%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Polynésie (enseignement obligatoire)}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\septembre 2011}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg %\item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Voici les réponses : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. %\item[$\bullet~~$]Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On choisit au hasard une personne de cette population. % %On pourra considérer les évènements suivants : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item N$_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg %\item N$_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg %\item N$_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg %\item E\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.[] Sur 300 personnes, 225 utilisent l'escalier ; $p\left(\overline{E}\right) = \dfrac{225}{300} = \dfrac{3}{4}$. D'où $p(\text{E}) = 1 - p\left(\overline{E}\right) = \dfrac{1}{4}$. Sur les 225 personnes empruntant l'ascenseur la répartition 50, 75, 100 suivant les étages conduit à : \[p_{\overline{E}}\left(N_{1}\right) = \dfrac{50}{225} = \dfrac{2}{9}, \quad p_{\overline{E}}\left(N_{2}\right) = \dfrac{75}{225} = \dfrac{3}{9}, \quad p_{\overline{E}}\left(N_{3}\right) = \dfrac{100}{225} = \dfrac{4}{9}\] Sur les 75 personnes empruntant l'escalier, on obtient de même : \[p_{E}\left(N_{1}\right) = \dfrac{1}{3}, \quad p_{E}\left(N_{2}\right) = \dfrac{2}{3}, \quad p_{E}\left(N_{3}\right) = \dfrac{0}{3}\] \begin{center} \pstree[treemode=R,treesep=1.,levelsep=3,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}% { \pstree{\Tr{$E$}\taput{$\frac{1}{4}$}} { \Tr{$N_{1}$}\taput{$\frac{2}{3}$} \Tr{$N_{2}$}\taput{$\frac{1}{3}$} \Tr{$N_{3}$}\tbput{$\frac{0}{3}$} } \pstree{\Tr{$\overline{E}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}} { \Tr{$N_{1}$}\taput{$\frac{2}{9}$} \Tr{$N_{2}$} \taput{$\frac{3}{9}$} \Tr{$N_{3}$}\tbput{$\frac{4}{9}$} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est égale à $\dfrac{1}{12}$. On a $p\left(\text{E} \cap \text{N}_{2} \right) = p(\text{E}) \times p_{\text{E}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$. \item %Montrer que les évènements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables. Vont au 1\up{er} étage : 50 (ascenseur) + $75 \times \dfrac{2}{3} = 50 = 100$ personnes ; Vont au 2\up{e} étage : 75 (ascenseur) + $75 \times \dfrac{1}{3} = 25 = 100$ personnes ; Vont au 3\up{e} étage : 100 (ascenseur) personnes. Les évènements N$_{1}$, N$_{2}$, N$_{3}$ sont bien équiprobables. \item %Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau. Il faut trouver : $p_{N_{2}}(E) = \dfrac{p\left(E \cap N_{2}\right)}{p\left(N_{2}\right)} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} \item %On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. %On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2\up{e} niveau. \begin{enumerate} \item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. Une personne prise au hasard a une probabilité d'aller au 2\up{e} étage égale à $p\left(N_{2} \right) = \dfrac{1}{3}$. Les réponses des 20 étant indépendantes les unes des autres, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $p = \dfrac{1}{3}$ et $n = 20$. \item %Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau. On a donc : \[p(X = 5) = \binom{20}{5} \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^{5} \times \left(1 - \dfrac{1}{3} \right)^{20 - 5} = \np{15504}\times \dfrac{2^{15}}{3^{20}} \approx \np{0,1457}.\] \item %En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau ? La moyenne pour les 20 personnes d'aller au 2\up{e} étage est égale à l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$, soit : E$(X) = n \times p = 20 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{3} \approx 7$. Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2\up{e} étage. \end{enumerate} %Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. %Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un personne va au 2\up{e} niveau \fg soit supérieure ou égale à $0,99$. \item On reprend la variable aléatoire suivant la loi binomiale de probabilité $\dfrac{1}{3}$ avec $n$ personnes. Il faut trouver : $p(X \geqslant 1) = 1 - p (X = 0)$ soit $p(X \geqslant 1) = 1 - \left( \dfrac{2}{3}\right)^n$. La condition est réalisée si : \[1 - \left( \dfrac{2}{3}\right)^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant \left( \dfrac{2}{3}\right)^n \iff \ln 0,01 \geqslant n \ln \left( \dfrac{2}{3}\right)\] \[(\text{par croissance de la fonction ln}) \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln \frac{2}{3}} \leqslant n\] Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln \frac{2}{3}} \approx 11,3$. Il faut donc prendre au minimum 12. Conclusion : sur 12 personnes, au moins une va au niveau 2 avec une probabilité supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \vect{\text{EF}}^2 = \vect{\text{EF}} \cdot \vect{\text{EF}}$. % %Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB]. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a : %\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\] En utilisant l'égalité de Chasles avec le point I, $M\text{A}^2 = \vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{A}} = \left(\vect{M\text{I}} + \vect{\text{IA}} \right) \cdot \left(\vect{M\text{I}} + \vect{\text{IA}} \right) = M\text{I}^2 + \text{IA}^2 + 2 \vect{M\text{I}} \cdot \vect{\text{IA}}$. De même $M\text{B}^2 = M\text{I}^2 + \text{IB}^2 + 2 \vect{M\text{I}} \cdot \vect{\text{IB}}$. Par somme on obtient : $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \text{IA}^2 + \text{IB}^2 + 2 \vect{M\text{I}} \cdot \vect{\text{IA}} + 2 \vect{M\text{I}} \cdot \vect{\text{IB}} =$ $ 2M\text{I}^2 + \dfrac{\text{AB}^2}{4} + \dfrac{\text{AB}^2}{4} + 2 \vect{M\text{I}} \cdot \underbrace{\left(\vect{\text{IA}} + \vect{\text{IB}} \right)}_{ = \vect{0}} = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2$. \item %Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que %\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2.\] En utilisant le résultat précédent : $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2 \iff 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2 = \text{AB}^2\iff 2M\text{I}^2 = \dfrac{1}{2} \text{AB}^2 \iff $ $M\text{I}^2 = \dfrac{1}{4} \text{AB}^2 \iff M\text{I} = \dfrac{1}{2} \text{AB}$. Les points $M$ sont à la distance $\dfrac{1}{2} \text{AB}$ du point fixe I milieu de [AB] : l'ensemble (E) est donc la sphère de centre I et de rayon $\dfrac{1}{2} \text{AB}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. % %On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et % %$x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. $\vect{p}(3~;~4~;~1)$ et $\vect{q}(1~;~- 2~;~- 1)$ sont des vecteurs normaux respectivement à (P) et (Q). Or $\vect{p}$ et $\vect{q}$ ne sont pas colinéaires car leurs cordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les plans ne sont pas parallèles : ils sont sécants en $(\Delta)$. %On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q). \begin{enumerate} \item %Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$. A appartient à la droite ($\Delta$) si et seulement s'il appartient aux deux plans (P) et (Q). A$(-1~;~0~;~4) \in\text{P)} \iff 3 \times (- 1) + 4 \times 0 + 1\times 4 - 1 = 0$ : vrai ; A$(-1~;~0~;~4) \in\text{Q)} \iff 1 \times (- 1) - 2 \times 0 - 1 \times 4 + 5 = 0$ : vrai. Conclusion A est un point de $(\Delta)$. \item %Montrer que $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$. On a $\vect{u} \cdot \vect{p} = 1\times 3 + (- 2) \times 4 + 5 \times 1 = 8 - 8 = 0$ : les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{p}$ sont orthogonaux. $\vect{u} \cdot \vect{q} = 1 \times 1 + (- 2 ) \times (- 2) + 5 \times (- 1) = 5 - 5 = 0$ : les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{q}$ sont orthogonaux . Donc le vecteur $\vect{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$ commune aux deux plans (P) et (Q). On peut aussi considérer le point C de cordonnées : $(- 1 + 1 = 0~;~0 - 2 = - 2~;~4 + 5 = 9)$ et montrer que ce point appartient lui aussi à (P) et à (Q) donc à ($\Delta$) et $\vect{\text{AB}} = \vect{u}$... \item %Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$. On sait que la droite est définie par le point A et un de ses vecteurs directeurs $\vect{u}$. On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) \iff \text{il existe }\: t \in \R / \vect{\text{A}M} = t\vect{u} \iff $ $\left\{\begin{array}{l c l} x + 1&=&1t\\ y - 0&=&- 2t\\ z + 4&=&5t \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&t - 1\\ y &=&- 2t\\ z &=&5t - 4 \end{array}\right. \quad t \in \R$, \:\: système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$. Autre méthode (plus compliquée) : $M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) \iff M(x~;~y~;~z) \in (\text{P}) \cap (\text{Q}) \iff \left\{\begin{array}{l c l} 3x + 4y + z - 1 &=& 0\\ x - 2y - z + 5 &=& 0 \end{array}\right.