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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S  }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2005}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie~\decofourright\\septembre 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item À partir de  $a_{0} = 1,~b_{0} = 0,~c_{0} = 0$, on obtient :

$\begin{array}{l l l}
a_{1} = 0 & b_{1} = \dfrac{1}{3}& c_{1} = \dfrac{2}{3}\\
a_{2} = \dfrac{1}{6}&b_{2} = 0&c_{2} = \dfrac{1}{6}+ \dfrac{2}{6} =  \dfrac{5}{6}\\
a_{3} = 0&b_{3} = \dfrac{1}{18}&c_{3} = \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3} =\dfrac{17}{18}\\
\end{array}$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item De trois choses l'une : ou la puce est en A, ou elle est en B, ou elle est en C ; d'o\`u $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$.
		
D'autre part elle ne peut être en A que si elle était précédemment en B : $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}b_{n}$ et elle ne peut être en B que si elle était précédemment en  A, soit $b_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_{n}$.
		\item D'après la question précédente : $a_{n+2} = \dfrac{1}{2}b_{n+1}$ et $b_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_{n}$ ; donc $a_{n+2} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{3}a_{n}\right) = \dfrac{1}{6}a_{n}$, ce pour tout $n \in \N$.
\item On a $a_{2\times 0} = 1 = \left(\dfrac{1}{6}\right)^0$ (initialisation).

Hérédité : supposons que $a_{2p} =  \left(\dfrac{1}{6}\right)^p$ et calculons $a_{2p+2} = \dfrac{1}{6}a_{2p} \\= \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^p = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p+1}$. La formule est donc vraie au rang $p+1$. La récurrence est établie. D'autre part par récurrence immédiate : $a_{1} = a_{3} = \cdots = a_{2p+1} = 0$.

Il suit que $b_{2p} = \dfrac{1}{3}a_{2p-1} = 0$ quel que soit $p$.

Calculons $b_{2p+1} = \dfrac{1}{3}a_{2p} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^p$.
	\end{enumerate}
\item Pour $\left(a_{n}\right)$ : les termes de rang impair sont nuls, et on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{6}\right)^n = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$.

Pour la même raison $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0$.

Or $c_{n} = 1 - a_{n} -  b_{n}$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} c_{n} = 1$. Au bout d'un certain temps la puce sera pratiquement toujours dans la case C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y^2 - x^2 = 16 \iff y^2 = x^2 + 16 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y & = & \sqrt{x^2 + 16}\\
y & = & -  \sqrt{x^2 + 16}\\
\end{array}\right.$. La représentation graphique de $\mathcal{H}$ est donc la réunion de la représentation $\mathcal{C}$ de la fonction $x \longmapsto \sqrt{x^2 + 16}$ et de la courbe $\mathcal{C}'$ symétrique autour de (O$x$) de $\mathcal{C}$.
\item $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$ est définie sur $\R$ ; composée de deux fonctions dérivables, elle est dérivable sur $\R$et $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$. La fonction est donc décroissante sur $\R^{-}$ et croissante sur $\R^{+}$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)  = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $\Delta(x) = f(x) - x = \sqrt{x^2 + 16} - x
 = \dfrac{( \sqrt{x^2 + 16} - x)( \sqrt{x^2 + 16} + x}{ \sqrt{x^2 + 16} + x} = \dfrac{x^2 + 16 - x^2}{\sqrt{x^2 + 16} + x} = \dfrac{16}{\sqrt{x^2 + 16} + x}$.
 
Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \Delta(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \Delta(x)  = 0_{+}$. Ceci signifie que la droite d'équation $y = x$ est asymptote à  $\mathcal{C}$ au voisinage de l'infini, la courbe restant au-dessus de son asymptote.
		\item~
\begin{center}		 
\begin{pspicture}(-6,-8)(6,6)
\psset{unit=0.75cm}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=4]{->}(0,0)(-6,-8)(6,8)
\psline(-6,-6)(6,6) \psline(-6,6)(6,-6)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-6}{6}{x 2 exp 16 add sqrt}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-6}{6}{x 2 exp 16 add sqrt neg}
\uput[u](5.9,7.16){$\mathcal{C}$}   \uput[d](5.9,-7.16){$\mathcal{C}'$} 
\rput{45}(5,5.2){$y = x$} \uput[d](2,4.9){$\mathcal{D}$}
\rput(1.4142,5.657){$\times$}   \rput(5.657,1.4142){$\times$} 
\psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,5)   \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](1.4142,0)(1.4142,5.657)   \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](5.657,0)(5.657,1.4142)
\uput[ur](1.4142,5.657){A$'$}   \uput[ur](5.657,1.4142){B$'$} 
\psplot[linewidth=1.25pt]{-6}{-1}{8 x div}  \psplot{1}{6}{8 x div}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt]{-3}{3}{x 2 exp 16 add sqrt}
\psline(3,5)(-3,5) }
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{1.4142}{5.657}{8 x div}
\psline(5.657,1.4142)(1.4142,5.657)}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Par différence avec l'aire du rectangle, on a aire$(\mathcal{D}) = 30 - \displaystyle\int_{-3}^{3} \sqrt{x^2 + 16} \:\text{d}x$ (u.a.).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La rotation a pour écriture complexe : 
$z' = z\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item Avec $z = x + \text{i}y$ et par identification $x' + \text{i}y' = (x + \text{i}y)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ on obtient : 
		$\left\{\begin{array}{l c l}
x' 	&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} (x + y)\\
y'	&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}(- x + y)\\
\end{array}\right.$

