\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès % Correction : François Hache \usepackage{pst-all,pst-node} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand*{\point}[4]{ \psdots(#1,#2) \uput[#3](#1,#2){#4} } % permet de placer un point et de marquer son nom en même temps % abscisse ordonnée emplacement et nom \setlength{\voffset}{0.5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Pondichéry 16 avril 2015 - }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small 16 avril 2015} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2015~\decofourright}} \end{center} \subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.} % %\medskip % %L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables %et des clés USB. %\bigskip % %\textbf{Partie A} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} %Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service %après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi: % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs vendus, 5\,\% ont été retournés pour un defaut de batterie et parmi ceux-ci, 2\,\% ont aussi un disque dur défectueux. %\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5\,\% ont un disque dur défectueux. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits. % %Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur : % %\medskip \begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l} On appelle & $B$ l'événement \og{}la batterie est défectueuse\fg{};\\ & $D$ l'événement \og{}le disque dur est défectueux\fg. \end{tabular} On représente la situation décrite dans le texte par un arbre pondéré: \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\taput{\small 0,05}} { \TR{$D$}\taput{\small $0,02$} \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small \red $1-0,02=0,98$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline B$}\tbput{\small \red $1-0,05=0,95$}} { \TR{$D$}\taput{\small 0,05} \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small\red $1-0,05=0,95$} } } \end{center} \medskip \emph{Proposition} 1 -- {\bf Fausse} \emph{La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à $0,08$ à $0,01$ près.} \smallskip L'événement \og{}le micro n'a ni problème de batterie ni problème de disque dur\fg{} est $\overline B \cap \overline D$. D'après l'arbre: $P\left (\overline B \cap \overline D \right ) = P\left (\overline B\right ) \times P_{\overline B}\left (\overline D\right ) = 0,95\times 0,95 = \np{0,9025} \neq 0,08$ \medskip \emph{Proposition} 2 -- {\bf Vraie} \emph{La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à \np{0,0485}.} \smallskip On cherche $P(D)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(D)= P\left (B \cap D \right ) + P\left (\overline B \cap D \right ) =0,05\times 0,02 + 0,95\times 0,05 = \np{0,0010} + \np{0,0475} = \np{0,0485}$ \medskip \emph{Proposition} 3 -- {\bf Fausse} \emph{Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à $0,02$.} \smallskip On cherche $P_D(B)$: $P_D(B) = \dfrac{P\left (B \cap D\right )}{P(D)} = \dfrac{0,05\times 0,02}{\np{0,0485}} \approx \np{0,0206} > 0,02$ %\bigskip % %\textbf{Partie B} % %\medskip \subsubsection*{Partie B} %L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, %exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart-type $\sigma = 2$. %\medskip \emph{Proposition} 4 -- {\bf Vraie} \emph{La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10~h est inférieure à $0,2$.} \smallskip La variable aléatoire $X$ qui donne l'autonomie de la batterie suit la loi normale d'espérance $\mu=8$ et d'écart type $\sigma=2$. On cherche $P(X \pg 10)$. $\mu=8$ et $\sigma=2$ donc $10=\mu + \sigma$. D'après le cours, on sait que $P(\mu - \sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,68$ et pour des raisons de symétrie par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, on peut déduire que $P(X\pp \mu-\sigma) = P(X\pg \mu+\sigma)\approx \dfrac{1-0,68 \rule{0pt}{10pt}}{2}\approx 0,16$. Donc $P(X\pg 10)\approx 0,16<0,2$. \begin{center} \psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-3} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]% {->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax) \def\m{4}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \def\inf{2} \def\sup{6} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \uput[d](\m,0){$\mu=8$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) \uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$} \uput{14pt}[d](\inf,0){$=6$} \uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$} \uput{14pt}[d](\sup,0){$=10$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1) \uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) \uput[ur](8,0.2){$16\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) \uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$} \end{pspicture*} \end{center} %\bigskip % %\textbf{Partie C} % %\medskip \subsubsection*{Partie C} %L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant %que 98\,\% des clés commercialisées fonctionnent correctement. % %Sur \np{1000} clés prélevées dans le stock, $50$~clés se révèlent défectueuses. % %\medskip \emph{Proposition} 5 -- {\bf Fausse} \emph{Ce test, réalisé sur ces $\np{1000}$ clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.} Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est: {\centering $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\par} On a $p=0,98$ et $n=\np{1000}$. Donc l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95\,\%$ donnant le pourcentage de clés USB conformes dans un échantillon de taille \np{1000} est: \smallskip {\centering $I = \left[ 0,98- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,98\left(1-0,98\right)}}{\ds \sqrt{\np{1000}}}\:;\: 0,98 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,98\left(1-0,98\right)}}{\ds\sqrt{\np{1000}}} \right] \approx \cd{} 0,97\,;\, 0,99\cg$\par} \smallskip Sur \np{1000} clés, il y en a 50 de défectueuses donc la fréquence de clés conformes dans ce lot est $f=\dfrac{\np{1000}-50\rule{0pt}{12pt}}{\np{1000}}=0,95$. Or $f \not\in I$, donc il faut remettre en question la communication de l'entreprise. %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L} %\medskip % %Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En %juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région. % %Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8\,\% des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps. % %\medskip \begin{enumerate} \item% On considère l'algorithme suivant : % \begin{center} %\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|} %\hline %\textbf{Variables:} & $n$ est un nombre entier naturel\\ %&$C$ est un nombre réel\\ %\textbf{Traitement:}& Affecter à $C$ la valeur 300\\ % &Affecter à $n$ la valeur 0\\ % &Tant que $C < 400$ faire\\ %&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} % $C$ prend la valeur $C - C \times 0,08 + 50$\\ % $n$ prend la valeur $n+1$ % \end{tabular} \\ % &Fin Tant que\\ %\textbf{Sortie:} & Afficher $n$\\ %\hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item% Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. %Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche. On recopie et on complète le tableau correspondant à l'algorithme donné dans le texte: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{Test} $C < 400$& &vrai& vrai & vrai & vrai & vrai & \textcolor{red}{faux} \\ \hline \textbf{Valeur de} $C$& 300& 326& 350 & 372 & 392 & 411 &\\ \hline \textbf{Valeur de} $n$& 0& 1& 2 & 3 & 4 & \textcolor{red}{5} & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item% Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. La valeur affichée en sortie d'algorithme est $5$. Cela veut dire que pour l'année 5, c'est-à-dire en 2019, le nombre de colonies dépasse pour la première fois 400. \end{enumerate} \item On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année $2014 + n$. Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014. \begin{enumerate} \item% Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. D'une année sur l'autre, l'apiculteur perd 8\,\% de colonies donc il en reste 92\,\%. De plus, il installe 50 nouvelles colonies chaque printemps donc le nombre de colonies l'année $n+1$ est le nombre de colonies l'année $n$ multiplié par 0,92 auquel on va ajouter 50: pour tout $n$, $C_{n+1} = 0,92\times C_n+50$ \item On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$ ; donc $C_n= 625-V_n$. %Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$. $V_{n+1}=625-C_{n+1} = 625 - 0,92 \times C_n - 50 = 575 - 0,92\times \left (625 - V_n\right ) = 575 - 575 + 0,92 \times V_n \\ \phantom{V_{n+1}}= 0,92\times V_n$ \item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times 0,92^n$. D'après la question précédente, on peut déduire que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $V_0=625-C_0 = 325$. Donc, pour tout $n$, $V_n=V_0 \times q^n=325 \times 0,92^n$. Comme $C_n=625-V_n$, on peut dire que, pour tout $n$, $C_n=625-325\times 