$ $ \iff \left\{\begin{array}{l c l} 3x + 4y &=&- z + 1\\ x - 2y &=&z - 5 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 3x + 4y &=&- z + 1\\ 3x - 6y &=&3z - 15 \end{array}\right. \Rightarrow 10y = - 4z + 16 \iff y = - \dfrac{2}{5}z + \dfrac{8}{5}$ En reportant dans l'équation de (Q) on obtient : $x - 2y - z + 5 = 0 \iff x = 2y + z - 5 = - \dfrac{4}{5}z + \dfrac{16}{5} + z - 5 = \dfrac{1}{5}z - \dfrac{9}{5}$. D'où en posant $z = t\: (t \in \R$) $M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&\dfrac{1}{5}t - \dfrac{9}{5}\\ y&=&- \dfrac{2}{5}t + \dfrac{8}{5}\\ z&=&t \end{array}\right.$ \end{enumerate} %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$. %Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points. \item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de $(\Delta)$ ; en utilisant ses coordonnées paramétriques on a : $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2 \iff (- 1 - t + 1)^2 + (0 + 2t)^2 + (4 - 5t + 4)^2 + (t - 4)^2 + (-2t + 4)^2 + (5t + 2)^2 = (3 + 1)^2 + (- 4)^2 + (2 - 4)^2 \iff t^2 + 4t^2 + 25t^2 + 64 -80t = 16 + 16 + 4 \iff 60t^2 - 4t 0 = 0 \iff 15t^2 - t = 0 \iff t(15t - 1) = 0$. Il y a donc deux solutions : l'une correspondant à $t = 0$ et donnant le point $M_{1}(- 1~;~0~;~4)$, soit le point A, l'autre correspondant à $t = \dfrac{1}{15}$ donnant le point $M_{2}\left(-\dfrac{14}{15}~;~- \dfrac{2}{15}~;~\dfrac{13}{3}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. % %On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$. % %On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$. $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} = \dfrac{\text{i} - 2 + 3\text{i}}{ 6 - \text{i} - 2 + 3\text{i}} = \dfrac{- 2 + 4\text{i}}{4 + 2\text{i}} = \dfrac{-1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}} = \dfrac{(- 1 + 2\text{i})(2 - \text{i})}{(2 + \text{i})(2 - \text{i})} = \dfrac{- 2 + 2 + \text{i} + 4\text{i}}{4 +1} = \dfrac{5\text{i}}{5} = \text{i}$. \item %En déduire la nature du triangle ABC. Le résultat précédent $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}= \text{i}$ équivaut à $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{AC}} \text{i} \iff \vect{\text{AB}} = \text{e}^{\frac{\pi}{2}}\vect{\text{AC}}$, ce qui signifie que B est l'image de C dans le quart de tour direct de centre A : le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en A. \emph{Remarque :} on peut aussi en prenant le module et l'argument de i, montrer que AC = AB et que $\left(\vect{\text{AC}},~ \vect{\text{AB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip %On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : % %\[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \] \begin{enumerate} \item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$. On a $z_{\text{D}'} = \dfrac{\text{i}(1 - \text{i} - 2 + 3\text{i})} {1 - \text{i} - \text{i}} = \dfrac{\text{i}(2\text{i} - 1)}{1 - 2\text{i}} = \dfrac{- \text{i}(1 - 2\text{i})}{1 - 2\text{i}} = - \text{i}$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i. Il faut résoudre dans $\C - \{\text{i}\}$, l'équation : $z' = 2\text{i} \iff \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} = 2\text{i} \iff \dfrac{z - 2 + 3\text{i}}{z - \text{i}} = 2 \iff $ $z - 2 + 3\text{i} = 2(z - \text{i}) \iff - 2 + 3\text{i} + 2\text{i} = z \iff z = - 2 + 5\text{i}$. Donc $z_{\text{E}} = - 2 + 5\text{i}$. \item %Démontrer que E est un point de la droite (AB). L'affixe du vecteur $\vect{\text{AE}}$ est $- 2 + 5\text{i} - 2 + 3\text{i} = - 4 + 8\text{i}$. L'affixe du vecteur $\vect{\text{AB}}$ est $\text{i} - 2 + 3\text{i} = - 2 + 4\text{i}$. On a la relation de colinéarité : $\vect{\text{AE}} = 2\vect{\text{AB}}$, donc les points A, B et E sont alignés (on peut même plus précisément dire que E est le symétrique de A autour de B. \end{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$. Pour $z \neq \text{i}$, on a : $z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \iff z' = \dfrac{\text{i}\left(z - z_{\text{A}}\right)}{z - z_{\text{B}}} \quad (1)$, d'où en prenant les modules des deux membres O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$ avec $z \neq \text{i}$ ou encore $M$ distinct de B. \item %Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité : De même en prenant les arguments des deux membres de l'équation (1), on obtient : \[\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'} \right) = \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.