%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\septembre 2010}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip %\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item %On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : %\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\] \textbf{Proposition 1} : Vraie%Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. Quel que soit $n \in \N,~\dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n + 2}$, donc $t_{n+1} = t_{n} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n + 2}$. En écrivant cette égalité pour $n = 0,~1,~n$, on obtient : $t_{1} = 0 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}$ $t_{2} = t_{1} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$ \ldots = \ldots \ldots $t_{n} = t_{n-1} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$, soit par somme membres à membres et simplifications : $t_{n} = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n + 1 - 1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}$. \item %On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que : %\[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\] \textbf{Proposition 2} : Vraie%Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente. Les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes : elles convergent et ont la même limite $\ell$. Comme $u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}$, d'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, la suite $\left(w_{n}\right)$ converge vers la même limite $\ell$. \item %Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0~;~1]. \textbf{Proposition 3} : Fausse%Si $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$ alors $f = g$ sur l'intervalle [0~;~1]. Il suffit de prendre $f$ définie sur [0~;~1] par $f(x) = x$ et $g$ définie sur [0~;~1] par $g(x) = 1 - x$. Les intégrales sont égales à $\dfrac{1}{2}$ (aires de triangles rectangles isocèles) et les fonctions ne sont pas égales. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm). % %On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. %\medskip % %On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$ %$s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$. %\medskip % %Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$. % %On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer l'écriture complexe de $h$. Pour un point $M$ d'affixe $z$ et son image $M'$ par $h$ d'affixe $z'$, la traduction complexe de l'égalité $\vect{\text{S}M'} = 3\vect{\text{S}M}$ est : $z' - (-5 + 5\text{i}) = 3[z - (-5 + 5\text{i})] \iff z' = -5 + 5\text{i} + 3z + 15 - 15\text{i} \iff z' = 3z + 10 - 10\text{i}$. \item %Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d=-2-4\text{i}$. On a C = $h$(A), donc $c = 3(-2 + 4\text{i}) + 10 - 10\text{i} = 4 + 2\text{i}$. De même D = $h$(B) donc $d = 3(-4 + 2\text{i} + 10 - 10\text{i} = - 2 - 4\text{i}$. \end{enumerate} \item %Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. On a : $|a|^2 = 4 + 16 = 20,~|b|^2 = 16 + 4 = 20$, $|c|^2 = 16 + 4 = 20$ et $|d|^2 = 4 + 16 = 20$, d'où $|a|= \text{OA} = |b|= \text{OB} = |c|= \text{OC} = |d|= \text{OD} = \sqrt{20}= 2\sqrt{5}$. Les points A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon $2\sqrt{5}$. \item %Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées $(-3~;~3)$. $M(x~;~y)$ appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si $(M\text{I}) \perp (\text{AB}) \iff \vect{M\text{I}} \cdot \vect{\text{AB}} = 0 \iff -2(-3 - x) -2(3 - y) = 0 \iff -3 - x + 3 - y = 0 \iff x + y = 0$ S$(-5~;~5)$ appartient à cette médiatrice ; $\Omega(-2~;~2)$ appartient à cette médiatrice. Conclusion : (S$\Omega$) est la médiatrice de [AB]. \item %Soit P le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item %Déterminer l'affixe $p$ du point P. On a $p = \dfrac{1}{2}(-2 + 4\text{i} + 4 + 2\text{i}) = 1 + 3\text{i}$. \item %Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$.En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. $\dfrac{\omega - p}{d - b} = \dfrac{- 2 + 2\text{i} - 1 - 3\text{i}}{- 2 - 4\text{i} + 4 - 2\text{i}} = \dfrac{-3 -\text{i}}{2 - 6\text{i}} = \dfrac{(-3 -\text{i})(2 + 6\text{i})}{(2 - 6\text{i})(2 + 6\text{i})} = \dfrac{-6 + 6 -18\text{i} - 2\text{i}}{4 + 36} =$ $ \dfrac{-20\text{i}}{40} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En terme d'argument la relation précédente signifie que : $\left(\vect{\text{BD}},~\vect{\text{P}\Omega}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$. Conclusion : la droite (P$\Omega$) est perpendiculaire à la droite (BD). \end{enumerate} \item %Soit Q le milieu du segment [BD]. %Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ? Par l'homothétie $h$ l'image (CD) de la droite (AB) est parallèle à cette dernière : le quadrilatère ABDC est un trapèze ; dans ce trapèze la droite des \og milieux \fg{} (PQ) est parallèle à (AB) et à (CD). Or on a vu que (AB) et (S$\Omega$) sont perpendiculaires. Donc (S$\Omega$) est aussi perpendiculaire à (PQ). Donc dans le triangle PQS, (S$\Omega$) et (P$\Omega$) sont deux hauteurs : le point $\Omega$ est l'orthocentre du triangle PQS. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-5,-5)(5,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(5,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psdots(-2,4)(-4,2)(-5,5)(-2,2)(4,2)(-2,-4)(1,3)(-3,-1) \uput[ul](-2,4){A} \uput[ul](-4,2){B} \uput[ul](-5,5){S} \uput[ur](-2,2.1){$\Omega$} \uput[ur](4,2){C} \uput[ur](-2,-4){D} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-3,-1){Q}\uput[ur](1,3){P} \psline(-2,4)(4,2) \psline(-4,2)(-2,-4)\psline(-2,4)(-4,2) \pspolygon(1,3)(-3,-1)(-5,5) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{5}{0 x sub} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1}{x 3 div 8 3 div add} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|@{}c@{}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %&A&B&C&D&E&F&G\\ \hline %1&mois &janvier &février &mars &avril &mai &juin \\ \hline% %2&prix en dollars &91,99 &95,05 &103,78 &109,07 &123,15 &132,32 \\ \hline% %3&\begin{tabular}{l l}taux d'évolution\\ %mensuel (en \%)\\ \end{tabular}&&3,3\:\%&9,2\:\%&&&\\ \hline %\end{tabularx} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d'un sac contenant une boule noire et 9~boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. % %Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n'est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. % %On appelle N l'évènement \og la boule noire figure parmi les boules tirées \fg{} et G l'évènement \og le joueur gagne \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité de l'évènement N. Sortons la boule noire : il y a $\binom{9}{3}$ tirages 3 boules parmi les 9 restantes. À chacun de ces tirages on adjoint le tirage de la boule noire. Il y a donc $\binom{9}{3}$ tirages différents de quatre boules contenant la boule noire. Le nombre de tirages possibles est $\binom{10}{4}$ tirages. On a donc $p(\text{N} = \dfrac{\binom{9}{3}}{\binom{10}{4}} = \dfrac{\frac{9!}{3!6!}}{\frac{10!}{4!6!}} = \dfrac{9! \times 4! \times 6!}{3! \times 6! \times 10!} = \dfrac{2}{5}$. \item %Démontrer que la probabilité de l'évènement G est égale à $\dfrac{3}{10}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. On a l'arbre suivant : \medskip \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$N$}\taput{$\frac{2}{5}$}} { \TR{$G$}\taput{$\frac{1}{2}$} \TR{$\overline{G}$}\tbput{$\frac{1}{2}$} } \pstree{\TR{$\overline{N}$}\tbput{$\frac{3}{5}$}} { \TR{G}\taput{$\frac{1}{6}$} \TR{$\overline{\text{G}}$}\tbput{$\frac{5}{6}$} } } \end{center} \medskip On a donc $p(G) = p(N) \times p_{N}(G) + p\left(\overline{N}\right) \times p_{\overline{N}}(G) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2 + 1}{10} \dfrac{3}{10}$. \item %Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ? D'après la question précédente la probabilité de perdre est $1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$. Il faut calculer $p_{\overline{G}}(N) = \dfrac{p\left(\overline{G} \cap p(N\right) }{p(\overline{G})} = \dfrac{\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{7}{10}} = \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{10}} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{10}{7} = \dfrac{2}{7}$. \end{enumerate} \item %Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de $m$ euros est demandée, où $m$ est un réel strictement positif. %\setlength\parindent{5mm} %\begin{description} %\item[ ] Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. %\item[ ] S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. %\item[ ] S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. %\end{description} %\setlength\parindent{0mm} % %On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item %Déterminer la loi de probabilité de $X$. $\bullet~~$ Si le joueur gagne $\left(\text{probabilité de}\: \dfrac{3}{10}\right)$, le joueur gagne $4 - m$ euro(s) ; $\bullet~~$ Si le joueur ne gagne pas mais a tiré la boule noire (probabilité de $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$) le joueur gagne ou perd $0$ euro ; $\bullet~~$ Si le joueur ne gagne pas et n'a pas tiré la boule noire (probabilité égale à $\frac{3}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{2}$) le joueur a \og gagné \fg{} $- m$ euro(s). D'où le tableau de la loi de probabilité du gain $X$ suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|p{2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X = x_{i}$&$4 - m$&$0$&$- m$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{3}{10}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{2}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $m$. On a E$(X) = (4 - m)\times \dfrac{3}{10} + 0 \times \dfrac{1}{5} - m \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{12 - 3m - 5m}{10} = \dfrac{12 - 8m}{10}$. \item %On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de $X$ est nulle. %Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable. On a E$(X) = 0 \iff \dfrac{12 - 8m}{10} \iff 12 - 8m = 0 \iff m = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} = 1,50$~\euro. \end{enumerate} \item %Soit $n$ un entier naturel non nul. %On joue $n$ fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac. %Déterminer la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à $0,999$. On a une épreuve de Bernoulli de paramètres $n$ et $p = \dfrac{3}{10}$. La probabilité de ne jamais gagner en $n$ jeux est égale $\left(\dfrac{7}{10}\right)^n$, donc la probabilité de gagner au moins une fois est : $1 - \left(\dfrac{7}{10}\right)^n$. Il faut donc résoudre : $1 - \left(\dfrac{7}{10}\right)^n > 0,999 \iff \left(\dfrac{7}{10}\right)^n < 0,001 \iff 0,7^n < 0,001 \iff$ $ n \ln 0,7 < \ln 0,001$ (d'après la croissance de la fonction ln) puis $n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,7}$. Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,7} \approx 19,3$. Il faut donc jouer au moins 20 fois. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip %Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. On a $g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$, donc par produit des limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$. \item %Étudier les variations de la fonction $g$. La fonction $g$ somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ est dérivable et sur $[0~;~+\infty[$ : $g^{\prime}(x) = \text{e}^x - \text{e}^x - x\text{e}^x = - x\text{e}^x$. Comme $\text{e}^x > 0$ et $x > 0$, on a $g^{\prime}(x) < 0$ sur $[0~;~+\infty[$. $g$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[$ de $g(0) = 2$ à $- \infty$. \item Donner le tableau de variations de $g$. \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$} \rput(1,1){$g(x)$} \uput[u](1,2){$g'(x)$}\uput[u](4.5,2){$-$} \uput[d](2.15,2){$2$}\uput[u](6.6,0){$- \infty$} \psline{->}(2.5,1.7)(6.3,0.3) \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. Sur $[0~;~+\infty[$, $g$ dérivable est donc continue et décroissante, $g(0) > 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$. Il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$. \item %À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. La calculatrice donne : $\bullet~~$ $g(1) = 1$ et $g(2) \approx -6,4$, donc $1 < \alpha < 2$ ; $\bullet~~$ $g(1,2) \approx 0,3$ et $g(1,3) \approx -0,1$, donc $1,2 < \alpha < 1,3$ ; $\bullet~~$ $g(1,27) \approx 0,04$ et $g(1,28) \approx -0,007$, donc $1,27 < \alpha < 1,28$. \item %Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$. On a $g(\alpha) = 0 \iff \text{e}^{\alpha} - \alpha\text{e}^{\alpha} + 1 = 0 \iff \text{e}^{\alpha}(1 - \alpha) = - 1 \iff \text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$. \end{enumerate} \item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. On a donc $g(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ; $g(\alpha) = 0$ ; $g(x) < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip %Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. La fonction $A$ quotient de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ (le dénominateur ne s'annulant pas) est dérivable et sur cet intervalle : $A'(x) = \dfrac{4\left(\text{e}^x + 1 \right) - 4x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{4\left(\text{e}^x - x\text{e}^x + 1 \right)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{4g(x)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$. Comme $\left(\text{e}^x + 1 \right)^2 > 0$ quel que soit $x$, le signe de $A'(x)$ est celui de $g(x)$. D'après la précédente question on a donc : $A'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ; $A'(\alpha) = 0$ ; $A' < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$. \item %En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$. On a donc : $A(x)$ est croissante sur $[0~;~\alpha[$ et décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$, $A(\alpha)$ étant le maximum de la fonction. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip %On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$. %On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. %La figure est donnée en annexe. % %Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{description} %\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$, %\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$, %\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$. %\end{description} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item %Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. On sait que $x \geqslant 0$, donc l'aire du rectangle O$PMQ$ est égale à $x \times f(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1} = A(x)$. Or on a vu que la fonction présente un maximum pour $x = \alpha$. %On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. \item %Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$. %La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ? %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Le coefficient directeur de la droite ($PQ$) est égal à $-\dfrac{f(\alpha)}{\alpha} = -\dfrac{\frac{4}{\text{e}^{\alpha} + 1}}{\alpha} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)}$. Or on a vu que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, donc le coefficient directeur est égal à : $-\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\frac{1}{\alpha - 1}+ 1\right)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha(1 + \alpha - 1)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}$. La tangente en $M(\alpha~;~f(\alpha))$ a pour coefficient directeur $f'(\alpha)$. Or $f'(x) = - \dfrac{4\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$, donc $f'(\alpha) = - \dfrac{4\text{e}^{\alpha}}{\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)^2} = -\dfrac{\frac{4}{\alpha - 1}}{\left(\frac{1}{\alpha - 1} + 1 \right)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{(1 + \alpha - 1)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}.$ Les coefficients directeurs sont égaux : les droites sont parallèles. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \end{center} \vspace{1,5cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.} \bigskip \textbf{Exercice 4} \vspace{1,5cm} \psset{unit=2.4cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,3) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=12,subgriddots=9] \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-2)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](4.1,0){$x$}\uput[r](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div} \psline(1.278,0)(1.278,0.86)(0,0.86)(0,0) \uput[ur](1.278,0.86){M}\uput[d](1.278,0){P}\uput[l](0,0.86){Q} \uput[ur](1.278,0){$\alpha$}\uput[dr](0,0.86){$f(\alpha)$} %\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)} %\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)} %\multido{\n=-2.0+0.16667}{31} %{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)} %\multido{\n=-2+1}{6} %{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)} \end{pspicture} \end{document}