0,92^n$. \item% Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? Le mois de juillet 2024 correspond à $n=10$; l'apiculteur peut espérer posséder $C_{10}$ colonies soit: $C_{10}=625 - 325 \times 0,92^{10}\approx 484$ colonies. \end{enumerate} \item% L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif. \begin{enumerate} \item% Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ? Pour doubler le nombre initial de colonies, il faut atteindre au moins 600 colonies; il suffit donc de remplacer dans l'algorithme la ligne {\red \og{}Tant que $C<400$ faire\fg{}} par la ligne {\red \og{}Tant que $C < 600$ faire\fg{}}. \item% Donner une réponse à cette question de l'apiculteur. On cherche une valeur de $n$ pour laquelle $C_n \pg 600$: $\begin{array}{@{} l !{\iff} l !{\iff} l !{\iff} l } C_n \pg 600 & 625 - 325 \times 0,92^n \pg 600 & 25 \pg 325 \times 0,92^n & \dfrac{25}{325} \pg 0,92^n \\ & \ln\left (\dfrac{25}{325}\right ) \pg \ln\left (0,92^n\right ) & \ln\left (\dfrac{25}{325}\right ) \pg n\times \ln\left (0,92\right ) & \dfrac{\ln\left (\frac{25}{325}\right )\rule{0pt}{15pt}}{\ln\left (0,92\right )} \pp n \end{array}$ Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{25}{325}\right )}{\ln\left (0,92\right )} \approx 30,8$ donc au bout de 31 années, le nombre de colonies aura doublé. \smallskip \emph{Vérification: $C_{30}\approx 598$ et $C_{31}\approx 600$} \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois %sites peut, à toutes les minutes, soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites. % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d'utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,2. %\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,4. %\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n'y a pas de lien direct avec B. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %L'unité de temps est la minute, et à un instant $t = 0$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : $100,\: 0$ et $0$. % %On représente la distribution des internautes sur les trois sites après $t$ minutes par une matrice $N_t$; ainsi $N_0 = \begin{pmatrix}100& 0& 0\end{pmatrix}$. % %On suppose qu'il n'y a ni déconnexion pendant l'heure (de $t = 0$ à $t = 60$) ni nouveaux %internautes visiteurs. % %\medskip \begin{enumerate} \item% Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets A, B et C: \begin{center} { \begin{pspicture}(-2,-6)(8,1) %\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1) \psnode(0,0){A}{\red \bf A} \psnode(6,0){B}{\bf B} \psnode(3,-4.2){C}{\blue \bf C} \psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3} \ncarc[linecolor=red]{->}{A}{B} \Aput{\red 0,2} \ncarc[linecolor=red]{->}{A}{C} \Aput{\red 0,2} \nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{A}{.5cm} \Bput{\red 0,6} \ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,1} \ncarc{->}{B}{C} \Aput{0,4} \nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,5} \ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{A} \Aput{\blue 0,2} %\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{B} \Aput{\blue 0} \nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{C}{.5cm} \Bput{\blue 0,8} \end{pspicture} } \end{center} \item% Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe (dans l'ordre A, B, C). Si $a_n$, $b_n$ et $c_n$ sont respectivement les nombres de visiteurs sur les sites A, B et C à l'instant $t=n$, d'après le graphe, on aura: $\left \lbrace \begin{array}{l !{=} l !{+} l !{+} l} a_{n+1} & 0,6 a_n & 0,1 b_n & 0,2c_n\\ b_{n+1} & 0,2 a_n & 0,5 b_n & 0 c_n\\ c_{n+1} & 0,2 a_n & 0,4 b_n & 0,8c_n \end{array} \right. \iff \begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} & c_{n+1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,2 & 0,2\\ 0,1 & 0,5 & 0,4\\ 0,2 & 0 & 0,8 \end{pmatrix}$ Donc la matrice de transition associée à ce graphe est: $M= \begin{pmatrix} 0,6 & 0,2 & 0,2\\ 0,1 & 0,5 & 0,4\\ 0,2 & 0 & 0,8 \end{pmatrix}$ \end{enumerate} On donne $M^2 = \begin{pmatrix}0,42& 0,22& 0,36\\0,19& 0,27& 0,54\\0,28& 0,04& 0,68\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad M^{20} \approx \begin{pmatrix} \np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\ \np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\ \np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\end{pmatrix}.