\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage{pst-all} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Polynésie juin 2008}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet des collèges} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Polynésie juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{Cette feuille est à joindre à la copie} \end{center} \textbf{Exercice 1} \medskip %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. % %Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. % %\textbf{Pour chacune des questions, entourer la bonne réponse.} % %\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1&Le nombre $\sqrt{45} - \sqrt{20}$ est égal aussi à :&$\sqrt{25}$&\fbox{$\sqrt{5}$}&$5\sqrt{5}$\\ \hline 2& L'expression développée de $(5x + 2)^2$ est :&$25x^2 +4$&\fbox{$5x^2 + 20 x + 4$}&\small $25x^2 + 20x + 4$\\ \hline 3&L'expression factorisée de A {\footnotesize$= (3x - 5)^2+(2x - 1)(3x - 5)$} est : & \fbox{$(3x-5)(5x-6)$}& $(2x-1)(6x-4)$& \small$15x^2 - 43 x +30$\\ \hline 4&Une solution de l'équation $(3x+2)(4x - 3)$ est :&$\dfrac{2}{3}$&\fbox{$\dfrac{3}{4}$}&$0$\\ \hline 5&Une solution de l'inéquation $3x +4 < 0$ est &$2$&\fbox{$- \dfrac{5}{3}$}&$-1$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip %Le magasin TAMARIIGAMES loue des jeux vidéo et des DVD. % %Moana loue un jeu vidéo et un DVD pour \np{1400}~F. % %Son copain Tihoti loue 3 jeux et 2 DVD pour \np{3600}~F. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Moana pense que le prix de la location d'un jeu est de \np{1000}~F et celui d'un DVD est $400$~F. \begin{enumerate} \item %Si tel est le cas, compléter sur cette feuille, les tableaux suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Prix d'un jeu &Prix d'un DVD &Somme totale\\ \cline{2-4} Achat de Moana &\np{1000} &400 &\np{1400}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Prix des 3 jeux &Prix des 2 DVD&Somme totale\\ \cline{2-4} Achat de Tihoti &\np{3000} &800 &\np{3800}\\ \hline \end{tabularx} \item %Tihoti n'est pas d'accord avec Moana. Qui a raison ? Pourquoi ? Tihoti a raison : avec les prix trouvés par Moana, il aurait du payer \np{3800}~F ce qui n'est pas vrai. \end{enumerate} \item %Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l} x + y &= &\np{1400}\\ 3x+2y &= & \np{3600}\\ \end{array}\right.$. De la première équation on déduit que $y = \np{1400} - x$ et en remplaçant dans la seconde équation : $3x + 2(\np{1400} - x) = \np{3600}$ ou encore $3x + \np{2800} - 2x = \np{3600}$ ou $x = 800$. D'où $y = \np{1400} - x = \np{1400} - 800 = 600$. La solution du système est donc$x = 800$ et $y = 600$. \item %En déduire le prix de la location d'un jeu vidéo ainsi que celui d'un DVD. On en déduit que le prix de la location d'un jeu vidéo est 800~F et celui d'un DVD, 600~F{}.\end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip %L'unité est le centimètre. % %On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$ et de diamètre [BC] et le cercle $\mathcal{C}_{2}$ de diamètre [BD]. % %A est un point de $\mathcal{C}_{1}$ et la droite (AB) coupe le cercle $\mathcal{C}_{2}$, au point E. % %On donne : % %BA = 4 ; BC = 5 et BD = 9. % %\medskip \parbox{0.35\linewidth}{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(0,-4.5)(9,4.5) \psline(0,0)(9,0) \pscircle(2.5,0){2.5} \pscircle(4.5,0){4.5} \psline(0,0)(7,5) \psline(5.97,4.23)(9,0) \psline(3.3,2.38)(5,0) \uput[ul](3.3,2.38){A} \uput[l](0,0){B} \uput[ur](5,0){C} \uput[r](9,0){D} \uput[u](5.97,4.23){E} \uput[dr](4,-2){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[ur](7.8,3){$\mathcal{C}_{2}$} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item %Les triangles ABC et EBD sont rectangles. %Parmi les trois propriétés suivantes, \emph{recopier sur votre copie la propriété} qui permet de démontrer ce résultat, dans cet exercice : %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] Si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. %\item[$\bullet~$] Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. [$\bullet~$] Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. %\end{itemize} \item %Dans le triangle ABC rectangle en A, calculer AC. Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore s'écrit : $\text{BC}^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2$, d'où $\text{AC}^2 = \text{BC}^2 - \text{BA}^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$, donc $\text{AC} = 3$. \item %En vous aidant du résultat donné la question 2., montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles. Pour la même raison que pour le triangle ABC, le triangle BDE est rectangle en E : les droites (AC) et (ED) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (BE) : elles sont donc parallèles. \item %Montrer que BE = 7,2. Les droites (AC) et (ED) sont parallèles, donc par application de la propriété de Thalès : $\dfrac{\text{BC}}{\text{BD}} = \dfrac{\text{BA}}{\text{BE}}$, soit $\dfrac{5}{9} = \dfrac{4}{\text{BE}}$, d'où $\text{BE} = \dfrac{9 \times 4}{5} = \dfrac{36}{5} = 7,2$~cm. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip %Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB]. % %OA = OB = OC = OD = OE = 5,7~cm. % %\medskip \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) %\psgrid \SpecialCoor \pspolygon(2.5;55)(2.5;127)(2.5;199)(2.5;271)(2.5;343) \uput[dl](0;0){O} \uput[ur](2.5;55){A} \uput[dr](2.5;343){B} \uput[d](2.5;271){C} \uput[dl](2.5;199){D} \uput[ul](2.5;127){E} \psline(0;0)(2.5;55) \psline(0;0)(2.5;127) \psline(0;0)(2.5;199) \psline(0;0)(2.5;271) \psline(0;0)(2.5;343)\uput[ur](2.0225;19){I} \rput{109}(1.93,0.66){\psframe(0,0)(0.3,0.3)} \psline(0;0)(2.0225;19) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.0225;19)(2.0225;91)(2.0225;163)(2.0225;235)(2.0225;307) \psdots[dotstyle=o](1.25;55)(1.25;127)(1.25;199)(1.25;271)(1.25;343) \psarc(2.5;55){3mm}{232}{286}\psarc(2.5;343){3mm}{113}{166} \rput(1.4,1.4){54\degres}\rput(1.2,-0.6){5,7 cm} \psarc(0;0){2mm}{343}{55}\psarc(0;0){3mm}{343}{55} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.35\linewidth}{Cette figure n'est pas en vraie grandeur} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Quelle est la nature du triangle AOB ? On a OA = OB, donc OAB est un triangle isocèle en O,mais n'est pas équilatéral puisque l'un des angles a pour mesure 54\degres. \item %Montrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ est de 72\degres. Le pentagone étant régulier, chacun des angles au centre a pour mesure $\dfrac{360}{5} = 72$\degres. \end{enumerate} \item %Quelle est l'image du triangle BOC, \begin{enumerate} \item %par la symétrie axiale d'axe (DI) ? L'image du triangle BOC par la symétrie axiale d'axe (DI) est le triangle AOE. \item %par la rotation de centre O, d'angle 72\degres, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ? L'image du triangle BOC par la rotation de centre O, d'angle 72\degres est le triangle AOB. \end{enumerate} \item %Calculer la longueur AR (arrondie au millimètre). Dans le triangle rectangle AOI, on a $\cos \widehat{\text{OAI}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OA}}$ d'où $\text{AI} = \text{OA} \cos \widehat{\text{OAI}} = 5,7 \times \cos 54\degres \approx 3,350$, donc $\text{AB} = 2\text{AI} \approx 6,7$~cm au millimètre près. \end{enumerate} %\begin{center} %(Cette feuille est à joindre à la copie) %\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Première partie} \medskip %Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française : % %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] le thon Germon (variété de thon blanc) %\item[$\bullet~$] le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge) %\item[$\bullet~$] le thon Obèse (variété de thon rouge) %\end{itemize} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Le graphique 1, ci-dessous, représente la taille du thon Germon en fonction de sa masse. \begin{enumerate} \item %Est-ce que la taille du thon germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier. Non : la représentation graphique n'est pas une droite passant par l'origine. \item %L'équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg. Voir la figure. %Déterminer graphiquement, sa taille. On voit que sa taille est d'environ 100~cm. %(On laissera apparents les trails de construction). \item %L'équipe de Teiki a pris un thon germon de 70~cm. %Déterminer graphiquement sa masse. On lit graphiquement une masse de 7~kg. %(On laissera apparents les traits de construction). \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.34cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(35,120) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(35,120) %\psgrid \multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(35,\n)} \multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(35,\n)} \rput(17.5,-15){masse de thon en kg} \rput{90}(-2.5,60){taille du thon en cm} \rput(17.5,130){Graphique 1 : taille du thon Germon} \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,45)(5,62)(10,78)(15,88)(20,96.5)(25,104)(30,110)(31.3,112) \psset{arrowsize=3pt 4} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](22,0)(22,100)(0,100) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](0,70)(7,70)(7,0) \end{pspicture} \newpage \textbf{Graphique 2} \psset{xunit=0.016cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(500,90) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100,Dy=10](0,0)(500,90) \multido{\n=0+10}{51}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,90)} \multido{\n=0+100}{6}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,90)} \multido{\n=0+1}{91}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(500,\n)} \multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(500,\n)} \psline[linecolor=blue](0,0)(500,85) \rput(250,-8){masse