\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} %\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-all,pst-bezier,pst-node,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \usepackage{pst-infixplot} \usepackage{twoopt} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.5cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Polynésie 30 août 2022 sujet 1}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\text{\,e\,}} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{3pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{30 août 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Polynésie 30 août 2022~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ sujet \no 1}} %\bigskip % %Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures} % %\medskip % %L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé % %\medskip % %Le sujet propose 4 exercices % %Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill probabilités} \medskip Parmi les angines, un quart nécessite la prise d'antibiotiques, les autres non. Afin d'éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d'un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]lorsque l'angine nécessite la prise d'antibiotiques, le test est positif dans 90\,\% des cas; \item[$\bullet~~$]lorsque l'angine ne nécessite pas la prise d'antibiotiques, le test est négatif dans 95\,\% des cas. \end{itemize} %\medskip % %Les probabilités demandées dans la suite de l'exercice seront arrondies à $10^{-4}$ près si nécessaire. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Un patient atteint d'angine et ayant subi le test est choisi au hasard. On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ : « le patient est atteint d'une angine nécessitant la prise d'antibiotiques »{} ; \item[$\bullet~~$]$T$ : « le test est positif »{} ; \item[$\bullet~~$]$\overline{A}$ et $\overline{T}$ sont respectivement les évènements contraires de $A$ et $T$. \end{itemize} %\medskip \begin{enumerate} \item On résume la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,25$}} { \TR{$T$}\naput{$0,90$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,90=0,10$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,25=0,75$}} { \TR{$T$}\naput{\blue $1-0,95=0,05$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,95$} } } \bigskip \end{center} $P(A \cap T) = P(A)\times P_{A}(T)=0,25\times 0,90 = 0,225$ \item %Démontrer que $P(T) = \np{0,2625}$. D'après la formule des probabilités totales: $P(T)= P(A\cap T) + P\left (\overline{A}\cap T\right ) = 0,225 + 0,75\times 0,05 = \np{0,2625}$ \item On choisit un patient ayant un test positif. La probabilité qu'il soit atteint d'une angine nécessitant la prise d'antibiotiques est: $P_{T}(A)= \dfrac{P(A\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,225}{\np{0,2625}}\approx \np{0,8571}$ \item \begin{enumerate} \item Les évènements correspondant à un résultat erroné du test sont: $\overline{A} \cap T$ et $A \cap \overline{T}$ . \item On définit l'évènement $E$ : \og le test fournit un résultat erroné \fg. %Démontrer que $p(E) = \np{0,0625}$. $P(E) = P\left (\overline{A} \cap T\right )+P\left (A \cap \overline{T}\right ) = 0,25\times 0,10 + 0,75\times 0,05 = \np{0,0625}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On sélectionne au hasard un échantillon de $n$ patients qui ont été testés. On admet que l'on peut assimiler ce choix d'échantillon à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné. %\medskip \begin{enumerate} \item On suppose que $n = 50$. \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,\: p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = \np{0,0625}.$ On a une répétition de 50 épreuves indépendantes et identiques n'ayant que deux issues et dont le succès a pour probabilité $p=\np{0,0625}$; donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,\: p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = \np{0,0625}.$ \item $P(X = 7) = \ds\binom{50}{7}\times \np{0,0625}^{7}\times (1-\np{0,0625})^{50-7}\approx \np{0,0237}$ \item La probabilité qu'il y ait au moins un patient dans l'échantillon dont le test est erroné est: $P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1- \ds\binom{50}{0}\times \np{0,0625}^0\times (1-\np{0,0625})^{50}\approx \np{0,9603}$ \end{enumerate} \item On cherche la taille de l'échantillon faut-il choisir pour que $P(X \geqslant 10)$ soit supérieure à $0,95$. $P(X \geqslant 10)>0,95 \iff P(X < 10) \leqslant 0,05 \iff P(X \leqslant 9) \leqslant 0,05$ À la calculatrice, par essais successifs, on trouve: ~~\textbullet~~pour $n=247$, $P(X\leqslant 9) \approx \np{0,0514}$; ~~\textbullet~~pour $n=248$, $P(X\leqslant 9) \approx \np{0,0498}$. Il faut donc un échantillon de taille au moins 248 pour que $P(X\geqslant 10)\geqslant 0,95$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 7 points\hfill suites, fonctions} \medskip Soit $k$ un nombre réel. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = ku_n\left(1- u_n\right).\] %Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. %On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $k$. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$; on a donc, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 1,9u_n\left(1 - u_n\right)$. %\medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par $f(x) = 1,9x(1 - x)$. \begin{enumerate} \item On étudie les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~1]. $f'(x)=1,9 \left (1-x\right ) + 1,9x\times(-1) = 1,9 - 1,9x -1,9x = 1,9\left (1-2x\right )$ \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \def\esp{\hspace*{1.5cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline x & 0 & \esp & \frac{1}{2} & \esp & 1 \\ \hline f'(x) =1,9\left (1-2x\right )& & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline \end{array}$ \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} $f(0)=0$; $f\left (\frac{1}{2}\right) = 0,475$ et $f(1)=0$ On établit le tableau des variations de $f$ sur$[0\;; 1]$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & 0 & \esp & \frac{1}{2} & \esp & 1 \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{0,475} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item On peut en déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~0,475]$ donc $f(x) \in [0~;~1]$. \end{enumerate} \item Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$. %Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle. \medskip %%début \psset{unit=10cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \def\xmin{-0.3} \def\xmax{1.05} \def\ymin{-0.2} \def\ymax{0.65} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %%% grille 1cm x 1cm \psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(1,1) %%% axes \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) %%% origine \uput[dl](0,0){O} %%% définition de la fonction \def\f{1.9 x mul 1 x sub mul} %%% tracé de la représentation graphique de la fonction \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{\f} %%%% nom de la courbe \uput[10](0.8,0.3){\blue $\mathscr{C}_f$} %%% droite d'équation y = x \psplot[plotpoints=1000,linecolor=red!80]{0}{1}{x} \uput[d]{45}(0.65,0.65){\red $D : y=x$} %%% \pstfixpoint[options]{abscisse début}{fonction}{nb itérations} \psFixpoint[linecolor=red,ArrowInside=-<]{0.1}{\f}{3} \psline[linestyle=dashed](0.1,0.171)(0,0.171)\uput[l](0,0.171){\small $u_1 = f\left(u_0\right)$} \uput[d](0.1,-0.075){\small $u_0$} \psline[linestyle=dashed](0.171,0.171)(0.171,0)\uput[d](0.171,-0.075){\small $u_1$} \psline[linestyle=dashed](0.269,0.269)(0.269,0)\uput[d](0.269,-0.075){\small $u_2$} \psline[linestyle=dashed](0.374,0.374)(0.374,0)\uput[d](0.374,-0.075){\small $u_3$} \psline[linecolor=red](0.374,0.374)(0.374,0.445) \end{pspicture*} %%fin La suite $(u_n)$ semble croissante et semble converger vers l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $D$. \item \begin{enumerate} \item% En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \frac12.$ \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=0$, $u_n=u_0=0,1$ et $u_{n+1}=1,9 u_0 \left (1-u_0\right ) = 1,9\times 0,1 \times 0,9 = 0,171$; donc $0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant \frac{1}{2}$. La propriété est vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \frac12$. C'est l'hypothèse de récurrence. La fonction $f$ est croissante sur $\left [0\;; \frac{1}{2}\right ]$ donc $f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f\left (\frac12\right )$. $f(0)=0$, $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(u_{n+1}) = u_{n+2}$ et $f\left (\frac{1}{2}\right )=0,475 \leqslant \frac{1}{2}$ On en déduit que: $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \frac12$. Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. \newpage \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire; donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a: $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \frac12$. \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. \begin{list}{\textbullet}{De la propriété précédente, on tire:} \item pour tout $n$, $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante; \item pour tout $n$, $u_n\leqslant \frac{1}{2}$ donc la suite $(u_n)$ est majorée par $\frac{1}{2}$. \end{list} La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente. \item %Déterminer sa limite. On appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Comme pour tout$n$, $f\left(u_{n}\right) = u_{n+1}$ et que la fonction $f$ est continue, la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. On résout l'équation $f(x)=x$: $f(x)=x \iff 1,9x(1-x)= x \iff 1,9x(1-x)-x =0\\ \phantom{f(x)= x} \iff x\left (1,9 - 1,9x -1\right )=0 \iff x\left (0,9 - 1,9x\right )=0\\ \phantom{f(x)=x} \iff x=0 \text{ ou } 0,9-1,9x=0 \iff x=0 \text{ ou } x=\frac{0,9}{1,9}$ La suite $(u_n)$ est croissante donc $\ell \geqslant u_0$ soit $\ell \geqslant 0,1$. La seule solution possible est donc $\ell = \frac{0,9}{1,9}=\frac{9}{19}\approx 0,474$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Dans cette partie, $k= \frac12$ et $u_0 = \frac14$, donc, pour tout $n$,\: $u_{n+1} = \frac12 u_n \left(1 - u_n\right)$. On admet que pour tout entier naturel $n :\: 0 \leqslant u_n \leqslant \left(\frac12\right)^n$. %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite. $0<\dfrac{1}{2}<1$ donc la suite géométrique $(v_n)$ définie pour tout $n$ par $v_n=\left (\dfrac{1}{2} \right )^n$ est convergente vers 0. Pour tout $n$, $ 0 \leqslant u_n \leqslant \left(\dfrac12\right)^n$ et $\ds\lim_{n\to +\infty} 0 = \ds\lim_{n\to +\infty} \left (\frac{1}{2}\right )^n=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite 0. \item On considère la fonction Python \texttt{algo(p)} où \texttt{p} désigne un entier naturel non nul: \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \texttt{def algo(p) :}\\ \quad \texttt{u =1/4}\\ \quad \texttt{n = 0}\\ \quad \texttt{while u > 10**(-p):}\\ \quad \qquad \texttt{u = 1/2*u*(1 - u)}\\ \quad \qquad \texttt{n = n+1}\\ \quad \texttt{return(n)}\\ \hline \end{tabular} \end{center} La boucle s'arrête quand \texttt{u} est inférieur ou égal à \texttt{10**(-p)}, c'est-à-dire pour la première valeur de $n$ vérifiant $u_n \leqslant 10^{-p}$. Comme $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$, il y a une première valeur $n_0$ à partir de laquelle $u_n \leqslant 10^{-p}$ pour tout $n\geqslant n_0$. La boucle \texttt{while} ne tourne donc pas indéfiniment, ce qui permet à la commande \texttt{algo(p)} de renvoyer une valeur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 7 points\hfill fonctions} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x\in \; ]0~;~+ \infty[$ par: $g(x) = \dfrac{2 \ln x}{ x}.$ %\smallskip \begin{enumerate} \item On note $g'$ la dérivée de $g$. On a: $g'(x)=\dfrac{2\dfrac{1}{x}\times x - 2\ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{2-2\ln x}{x^2}$ \item On dispose de ce tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ : \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & 0 & \esp\esp & \e & \esp & +\infty \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline &\vline\;\vline & & \Rnode{max}{\frac{2}{\e}} & & \\ \text{Variations} \atop \text{de }g & \vline\;\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ &\vline\;\vline \Rnode{min1}{~-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \rput*(-5,0.915){\Rnode{zero}{0}} \rput(-5,2.55){\Rnode{alpha}{1}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} %\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}} %\rput(-1.3,2.4){\Rnode{beta}{\red \beta}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} %\smallskip % %Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau: \begin{enumerate} \item La valeur $\dfrac{2}{\text{e}}$ est l'image de e par $f$: $f(\e)=\dfrac{2\ln\e}{\e} = \dfrac{2}{\e}$. \item %les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ; $g'(x)= \dfrac{2-2\ln x}{x^2}$ donc $g'(x)$ est du signe de $2-2\ln x=2\left (1-\ln x\right )$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Sur $]0\;;\e[$, $\ln x < 1$ donc $1-\ln x>0$ donc $g'(x)>0$; la fonction $g$ est strictement croissante sur cet intervalle. \item Sur $]\e\;; +\infty[$, $\ln x >1$ donc $1-\ln x<0$ donc $g'(x)<0$; la fonction $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle. \end{list} \item On justifie les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\ds\lim_{x\to 0\atop x>0} 2\ln x = -\infty$ et $\ds\lim_{x\to 0\atop x>0} \dfrac{1}{x}=+\infty$. \\ Donc, par produit de limites, $\ds\lim_{x\to 0\atop x>0} g(x)= \ds\lim_{x\to 0\atop x>0} 2\ln x\times \dfrac{1}{x}=-\infty$. \item D'après le cours, $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} g(x)=0$. \end{list} \end{enumerate} \item On en déduit le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \def\esp{\hspace*{1.1cm}} $\begin{array}{|c |l *{3}{c} r|} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp\esp & +\infty \\ \hline \text{signe de }g(x) & \vline\;\vline & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & 0 \\ \hline \end{array}$ \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = [\ln (x)]^2.$ Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$. $[(u(x)^2]' = 2u'(x)u(x)$ donc $f'(x)= 2\times \dfrac{1}{x}\times \ln x = \dfrac{2\ln x}{x}=g(x)$ Donc sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$. \item %À l'aide de la partie 1, étudier : \begin{enumerate} \item On étudie la convexité de la fonction $f$. D'après les questions précédentes, la fonction $g$, dérivée de la fonction $f$, est croissante sur $]0\;; \e[$, donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle. De même, la fonction $g$, dérivée de la fonction $f$, est décroissante sur $]\e\;; +\infty[$, donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle. De plus, la fonction $g$ donc la fonction $f'$, change de sens de variation en $x=\e$, donc la courbe représentant la fonction $f$ admet un point d'inflexion en $x=\e$. \item On étudie les variations de la fonction $f$ en utilisant le signe de $f'=g$. Sur l'intervalle $]0\;; 1[$, la fonction $g$ est négative donc $f'$ est négative; la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur cet intervalle. Sur l'intervalle $]1\;; +\infty[$, la fonction $g$ est positive donc $f'$ est positive; la fonction $f$ est donc strictement croissante sur cet intervalle. De plus on peut dire que la fonction $f$ admet un minimum pour $x=1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse e est: $y=f'(\e)\left (x-\e\right )+f(\e)$. On a: $f'(\e) = g(\e)=\dfrac{2}{\e}$; $f(\e)=\left (\ln\e\right )^2=1$ L'équation devient: $y=\dfrac{2}{\e}\left (x-\e\right ) +1$ soit $y=\dfrac{2}{\e}x -2+1$ c'est-à-dire $y=\dfrac{2}{\e}x-1$. \item %En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0~;~\text{e}]$: $[\ln (x)]^2 \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.$ La courbe représentant $f$ admet un point d'inflexion en $x=\e$ donc la tangente en ce point coupe la courbe; à gauche du point, la fonction est convexe donc la courbe est au dessus de cette tangente. On en déduit que sur $]0~;~\e]$, on a: $[\ln (x)]^2 \geqslant \dfrac{2}{\e}x - 1.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 7 points\hfill géométrie dans le plan et dans l'espace} \medskip On considère le cube ABCDEFGH. On note I le milieu du segment[EH] et on considère le triangle CFI. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AD}},\: \vect{\text{AE}}\right)$ et on admet que le point I a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac12;~1\right)$ dans ce repère. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.4,8) \pspolygon(0.2,0.8)(4.6,0.2)(4.6,4.6)(0.2,5.2)%BCGF \psline(4.6,0.2)(7.2,2.6)(7.2,7)(4.6,4.6)%CDHG \psline(7.2,7)(2.8,7.6)(0.2,5.2)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.2,0.8)(2.8,3.2)(7.2,2.6)%BAD \psline[linestyle=dashed](2.8,3.2)(2.8,7.6)%AE \psline(5,7.3)(0.2,5.2)(4.6,0.2)%IFC \psline[linestyle=dashed](5,7.3)(4.6,0.2)%IC \psdots(2.8,3.2)(0.2,0.8)(4.6,0.2)(7.2,2.6)(2.8,7.6)(0.2,5.2)(4.6,4.6)(7.2,7)(5,7.3)(2.4,4.9) \uput[l](2.8,3.2){A} \uput[l](0.2,0.8){B} \uput[dr](4.6,0.2){C} \uput[r](7.2,2.6){D} \uput[u](2.8,7.6){E} \uput[l](0.2,5.2){F} \uput[dl](4.6,4.6){G} \uput[ur](7.2,7){H} \uput[u](5,7.3){I} \uput[u](2.4,4.9){J} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les coordonnées des points C, F et G sont: $\text{C}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\text{F}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\text{G}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ \item Soit le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$.