^3\right)$ \item $V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(R^2-3h^2\right)$ \item $h_1=-\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\notin[0~;~R]$ et $h_2=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\in[0~;~R]$ \item Les variations sont les mêmes que dans le cas particulier $R=20$. \item Le maximum est atteint pour $h_2=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$ \item Le rayon correspondant du cercle de base est $\ell_2=\sqrt{R^2-h_2^2}=\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2R^2}{3}}=\boxed{\textcolor{red}{R\dfrac{\sqrt{6}}{3}}}$ \item Le périmètre du cercle de base vaut alors $p_2=2\pi\ell_2=\boxed{\textcolor{red}{2\pi R\dfrac{\sqrt{6}}{3}}}$. \item On a alors : $R(2\pi-\alpha)=2\pi R\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ d'où $\alpha=2\pi \left(1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\right)}}$ qui est la même valeur que précédemment. La valeur de $\alpha$ \textbf{\textcolor{red}{ne dépend pas}} de $R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH$_4$ de la façon suivante : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Les noyaux d'atomes d'hydrogène occupent les positions des quatre sommets d'un tétraèdre régulier. \item Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d'hydrogène. \end{enumerate} \bigskip L'objectif est de déterminer une mesure de l'angle entre deux liaisons carbone- hydrogène. Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. \begin{enumerate} \item %Justifier qu'on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d'hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d'hydrogène sur deux autres sommets du cube. Puisque les quatre atomes d'hydrogène sont les sommets d'un tétraèdre régulier, les arêtes de ce tétraèdre ont la même longueur. C'est le cas si l'on positionne les atomes sur les sommets du cube de telle sorte que les arêtes du tétraèdre soient des diagonales des faces carrées du cube. On place les quatre atomes sur les sommets A, C (ce qui fixe les longueurs des arêtes) puis en F et H. Représentons la molécule dans le cube : \begin{center} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.,-1.)(7.,7.) \pspolygon[fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(6.,1.5)(4.,4.) \pspolygon[fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(2.,5.5)(4.,4.) \pspolygon[fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](6.,1.5)(2.,5.5)(4.,4.) \pspolygon[fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](6.,1.5)(2.,5.5)(0.,0.) \psline(0.,0.)(4.,0.)%[AB] \psline(4.,0.)(6.,1.5)%[BC] \psline[linestyle=dashed](6.,1.5)(2.,1.5)%[CD] \psline[linestyle=dashed](2.,1.5)(0.,0.)%[DA] \psline(0.,4.)(4.,4.)%[EF] \psline(4.,4.)(6.,5.5)%[FG] \psline(6.,5.5)(2.,5.5)%[GH] \psline(2.,5.5)(0.,4.)%[HE] \psline(0.,0.)(0.,4.)%[AE] \psline(4.,0.)(4.,4.)%[BF] \psline(6.,1.5)(6.,5.5)%[CG] \psline[linestyle=dashed](2.,1.5)(2.,5.5)%[DH] \psline(6.,1.5)(4.,4.)%[FC] \psline(4.,4.)(0.,0.)%[AF] \psline[linestyle=dashed](0.,0.)(2.,5.5)%[AH] \psline(2.,5.5)(4.,4.)%[FH] \psline(6.,1.5)(2.,5.5)%[CH] \psline[linestyle=dashed](2.,5.5)(4.,4.) \psline(4.,4.)(6.,1.5) \psline(6.,1.5)(2.,5.5) \psline(2.,5.5)(0.,0.) \psline[linecolor=zzttqq,linestyle=dashed](0.,0.)(6.,1.5) \psline(0.,0.)(6.,1.5) \psline(2.,5.5)(6.,1.5) \psline(2.,5.5)(0.,0.) \psline(2.,5.5)(0.,0.) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) \rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.) \rput[bl](4.08,0.2){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,1.5) \rput[bl](6.08,1.7){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,1.5) \rput[bl](2.08,1.7){\blue{$D$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.) \rput[bl](0.08,4.2){\blue{$E$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,4.) \rput[bl](4.08,4.2){\blue{$F$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,5.5) \rput[bl](6.08,5.7){\blue{$G$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,5.5) \rput[bl](2.08,5.7){\blue{$H$}} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip Dans la suite de l'exercice, on pourra travailler dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. \item %Démontrer que l'atome de carbone est au centre $\Omega$ du cube. Le centre du cube $\Omega$ est à égale distance des sommets A, C, F et H, donc l'atome de carbone est en $\Omega$. \item %Déterminer l'arrondi au dixième de degré de la mesure de l'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène, c'est-à-dire l'angle $\widehat{A\Omega C}$. Dans le repère considéré, A, $\Omega$ et C ont pour coordonnées : A$(0~;~0~;~0)$~;~$\Omega\left(\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\right)$ et C$(1~;~1~;~0)$. $\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\Omega C}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$. Alors : $\overrightarrow{\Omega \text{A}}\cdot\overrightarrow{\Omega \text{C}}= -\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}= -\dfrac{1}{4}$. $\Omega \text{A} =\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $\Omega \text{C} =\Omega \text{A} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (triangle isocèle). On sait que $\overrightarrow{\Omega \text{A}}\cdot\overrightarrow{\Omega \text{C}}=\Omega A\times \Omega \text{C}\times \cos \widehat{A\Omega \text{C}}$ donc $\cos\widehat{A\Omega \text{C}}=\dfrac{\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{\Omega \text{C}}}{\Omega \text{A}\times \Omega \text{C}}=\dfrac{-\frac14}{\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3}}}$ $\cos\widehat{A\Omega \text{C}}=\dfrac{1}{3}$ donc $\widehat{\text{A}\Omega \text{C}}= \arccos\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx \boxed{\textcolor{red}{109,47\:\text{\degre}}}$ soit environ 109,5\:\text{\degre}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection{\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On s'intéresse à la chute d'une goutte d'eau qui se détache d'un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d'établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s$^{-1}$, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute $t$ est donnée par la fonction $v$ définie ainsi : Pour tout réel positif ou nul $t$, $v(t) = 9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right)$ ; la constante $m$ est la masse de la goutte en milligramme et la constante $k$ est un coefficient strictement positif lié au frottement de l'air. \bigskip \emph{On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.} \emph{Les parties A et B sont indépendantes.} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie A - Cas général }} \begin{enumerate} \item %Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d'eau. La fonction vitesse est dérivable : $v'(t)=9,81\dfrac{m}{k}\times \left(-\dfrac{-k}{m}\right)\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}=9,81\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}>0$ (en utilisant la formule $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ si $u$ est dérivable sur l'intervalle considéré). La vitesse est donc croissante sur $[0~;~+\infty[$. \item %La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ? Puisque la vitesse de la goutte est croissante, elle \textbf{\textcolor{red}{augmente}} au cours de sa chute. La goutte ne ralentit pas au cours de sa chute. \item %Montrer que $\lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}$. Cette limite s'appelle vitesse limite de la goutte. $\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{k}{m}t\right)=-\infty$ donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}=\lim_{X\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{X}=0$. Par conséquent : $\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right)=1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}}}$. Notons $V=9,81\dfrac{m}{k}$ cette vitesse limite. \item %Un scientifique affirme qu'au bout d'une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$, la vitesse de la goutte dépasse 99\:\% de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ? On calcule $v\left(5V\right)=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}\times 5\frac{m}{k}}\right)=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-5}\right)$. $\dfrac{v}{V}=\dfrac{9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-5}\right)}{9,81\frac{m}{k}}=1-\mathrm{e}^{-5}\approx 0,993\approx \boxed{\textcolor{red}{99,3\:\%}}$ donc, cette vitesse dépasse 99\:\% de la vitesse limite. L'affirmation était \textbf{\textcolor{red}{correcte}}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie B }} Dans cette partie, on prend $m = 6$ et $k = 3,9$. À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m.s$^{-1}.$ \begin{enumerate} \item %Depuis combien de temps la goutte s'est -elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde. $v(t) = 9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{3,9}{6}t}\right)$. On résout : $9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{3,9}{6}t}\right)=15\\ \iff 1-\mathrm{e}^{-\frac{3,9}{6}t}=\dfrac{15}{9,81}\times \dfrac{3,9}{6}\\ \mathrm{e}^{-\frac{3,9}{6}t}=1-\dfrac{15}{9,81}\times \dfrac{3,9}{6}=1-\dfrac{325}{327}=\dfrac{2}{327}\\ \iff -\dfrac{3,9}{6}t = \ln\left(\dfrac{2}{327}\right)\\ \iff \boxed{\textcolor{red}{t=-\dfrac{6}{3,9}\ln\left(\dfrac{2}{327}\right)\approx 7,84.