de thon en kg} \rput{90}(-60,70){masse de thon Jaune en kg} \psset{arrowsize=3pt 4} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](400,0)(400,68)(0,68) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \medskip \item %La masse du thon Jaune représente en moyenne 17\:\% de la masse totale des trois espèces de thon pêché. %Le graphique 2, ci-dessus, représente la masse de thon Jaune pêché par rapport à la masse totale de thon pêché. \begin{enumerate} \item %Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à la masse totale de thon pêché ? %Justifier. Oui : la représentation graphique est ici une demi-droite contenant l'origine. \item %L'équipe de Moana a pêché 400~kg de thon. %Calculer la masse de thon Jaune pêché. La masse de thon Jaune sur les 400~kg de thon péché est : $\dfrac{17}{100}\times 400 = 17 \times 4 = 68$~kg. (voir aussi le graphique) \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %\begin{center} %(Cette feuille est à joindre à la copie) %\end{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE} %À un concours de pêche au large, les prises sont constituées de thons, d'espadons, de thazards et de mahi-mahi. % %On a réparti les différentes prises des équipes de Moana et de Teiki dans les tableaux suivants : tableau (I) et tableau (II). %\medskip % %\textbf{TABLEAU (I) : Équipe de Moana} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Espèce &thon &espadon&thazard&mahi-mahi & total\\ \hline %Prise en kg &400 &104 &56 &240 & 800\\ \hline %\end{tabularx} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(-3,0)(3,4) \SpecialCoor \psarc(0;0){3cm}{0}{180} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0;0){3}{0}{54} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0){3}{54}{66.6} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](0;0){3}{66.6}{90} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0;0){3}{90}{180} \uput[ul](3;135){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{\textcolor{white}{ Thon 50\:\%}}} \rput(3.5;85){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray]{\textcolor{white}{ Espadon 13\:\%}}} \rput(3.5;60){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textcolor{white}{ Thazard 7\:\%}}} \rput(3.5;15){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{\textcolor{white}{ Mahi-mahi 30\:\%}}} \rput(0,-0.5){Diagramme semi-circulaire représentant les prises en pourcentage de l'équipe de Moana} \endpspicture \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{TABLEAU (II) Equipe de Teiki} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Espèce}&thon &espadon&thazard&\small mahi-mahi & total\\ \hline Prise en kg &144 &108 &36 &432 &720\\ \hline Fréquence en \% &20 &15 &5 &60 &100\\ \hline Secteur angulaire en degré &36 &27 &9 &108 &180\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item %Compléter sur cette feuille le tableau (II) précédent. Voir ci-dessus. \item ~%Représenter les prises exprimées en fréquence de ce deuxième tableau, par un diagramme semi-circulaire de rayon 5~cm. \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(-3,0)(3,4) \SpecialCoor \psarc(0;0){3cm}{0}{180} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0;0){3}{0}{108} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0){3}{108}{117} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](0;0){3}{117}{144} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0;0){3}{144}{180} \uput[ul](3;162){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{\textcolor{white}{Thon 20\:\%}}} \rput(3.5;130.5){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray]{\textcolor{white}{Espadon 15\:\%}}} \rput(3.5;112.5){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textcolor{white}{Thazard 5\:\%}}} \rput(3.5;54){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{\textcolor{white}{Mahi-mahi 60\:\%}}} \rput(0,-0.5){Diagramme semi-circulaire représentant les prises en pourcentage de l'équipe de Teiki} \endpspicture \end{center} \bigskip \item %Quel est le poisson principalement capturé par chacune des équipes ? L'équipe de Moana a principalement capturé du thon, alors que l'équipage de Teiki a principalement capturé du mahi-mahi. \item %Quel pourcentage représente la masse totale de thon pêché par les deux équipes par rapport à la masse totale de poissons capturés par les deux équipes ? (arrondir à l'unité). Les deux équipages ont capturé $400 + 144 = 544$~kg de thon sur un total capturé de $800 + 720 = \np{1520}$~kg de poisson soit un pourcentage de : $\dfrac{544}{\np{1520}} \times 100 \approx 35,8$ soit environ 36\,\%. \end{enumerate} \end{document}