On a A$'( \sqrt{2}~;~4\sqrt{2})$ et B$'(4\sqrt{2}~;~\sqrt{2})$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Cf. figure ci-dessus.
		\item Si $M(x~;~y) \in \mathcal{C}$, alors $\left\{\begin{array}{l c l}
x' &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} (x +\sqrt{x^2 + 16})\\
y'&=&  \dfrac{1}{\sqrt{2}}(- x + \sqrt{x^2 + 16})\\
\end{array}\right.$. D'où 

$x' \times y' = \dfrac{x^2 + 16 - x^2}{2}\dfrac{16}{2}) = 8$.

De même avec un point de   $\mathcal{C}'$. Ceci signifie que l'image de $\mathcal{H}$ par la rotation $r$ est bien  $\mathcal{H}'$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Cf. la figure ci-dessus.
		\item Par différence avec l'aire d'un trapèze (on pouvait également utiliser le rectangle  du \textbf{2. a.} de la \textbf{Partie A} on a :
		
aire$(\mathcal{D}') = \dfrac{\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \times \left(4\sqrt{2} - \sqrt{2} \right) - \displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} \dfrac{8}{x} \:\text{d}x = 15 - 8\left[\ln x\right]_{\sqrt{2}}^{4\sqrt{2}} =\\  15 - 8 \ln 4$.

La rotation conservant les aires, on a :

aire$(\mathcal{D}') = \text{aire}(\mathcal{D}) =  15 - 8 \ln 4 \approx 3,910$ (u.a. ou cm$^2$)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Réponse : \textbf{b.}
\item Réponse : \textbf{c.}
\item Réponse : \textbf{a.}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $- 1 \leqslant \cos (4x) \leqslant 1$, donc par produit :

\[- \text{e}^{-x} \leqslant  f(x) \leqslant   \text{e}^{-x}.\]

		\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, d'après le théorème des \og gendarmes \fg{} : 
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$. L'axe des abscisses est donc asymptote à $\Gamma$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate} 
\item On sait que $\text{e}^{-x} \neq 0$, quel que soit $x\in \R$, donc $\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\cos (4x) \iff $

$\cos (4x) = 1 \iff 4x = 0~[2\pi] \iff x = 0~\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Les points communs aux deux courbes sont donc les points $M_{k}\left(k\dfrac{\pi}{2}~;~\text{e}^{-k\frac{\pi}{2}}\right)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n+1} = f\left((n+1)\dfrac{\pi}{2}\right) = \text{e}^{- (n+1)\frac{\pi}{2}} = \text{e}^{- n\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{- \frac{\pi}{2}} = u_{n} \times \text{e}^{- \frac{\pi}{2}}$.\\
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $\text{e}^{- \frac{\pi}{2}}$.
		\item  $\text{e}^{- \frac{\pi}{2}} \approx 0,2$ et $u_{0} = 1$ donc la suite est positive et décroissante et d'après la question \textbf{1. a.} la limite de cette suite est nulle.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $f'(x) = -  \text{e}^{-x}\cos (4x) -  \text{e}^{-x} \times 4 \sin (4x) = - \text{e}^{-x}[\cos (4x) + 4 \sin (4x)]$.
		
 De même $g'(x) =  - \text{e}^{-x}$.
		\item Or si $x = k\dfrac{\pi}{2},~\cos (4x) = 1$~et $\sin (4x) = 0$.
		
On a donc $f'\left(k\dfrac{\pi}{2}\right) = g'\left(k\dfrac{\pi}{2}\right) = -  \text{e}^{-k\frac{\pi}{2}}$. Donc les courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs.
	\end{enumerate}
\item On a $f' \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = - \text{e}^{-\frac{\pi}{2}} \approx - 0,2$.
\end{enumerate}
\end{document}