$ \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item $N_2 = N_1 \times M = N_0 \times M \times M = N_0 \times M^2 = \begin{pmatrix} 100 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,42 & 0,22 & 0,36\\ 0,19 & 0,27 & 0,54\\ 0,28 & 0,04 & 0,68 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 & 22 & 36 \end{pmatrix} $ On peut donc dire que, lors de la deuxième minute, il y a 42 internautes sur le site A, 22 sur le site B et 36 sur le site C. \item $N_0 \times M^{20} = N_{20}\approx \begin{pmatrix} 100 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,3125 & 0,125 & 0,5625\\ 0,3125 & 0,125 & 0,5625\\ 0,3125 & 0,125 & 0,5625 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31,25 & 12,5 & 56,25 \end{pmatrix} $ On peut conjecturer que l'état stable est $\begin{pmatrix} 31,25 & 12,5 & 56,25 \end{pmatrix}$. \emph{Ce que l'on peut vérifier simplement car $\begin{pmatrix} 31,25 & 12,5 & 56,25 \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} 31,25 & 12,5 & 56,25 \end{pmatrix}$.} \`A long terme, il y aura en moyenne 31,25 internautes connectés sur le site A, 12,5 sur le site B et 56,25 sur le site C. \item% Un des internautes transmet un virus à tout site qu'il visitera. % %Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation. À l'instant $t = 0$, le site C est infecté. \begin{enumerate} \item% Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 1$ le site A soit infecté ? La probabilité de passer du site C au site A en une minute est de 0,2; la probabilité qu'à l'instant $t=1$ le site A soit infecté est donc égale à 0,2. \item% Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 2$ les trois sites soient infectés ? Pour qu'en deux minutes les trois sites soient infectés, il faut aller de C vers A puis vers B, ou de C vers B puis vers A. C'est impossible d'aller de C vers B. On va de C vers A avec une probabilité de 0,2 et de A vers B avec une probabilité de 0,2; on va donc de C vers A puis vers B avec une probabilité de $0,2 \times 0,2=0,04$. La probabilité qu'à l'instant $t=2$ les trois sites soient infectés est donc égale à 0,04. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{EXERCICE 3 \hfill 4 points} \subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On s'intéresse à la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 2\left (x + 2\right )\e^{- x}$ %\textbf{Partie A} %\medskip \subsubsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item% Calculer $f (- 1)$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. $f(-1)=-2(-1+2)\e^{-(-1)}=-2\e \approx -5,44$ \item% Justifier que $f'(x) = 2(x + 1)\text{e}^{- x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$: $f'(x)=-2(1)\e^{-x} -2(x+2)(-1)\e^{-x}=(-2+2x+4)\e^{-x}=2(x+1)\e^{-x}$ \item% En déduire les variations de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x+1$ sur $\R$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Si $x<-1$, $f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cg{}-\infty\,;\, -1\cg$; \item Si $x>-1$, $f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cd{}-1\,;\, +\infty \cd$; \item $f'(-1)=0$ et $f$ admet un minimum en $-1$ égal à $f(-1)=-2\e$. \end{list} \end{enumerate} %\textbf{Partie B} %\medskip \subsubsection*{Partie B} Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ont été représentées. L'une de ces courbes représente la fonction $f$, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde. %Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la %fonction $f$. % %Indiquer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. \begin{center} \psset{xunit=1.1cm,yunit=0.55cm} \begin{pspicture*}(-2.,-6.5)(7,4) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-3,-6.5)(7,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.,-6.5)(7,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{7}{x 2 add 2 mul 2.71828 x exp div neg}\uput[d](1,-0.75){\red $\mathcal{C}_2$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{7}{2 x mul 2 add 2.71828 x exp div}\uput[u](1,1.5){\blue $\mathcal{C}_1$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{7}{2 x mul 2.71828 x exp div neg} \uput[d](1,-2.2){$\mathcal{C}_3$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} On sait que sur un intervalle: \hfill $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ $f''$ positive \hfill\null Il faut donc déterminer quelle fonction correspond à chacune des courbes $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$. \begin{list}{\textbullet}{} \item La seule courbe qui corresponde aux variations de la fonction $f$ est $\mathcal C_3$. \item La courbe $\mathcal C_1$ correspond à une fonction négative sur $\cg{}-\infty\,;\,-1\cd{}$ et positive sur $\cg{}-1\,;\,+\infty\cd{}$; c'est donc la courbe représentative