}}$ La vitesse atteint 15 m.s$^{-1}$ au bout de $T = 7,8$~s environ. \item %En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s$^{-1}$. La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est $\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\text{ d}x$. La vitesse moyenne demandée est donc : $V=\dfrac{1}{T - 0}\int_0^T f(t)\text{ d}t$. $V=\dfrac{1}{5}\left[t+\dfrac{m}{k}\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right]_0^T$. La vitesse moyenne est donc : $\overline{v}=\dfrac{1}{7,8}\left[9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(7,8+\dfrac{6}{3,9}\mathrm{e}^{-\frac{3,9}{6}\times 7,8}\right)-9,81\times \dfrac{6}{3,9}\times \dfrac{6}{3,9}\right]\boxed{\textcolor{red}{\approx 12,1}}$. La vitesse moyenne d'une goutte entre l'instant où elle quitte le nuage t l'instant où elle atteint 15 m.s$^{-1}$ est d'environ 12,1 m.s$^{-1}$. \end{enumerate} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV \hfill 6 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}. \bigskip Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant : \begin{itemize} \item À chaque lettre de l'alphabet, on associe un entier $n$ comme indiqué ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On choisit deux entiers $a$ et $b$ compris entre 0 et 25. \item Tout nombre entier $n$ compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de $an+ b$ par 26. \end{itemize} Le tableau suivant donne les fréquences $f$ en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Lettre&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\ \hline Fréquence&9,42&1,02&2,64&3,38&15,87&0,94&1,04&0,77&8,41&0,89&0,00&5,33&3,23\\ \hline \hline Lettre&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline Fréquence&7,14&5,13&2,86&1,06&6,46&7,90&7,26&6,24&2,15&0,00&0,30&0,24&0,32\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie A }} Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L'analyse fréquentielle du texte codé a montré qu'il contient 15,9\:\% de O et 9,4\:\% de E. On souhaite déterminer les nombres a et b qui ont permis le codage. \begin{enumerate} \item %Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ? D'après le tableau, E est codé par O et A est codé par E. \item %Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont solutions du système %\[\begin{cases}4a + b\equiv 14~[26] \\b \equiv 4~[26]. \end{cases}\] \begin{enumerate}[$\bullet$] \item La lettre E (4) a été codée par O(14) donc $4a+b\equiv 14~[26]$. \item De même, A(0) est codé par E(4) donc $a\times 0+b\equiv 4~[26]$ \end{enumerate} On a donc le système : \[\begin{cases}4a+b\equiv 14~[26]\\b\equiv 4~[26]\end{cases}.\] \item %Déterminer tous les couples d'entiers $(a~,~b)$ ayant pu permettre le codage de ce texte. Ce système donne $\begin{cases}4a\equiv 10~[26]\\b\equiv 4~[26]\end{cases}$. On cherche toutes les valeurs de $a$ telle que $4a\equiv 10~[26]$ : \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline a &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline 4a & 0 &4 &8 &12 &16 &20 &24 &28 &32 &36 &40 &44 &48\\\hline 4a~[26] & 0 &4 &8 &12 &16 &20 &24 &2 &6 &\cellcolor{red!30}10&14&18 &22\\\hline\hline a &13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline 4a & 52&56 &60 &64 & 68&72 &76 &80 &84 &88 &92 &96 &100\\\hline 4a~[26] &0 &4 &8 &12 &16 &20 &24 &2 &6 &\cellcolor{red!30}10&14&18 &22\\\hline \end{tabularx} On trouve deux valeurs possibles pour $a$ : $\boxed{\textcolor{red}{a=9}}$ ou $\boxed{\textcolor{red}{a=22}}$. Les deux couples possibles sont $\boxed{\textcolor{red}{(9~;~4)}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{(22~;~4)}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie B }} \begin{enumerate} \item On choisit $a = 22$ et $b = 4$. \begin{enumerate} \item %Coder les lettres K et X. Pour K, on a $n=10$. Alors $an+b=22\times 10+4=224\equiv 16~[26]$ donc K est codé par Q. Pour X, on a $n=23$. Alors $an+b=22\times 23+4=510\equiv 16~[26]$ donc X est aussi codé par Q. \item %Ce codage est-il envisageable? Ce codage n'est \textbf{\textcolor{red}{pas envisageable}}, car deux lettres différentes sont codées par la même lettre. \end{enumerate} \item On choisit $a = 9$ et $b = 4$. \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a : %\[m \equiv 9 n + 4~[26]\iff n\equiv 3 m + 14~[26] \] \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $m \equiv 9n +4~[26]\Rightarrow 3m\equiv 27n+12~[26]\Rightarrow3m\equiv n+12~[26]\Rightarrow3m\equiv n-14~[26]\Rightarrow 3m+14\equiv n~[26]$. \item Réciproquement : $n=3m+24~[26]\Rightarrow 9n\equiv 27m+126~[26]\Rightarrow9n\equiv m+22~[26]\Rightarrow 9n+4\equiv m+26~[26]\Rightarrow 9n+4\equiv m~[26]$ \end{enumerate} On en déduit que : \[\boxed{\textcolor{red}{m \equiv 9 n + 4~[26]\iff n\equiv 3 m + 14~[26] }}\] h) %Décoder le mot AQ. D’après la question (B.2a), si la lettre associée à l’entier $n$ est codée en la lettre associée à $m$, alors : \[m \equiv 9n +4 [26]\iff n \equiv 3m+14 [26]\] \begin{enumerate}[$\bullet$] \item A est associé au nombre $m_1 = 0$ donc : $n_1 \equiv 3m_1 +14~[26] \iff n_1 \equiv 3\times 0+14~[26]\iff n_1 \equiv 14 [26]$. Donc O a été codé en A. \item Q est associé au nombre $m_2 = 16$ donc : $n_2 \equiv 3m_2 +14~[26] \iff n_2 \equiv 3\times 16+14 [26]\iff n_2 \equiv 10~[26]$. Donc K a été codé en Q. \item Le décodage du mot AQ est le mot \textbf{\textcolor{red}{OK}}. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \label{fin} \end{document}