\] \item %Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors A$M$ = B$M$ ; le résultat de la question 3. donne alors : O$M' = 1 \iff M'$ \:appartient au cercle unitaire de centre O et de rayon 1. \item %Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB). Si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ et en utilisant le résultat de la question 4. on a alors : $\dfrac{\pi}{2} = \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près} \iff \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M} \right) = 0 \:\text{à}\:2\pi\:\text{près}$, ce qui signifie que les points A, B et $M$ sont alignés. Inversement ceci montre que l'image de la droite (AB) par $f$ est l'axe des imaginaires privé du point B. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A Question de cours} %\medskip % %Soit I un intervalle de $\R$. % %Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ soient continues sur I. % %Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I. \textbf{Partie B} \medskip %On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : % %\[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2.\] % %On note respectivement $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentatives de $f$ de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. Les courbes sont tracées en annexe. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. On résout dans $\R$ l'équation : $f(x) = g(x) \iff (x - 1)^2 \text{e}^{-x} = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2 \iff (x - 1)^2 \left[\text{e}^{-x} - \dfrac{3}{2}\right] = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} (x - 1)^2&=&0\\ \text{e}^{-x} - \dfrac{3}{2} &=& 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&1\\ -x &=& \ln\left(\frac{3}{2} \right) \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&1\\ x &=& \ln\left(\frac{2}{3} \right) \end{array}\right.$ $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont donc deux points communs de cordonnées (1~;~0) et $\left(\ln\left(\frac{2}{3}\right) ~;~\frac{3}{2}\left(\ln\left(\frac{2}{3}\right) - 1\right)^2\right)$. \item %Donner les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sur $\R$. Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - g(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{-x} - \dfrac{3}{2}(x - 1)^2 = (x - 1)^2 \left[\text{e}^{-x} - \dfrac{3}{2}\right]$. Exception faite de $d(1) = 0$, le signe de $d$ est celui de la différence $\text{e}^{-x} - \dfrac{3}{2}$. Or $\text{e}^{-x} - \dfrac{3}{2} > 0 \iff \text{e}^{-x} > \dfrac{3}{2} \iff - x > \ln \frac{3}{2} \iff x < - \ln \frac{3}{2} \iff x < \ln \frac{2}{3}$. Conclusion : $\mathcal{C}_{1}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{2}$ sur $\left]- \infty~;~\ln \frac{2}{3}\right[$ ; on trouve de même que $\mathcal{C}_{1}$ est au dessous de $\mathcal{C}_{2}$ sur $\left]\ln \frac{2}{3}~;~ \infty\right[$. On a vu dans la question précédente que les deux courbes ont deux points communs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %À l'aide de deux intégrations par parties successives, déterminer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. Calcul de $I = \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x$ : Soit $\left\{\begin{array}{l c l} u(x)&=&(x - 1)^2\\ v^{\prime}(x) &=&\text{e}^{-x} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l} u^{\prime}(x)&=&2(x - 1)\\ v(x) &=&- \text{e}^{-x} \end{array}\right.$ Toutes les fonctions sont continues car dérivables sur $\R$ ; on peut donc intégrer par parties : $I = \left[- (x - 1)^2 \text{e}^{-x} \right]_{0^1} - \displaystyle\int_{0}^1 2(x - 1)\times \left(- \text{e}^{-x}\right)\:\text{d}x =$ $ \left[- (x - 1)^2 \text{e}^{-x} \right]_{0}^1 + \displaystyle\int_{0}^1 2(x - 1)\times \text{e}^{-x}\:\text{d}x$. Soit $J = \displaystyle\int_{0}^1 2(x - 1)\times \text{e}^{-x}\:\text{d}x$ et intégrons à nouveau par parties : Soit $\left\{\begin{array}{l c l} u(x)&=&2(x - 1)\\ v^{\prime}(x) &=&\text{e}^{-x} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l} u^{\prime}(x)&=&2\\ v(x) &=&- \text{e}^{-x} \end{array}\right.