de la fonction $f'$ car la fonction $f$ est décroissante sur $\cg{}-\infty\,;\,-1\cd{}$ et croissante sur $\cg{}-1\,;\,+\infty\cd{}$. \item La courbe $\mathcal C_2$ est donc la représentation graphique de la fonction $f''$. \end{list} Pour déterminer la convexité de la fonction $f$, il suffit de regarder le signe de la fonction $f''$: $f''>0$ sur l'intervalle $\cg{}-\infty\,;\,0 \cd{}$ donc la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\cg{}-\infty\,;\,0\cd{}$. %\vspace{0,5cm} % %\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points} \newpage \subsection*{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Une entreprise produit et vend des composants électroniques. % %Sa capacité mensuelle de production est comprise entre \np{1000} et \np{30000} pièces. On suppose que toute la production est commercialisée. % %\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.} %\bigskip % %\textbf{Partie A} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} On donne ci-dessous $R$ et $C$ les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{}. \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.007cm} \begin{pspicture}(-1,-50)(31,530) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \multido{\n=0+1}{32}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.05pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,500)} \multido{\n=0+50}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.05pt,linecolor=cyan](0,\n)(31,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(0,0)(31,520) \psplot{1}{30}{12.5 x mul}\uput[d](26.5,325){$R$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{ x dup mul 0.5 mul 6.5 x mul add 20 add x 2 mul x ln mul sub}\uput[u](26.5,375){\blue $C$} \uput[u](26,-10){\footnotesize nombre de pièces en milliers} \uput[r](0,520){\footnotesize milliers d'euros} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](21,0)(21,249)(0,249) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](3,0)(3,400) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](23,0)(23,400) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,arrowsize=2pt 2]{<->}(3,400)(23,400) \rput*(13,400){\blue\footnotesize zone de bénéfice} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](13,0)(13,122,3) \psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](13,162,5)(13,122,3) \end{pspicture} \end{center} %Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées. % %\medskip \begin{enumerate} \item% Quel est le coût de production de \np{21000} pièces? On trouve le coût de production de $\np{21000}$ pièces en cherchant l'image du nombre 21 par la fonction $C$: le coût de production de \np{21000} pièces est à peu près de \np{250000} euros. \item% Pour quelles quantités de pièces produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure au coût de production, c'est-à-dire quand la fonction $R$ est située au dessus de la fonction $C$: l'entreprise réalise un bénéfice pour une quantité de pièces produites comprise entre \np{3000} et \np{23000}. \item% Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ? L'entreprise réalise un bénéfice maximal quand, sur l'intervalle $\cd{}3\,;\,23\cg$, l'écart entre la fonction $R$ et la fonction $C$ est le plus grand; c'est autour de 13 donc le bénéfice est maximal pour une production de \np{13000} pièces. \end{enumerate} %\bigskip % %\textbf{Partie B} % %\medskip \subsubsection*{Partie B} Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces, est donné sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{} par $B(x) = - 0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln x.$ \begin{enumerate} \item% Montrer que $B'(x) = -x + 8 + 2\ln x$, où $B'$ est la dérivée de $B$ sur l'intervalle [1~;~30]. La fonction $B$ est dérivable sur \cd{}1~;~30\cg{} et $B'(x)=-0,5(2x)+6+2\ln x + 2x\times \dfrac{1}{x}=-x+6+2\ln x +2 = -x+8+2\ln x$ \item On admet que $B''(x) = - 1 + \dfrac{2}{x}$, où $B''$ est la dérivée seconde de $B$ sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{}. %Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~30]. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée $B'$: \smallskip %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(7,2.5) %\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5) %\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.1,1.9){$1$}\uput[u](4,1.9){$2$}\uput[u](6.75,1.9){$30$} %\rput(0.5,1){$B'(x)$}\uput[u](1.1,0){7}\uput[d](4,2){$6 + 2\ln 2$}\uput[u](6.1,0){$- 22 + 2 \ln 30$} %\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 1 & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 30 \\ \hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ %\hline & & & \Rnode{max}{6+2\ln 2} & & \\ B'(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{7} & & & & \Rnode{min2}{-22+2\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} % \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}} %\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} $B'(1)=-1+8=7$; $B'(2)=-2+8+2\ln 2 = 6+2\ln 2 \approx 7,4>0$; $B'(30)=-30+8+2\ln 30 = -22+2\ln 30 \approx -15,2<0$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Sur \cd{}1~;~2\cd{}: $1 \pp x < 2 \iff \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x} \pp 1 \iff 1< \dfrac{2}{x} \pp 2 \iff 0 < -1+\dfrac{2}{x} \pp 1 \Longrightarrow B''(x)>0$ donc $B'$ est strictement croissante. \item Sur \cg{}2~;~30\cg{}: $2 < x \pp 30 \iff \dfrac{1}{30} \pp \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{2}{30}\pp \dfrac{2}{x} <1 \iff -1+\dfrac{2}{30} \pp -1+\dfrac{2}{x} < 0 \Longrightarrow B''(x)<0$ donc $B'$ est strictement décroissante. \item En $x=2$, $B''(x)=0$; la fonction $B''$ s'annule et change de signe donc la fonction $B'$ admet un maximum égal à $B'(2)=6+2\ln 2$. \end{list} \newpage \item \begin{enumerate} \item% Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~30]. On a vu que $B'(1)>0$, $B'(2)>0$ et $B'(30)<0$; on complète le tableau de variations de $B'$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 1 & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 30 \\ \hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ %\hline & & & \Rnode{max}{6+2\ln 2} & & \\ B'(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{7} & & & & \Rnode{min2}{-22+2\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}} \rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} On peut en déduire que l'équation $B'(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle \cd{}1\,;\,30\cg{}, et que cette solution est dans l'intervalle \cg{}2\,;\,30\cd{}. \item% Donner une valeur approchée au millième de la valeur de $\alpha$. En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice, on trouve successivement: \begin{list}{\textbullet}{} \item $\left. \begin{array}{@{} l} B'(13) \approx 0,13 > 0\\ B'(14)\approx -0,72 < 0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in \cd{}13\,;\,14\cg{}$ \item $\left. \begin{array}{@{} l} B'(13,1) \approx 0,045 > 0\\ B'(13,2)\approx -0,04 < 0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,1\,;\,13,2\cg{}$ \item $\left. \begin{array}{@{} l} B'(13,15) \approx 0,003 > 0\\ B'(13,16)\approx -0,006 < 0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,15\,;\,13,16\cg{}$ \item $\left. \begin{array}{@{} l} B'(13,153) \approx \np{0,0003} > 0\\ B'(13,154)\approx \np{-0,0005} < 0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,153\,;\,13,154\cg{}$ \end{list} Donc 13,153 est une valeur approchée de $\alpha$ au millième. \smallskip \emph{On peut également utiliser le solveur de la calculatrice.} \end{enumerate} \item% En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice $B$ sur ce même intervalle. On peut déduire des questions précédentes que: \hfill \textbullet\ \ $B'(x) >0$ sur $\cd{}1\,;\,\alpha\cd{}$ \hfill \textbullet\ \ $B'(x) <0$ sur $\cg{}\alpha\,;\,30\cg{}$ \hfill \textbullet\ \ $B'(\alpha)=0$\hfill\null $B(1)=-0,5 +6 -20 +2\ln 1 = -14,5$; $B(30)=-0,5\times 30^2 +6\times 30 - 20 +2\times 30\times \ln 30= -290+60\ln 30$ D'où le tableau de variations de la fonction $B$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 1 & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & 30 \\ \hline B'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{B(\alpha)} & & \\ B(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-14,5} & & & & \Rnode{min2}{-290+60\,\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} % \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}} %\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item% Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal? %Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros)? L'entreprise réalise un bénéfice maximal quand $x=\alpha$ ce qui correspond à une production de \np{13153} pièces, à l'unité près. Ce bénéfice maximal vaut $B(\alpha)$. Or $\alpha \in \cd{}13,153\,;\,13,154\cg{}$ et $B(13,153)\approx 40,20$ et $B(13,154)\approx 40,20$ milliers d'euros. On peut donc dire que le bénéfice maximal, arrondi au millier d'euros, est de \np{40000} \euro. \end{enumerate} \end{document}