% est normal au plan (CFI). \begin{list}{\textbullet}{} \item $\vectt{CF}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$; $\vect{n}\cdot \vectt{CF} = 1\times 0+2\times (-1) + 2\times 1=0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{CF}$ \item $\vectt{CI}\begin{pmatrix}-1\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$; $\vect{n}\cdot \vectt{CI} = 1\times (-1)+2\times (-\frac{1}{2}) + 2\times 1=0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{CI}$ \item Les points C, F et I ne sont pas alignés donc ces trois points forment le plan (CFI) dont $\vectt{CF}$ et $\vectt{CI}$ sont deux vecteurs directeurs. \end{list} Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (CFI) donc il est normal au plan (CFI). \item% Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (CFI) est : $x + 2y + 2z - 3 = 0$. D'après la question précédente, le plan (CFI) a une équation de la forme \\ $x+2y+2z+d=0$ où $d\in\R$. $\text{C} \in (\text{CFI})$ donc $x_{\text{C}}+2y_{\text{C}}+2z_{\text{C}}+d=0$ soit $1+2\times 1 +2\times 0+d=0$ donc $d=-3$. Une équation cartésienne du plan (CFI) est donc: $x + 2y + 2z - 3 = 0$. \end{enumerate} \item On note $d$ la droite passant par G et orthogonale au plan (CFI). \begin{enumerate} \item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. La droite $d$ est orthogonale au plan (CFI); elle a donc le vecteur $\vect{n}$ comme vecteur directeur. De plus elle passe par le point G. C'est donc l'ensemble des points M de coordonnées $(x\;; y\;; z)$ tels que $\vectt{GM}$ et $\vect n$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\vectt{GM} =t.\vect n$ avec $t\in\R$. $\vectt{GM} =t.\vect n \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} r} x-1 & t\\ y-1 & 2t\\ z-1 & 2t \end{array} \right . $ La droite $d$ a donc pour représentation paramétrique: $\left \{ \begin{array}{l !{=} r} x & 1+t\\ y & 1+2t\\ z &1+ 2t \end{array} \right . \text{ avec }t\in\R$ \item %Démontrer que le point K$\left(\dfrac79~;~\dfrac59~;~\dfrac59\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (CFI). La droite $d$ est orthogonale au plan (CFI) donc le projeté orthogonal K du point G de la droite $d$ sur le plan (CFI), est le point d'intersection de $d$ et de (CFI); donc ses coordonnées $(x\;; y\;; z)$ vérifient le système: $\left \{ \begin{array}{r !{=} l} x & 1+t\\ y & 1+2t\\ z &1+ 2t\\ x+2y+2z-3 & 0 \end{array} \right .$ On a donc: $(1+t) +2\left (1+2t\right ) + 2\left (1+2t\right ) -3=0$, ce qui donne: \\ $1+t+2+4t+2+4t-3=0$ soit $9t=-2$ donc $t=-\frac{2}{9}$. $\left \{ \begin{array}{r !{=} r !{=} l !{=} l} x & 1+t & 1 -\frac{2}{9} & \frac{7}{9}\\[4pt] y & 1+2t & 1- 2\times \frac{2}{9} & \frac{5}{9}\\[4pt] z &1+ 2t & 1- 2\times \frac{2}{9} & \frac{5}{9} \end{array} \right .$ Donc le projeté orthogonal K du point G sur le plan (CFI) a pour coordonnées $\left (\dfrac{7}{9}\;; \dfrac{5}{9}\;; \dfrac{5}{9} \right )$. \item La distance du point G au plan (CFI) est: $\text{GK}= \ds\sqrt{(x_{\text K} - x_{\text G})^2 + (y_{\text K} - y_{\text G})^2 +(z_{\text K} - z_{\text G})^2 } = \ds\sqrt{\left ( \frac{7}{9} - 1\right )^2 + \left ( \frac{5}{9} - 1\right )^2+\left ( \frac{5}{9} - 1\right )^2}\\ \phantom{\text{GK}} = \ds\sqrt{\left ( -\frac{2}{9}\right )^2 + \left ( -\frac{4}{9}\right )^2+\left ( -\frac{4}{9}\right )^2} =\ds\sqrt{\frac{4}{81} + \frac{16}{81} + \frac{16}{81}} =\ds\sqrt{ \frac{36}{81}} = \frac{6}{9} = \frac23$. \end{enumerate} \item On considère la pyramide GCFI. %\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule} % %\[V = \frac13 \times b \times h,\] % %\emph{où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base}. \begin{enumerate} \item %Démontrer que le volume de la pyramide GCFI est égal à $\dfrac16$, exprimé en unité de volume. Si on considère que I est le sommet de la pyramide, la base en est le triangle GFC rectangle en G. Le projeté orthogonal de I sur le plan (GFC) est le point J, milieu de [FG], et $\text{IJ}=1$ donc la hauteur $h$ vaut 1. Le triangle GFC a pour aire $\dfrac{\text{GF}\times \text{GC}}{2} = \dfrac{1}{2}$. La pyramide GCFI a donc pour volume, en unité de volume: $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1 = \dfrac{1}{6}$. \item Appelons $\mathcal{A}$ l'aire du triangle CFI. Si on considère que G est le sommet de la pyramide, la base en est le triangle CFI d'aire $\mathcal{A}$. Le projeté orthogonal de G sur le plan (CFI) est le point K, donc la hauteur $h$ vaut GK soit $\dfrac{2}{3}$. La pyramide GCFI a donc pour volume: $\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2\mathcal{A}}{9}$. Or le volume de la pyramide vaut $\dfrac{1}{6}$, donc $\dfrac{2\mathcal{A}}{9} = \dfrac{1}{6}$ donc $\mathcal{A}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$. L'aire du triangle CFI est, en unité d'aire, égale à $\dfrac{3}{4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}