$ Donc $J = \left[- 2(x - 1)\text{e}^{-x}\right]_{0}^1 + 2\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- 2(x - 1)\text{e}^{-x}\right]_{0}^1 + \left[- 2\text{e}^{-x}\right]_{0}^1 = \left[- 2(x - 1)\text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x} \right]_{0}^1$. Finalement : $I = \left[- (x - 1)^2 \text{e}^{-x} - 2(x - 1)\text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x} \right]_{0}^1 = \left[- \text{e}^{-x}\left((x - 1)^2 + 2(x - 1) + 2\right) \right]_{0}^1 =$ $ -\text{e}^{-1}\times 2 + (1 - 2 + 2) = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. \item %Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}_{1}$,\:$\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. On a vu à la question 1. b. que sur l'intervalle [0~;~1], $\mathcal{C}_{1}$ est au dessous de $\mathcal{C}_{2}$. L'aire cherchée est donc égale, en unités d'aire, à l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \left[\dfrac{3}{2}(x - 1 )^2 - (x - 1)^2\text{e}^{- x}\right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{3}{2}(x - 1 )^2\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)^2\text{e}^{- x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{3}\dfrac{3(x - 1)^3}{2}\right]_{0}^1 - I = \dfrac{1}{2} - \left(1 - \dfrac{2}{\text{e}} \right) = \dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{2}$~(u.a.) On a $\dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{2} \approx 0,24$. On peut vérifier sur la figure ci-dessous que la partie hachurée mesure à peu près 24 carreaux sur l'unité qui fait 100 petits carreaux, soit effectivement 0,24. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip %On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : % %\[u_{n} = \int_{0}^1 (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\] % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout $x$ de [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, On sait que $0 \leqslant x \leqslant 1$, d'où $- 1 \leqslant - x \leqslant 0$ et par croissance de la fonction exponentielle \:$\text{e}^{- 1} \leqslant \text{e}^{- x} \leqslant \text{e}^0$ ou encore $\text{e}^{- 1} \leqslant \text{e}^{- x} \leqslant 1 \quad (1)$. Or $(x - 1)^{2n} = \left[(x - 1)^2 \right]^n \geqslant 0$ puisque $(x - 1)^2 \geqslant 0$. Donc en multipliant chaque membre de l'encadrement (1) par le nombre positif $(x - 1)^{2n}$, on obtient : $\text{e}^{- 1}(x - 1)^{2n} \leqslant \text{e}^{- x}(x - 1)^{2n} \leqslant 1\times (x - 1)^{2n} \quad (1)$ et finalement \[0 \leqslant (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x} \leqslant (x - 1)^{2n}.\] \item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : Par intégration des trois fonctions de l'encadrement du \textbf{a.}, on obtient $\displaystyle\int_{0}^1 0\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)^{2n}\:\text{d}x \iff 0 \leqslant u_{n}\leqslant \left[\dfrac{x^{2n + 1}}{2n + 1}\right]_{0}^1 \iff 0 \leqslant u_{n} \leqslant - \dfrac{(- 1)^{2n+1}}{2n+1} \iff 0 \leqslant u_{n} \leqslant + \dfrac{(- 1)^{2n}}{2n+1}$ et finalement : \[ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2n + 1}.\] \end{enumerate} \item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. L'encadrement précédent et le fait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2n+1} = 0$ montre par application du théorème des \og gendarmes \fg{}, que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 4 } \end{flushleft} \vspace{1cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(2.1,2.1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2.,2.) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(2.02,2.02) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.}{1}{x 1 sub 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{0}{x 1 sub 2 exp 1.5 mul}} \uput[u](4.5,0.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[r](3,5.75){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.}{2}{x 1 sub 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2}{x 1 sub 2 exp 1.5 mul} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}