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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Denis Vergès et François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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pdftitle = {Pondichéry  22 avril 2016},
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pdfstartview=FitH} 

\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{22 avril 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

%\section*{\centering\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry~\decofourright \\ 22 avril 2016 -- {\red Corrigé}}
%
%\vspace{0,25cm}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry  22 avril 2016~\decofourright}}
\end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 4 points}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
% 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\medskip

%\emph{Les deux parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées de façon indépendante}
%

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de
%connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire $T$
%suivant une loi normale de moyenne $\mu = 13,9$ et d'écart type $\sigma$.
%
%La fonction densité de probabilité de $T$ est représentée ci-dessous :
%
\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.1)(30,3)
\psline(-1.5,0)(30,0)
\multido{\n=-1+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,-0.05)}
\def\m{13.9}% moyenne 
\def\s{4.1}% écart type
\def\f{30/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[d](10,0){10}\uput[d](13.9,0){13,9}
\psline[linestyle=dashed](13.9,0)(13.9,2.9)
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=red]{
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{22}{30}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{30}{22}{0}
\closepath
}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=red]{
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{5.8}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{5.8}{0}{0}
\closepath
}
\uput[d](22,0){\red 22} \uput[d](5.8,0){\red 5,8}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.5}{30}{\f}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On sait que $p(T \geqslant 22) =  0,023$.

%En exploitant cette information :
	\begin{enumerate}
		\item %hachurer sur le graphique donné un annexe, deux domaines distincts dont l'aire est égale à $0,023$ ;
Le premier domaine est limité par la courbe, l'axe des abscisses et la droite verticale d'équation $x = 22$.

L'autre domaine est le symétrique du premier par rapport à la droite d'équation $x=13,9$; $22-13,9=8,1$ et $13,9-8,1=5,8$.

Le second domaine est limité par la courbe, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 5,8$. Voir ci-dessus

		\item %déterminer $P(5,8 \leqslant T \leqslant 22)$. Justifier le résultat.
$P(5,8 \leqslant T \leqslant 22) = 1 - \left (P(T > 22) + P(T< 5,8)\right ) = 1 - 2 \times 0,023 = 1 - 0,046 = 0,954$

%Montrer qu'une valeur approchée de $\sigma$ au dixième est $4,1$.
D'après le cours, $P(\mu - 2\sigma \leqslant T \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954$, donc on a 

$P(13,9 - 2\sigma \leqslant T \leqslant 13,9 + 2\sigma) = 0,954$.

On en déduit que $\sigma$ vérifie $13,9-2\sigma = 5,8$ et $13,9+2\sigma=22$, ce qui donne $\sigma \approx 4,05$, soit 4,1 au dixième.

	\end{enumerate}

\item %On choisit un jeune en France au hasard.
	
%Déterminer la probabilité qu'il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.
	
%Arrondir au centième.
On cherche la probabilité qu'un jeune soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine, c'est-à-dire $P(T > 18)$.

On trouve à la calculatrice, en prenant $m=13,9$ et $\sigma=4,1$: $P(T > 18) \approx 0,16$.

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
%Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
% 
%La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur
%Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant
%au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage
%de réaliser un sondage.
% 
%Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi,
%elle propose le protocole $(\mathcal{P})$ suivant :
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X}
%On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.\\
%Pour chaque jeune de cet échantillon :
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ;
%l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;
%\item[$\bullet~~$] l'enquêteur pose la question : \og Effectuez-vous un téléchargement illégal au
%moins une fois par semaine ? \fg{} ;
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}\\
%\begin{tabular}{|m{11cm}|}\hline
%$\blacksquare$~~si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par
%\og Oui \fg{} ou \og Non\fg{} de façon sincère ;\\
%$\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 1 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Oui \fg{} ;\\
%$\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 3 ou 5 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Non \fg.\\ \hline
%\end{tabular}\\ 
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question
%posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
%
%\medskip
%
%On note $p$ la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une
%fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Calculs de probabilités}

%On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole $(\mathcal{P})$.
%
%On note : $R$ l'évènement \og le résultat du lancer est pair\fg,
%
%$O$ l'évènement \og le jeune a répondu Oui \fg.
%
%Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,nrot=:U,shortput=nab]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$}\naput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$O$}\naput{$p$}
	\TR{$\overline{O}$}\nbput{$1 - p$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$O$}\naput{$\frac{1}{3}$}
	\TR{$\overline{O}$}\nbput{$\frac{2}{3}$}
	}
}
\end{center}

\medskip

%En déduire que la probabilité $q$ de l'évènement \og le jeune a répondu Oui\fg{} est :
D'après la loi des probabilités totales :

$p(O) = p(R \cap O) + p\left(\overline{R} \cap O \right) = p(R) \times p_R(O) + p(\overline R) \times p_{\overline{R}}(O) = \dfrac{1}{2} \times p + \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}$.
%\[q = \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}.\]

\smallskip

Donc la probabilité $q$ de l'évènement \og le jeune a répondu Oui\fg{} est: $q = \dfrac{1}{2} p + \dfrac{1}{6}$.

\item \emph{Intervalle de confiance}

\medskip

	\begin{enumerate}

		\item %À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le
%protocole $(\mathcal{P})$. Sur un échantillon de taille \np{1500}, il dénombre $625$ réponses \og Oui \fg.
		
%Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion $q$
%de jeunes qui répondent \og Oui \fg{} à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
La fréquence de Oui est $f = \dfrac{625}{\np{1500}} = \dfrac{5}{12}$.

L'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion $q$ de jeunes qui répondent \og Oui \fg{} à un tel sondage est donc 

$\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~ f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{\sqrt{\np{1500}}}~;~ \dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{\sqrt{\np{1500}}}\right] \approx [0,390~;~0,443]$.
		
	\item %Que peut-on en conclure sur la proportion $p$ de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
	Si le protocole est correct on a donc :
	
$0,390 \leqslant \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6} \leqslant 0,443 \iff 2,340 \leqslant 3p + 1 \leqslant 2,658 \iff 1,340 \leqslant 3p \leqslant 1,658 \\
\phantom{0,390 \leqslant \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6} \leqslant 0,443} \iff \dfrac{1,340}{3} \leqslant p \leqslant \dfrac{1,658}{3}$ soit $0,446 \leqslant p \leqslant 0,553$
	
Le nombre de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet est entre 44,6\,\% et 55,3\,\%.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 \hfill Commun  à tous les candidats \hfill  3 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
% 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\medskip

%L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas
%un pentagone régulier.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère
%orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel
%que $\vect{OA_0} = \vect{u}$.
%
%On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur;
%\item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$
%appartiennent au cercle trigonométrique ;
%\item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a 
%
%$\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}}\hfill
%\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
%\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$}
%\psdots(-1,0)(0,0.5)%BJ
%\uput[u](-1,0){$B$}\uput[r](0,0.5){$J$}
%\psline(-1,0)(0,0.5)
%\uput[ul](-0.447,0.25){$K$} 
%\pscircle(0,0.5){0.5}
%\end{pspicture}
%}
%

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.

%Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.

%Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle $OBJ$ rectangle en $O$ donne :
  
$BJ^2  = BO^2 + OJ^2 = 1^2  + \left (\dfrac{1}{2}\right )^2  = \dfrac{5}{4} \Rightarrow BJ = \ds\sqrt{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

$BK = BJ - KI = \dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
L'affixe de $A_2$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{2\pi}{5} + \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{4\pi}{5}$. Donc $z_{A_2} = \text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}}$

		\item %Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
$BA_2\,^2 = \left|z_{A_2} - z_{B} \right|^2 
= \left|\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}} - (- 1) \right|^2 
= \left|\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}} + 1 \right|^2 
= \left|\cos \dfrac{4\pi}{5} + 1 + \text{i}\sin  \dfrac{4\pi}{5}\right|^2 \\
\phantom{BA_2\,^2} = \left(\cos \dfrac{4\pi}{5} + 1 \right)^2 + \sin ^2 \dfrac{4\pi}{5}
= \cos^2 \dfrac{4\pi}{5}  + 2\cos \dfrac{4\pi}{5} + 1 + \sin^2 \dfrac{4\pi}{5} 
= 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$
 
		\item %Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
%1&cos (4*pi/5)\\
%&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline
%&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%\end{tabularx}

%\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg
%\end{center}

%En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
D'après le logiciel de calcul formel, $\cos \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{1}{4}\left (-\sqrt{5}- 1\right )$ donc:

$BA_2^2 = 2 + 2\times \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right) = 2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Donc $BA_2 = \ds\sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{1}{2}\left (\sqrt{5}-1\right )$ d'après le logiciel de calcul formel.

On en déduit que $BA_2=BK$.

 	\end{enumerate}
 	
\item %Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

\begin{list}{\textbullet}{Procédé de construction (voir figure page \pageref{Pondi_S_fig2}):}

\item Soit $C$ le point de coordonnées (0~;~1). La médiatrice de $[\text{O}C]$ coupe l'axe des ordonnées au point $J$ de coordonnées $\left(0~;~\frac{1}{2}\right)$.

On place le point  $B$ sur l'axe des abscisses, d'abscisse négative tel que OB = 2OJ, on construit  $[BJ]$ et le cercle $\mathcal C$ centré en $J$ passant par $O$ donc de rayon $\dfrac{1}{2}$ ;

\item on obtient le point $K$ à l'intersection du cercle $\mathcal C$ et du segment $[BJ]$;

\item le cercle de centre $B$ de rayon $BK$ coupe le cercle unitaire aux points $A_2$ et $A_3$ ;

\item le cercle de centre $A_2$ passant par $A_3$ recoupe le cercle unitaire en $A_1$;

\item le cercle de centre $A_3$ passant par $A_2$ recoupe le cercle unitaire en $A_4$;

\item le point $A_0$ est le point d'affixe 1.

\end{list}

\end{enumerate}

\begin{figure}[!t]
\label{Pondi_S_fig2}
\centering
\psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
%\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psarc(0,0){0.5}{85}{95}\psarc(0,0){0.5}{175}{185}
%\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$}  \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$}
\psdots(-1,0)(0,0.5)%BJ
\uput[ul](-1,0){$B$}\uput[r](0,0.5){$J$}
\psline[linecolor=blue](-1,0)(0,0.5)
\uput[ul](-0.447,0.25){$K$} 
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,0.5){0.5}\uput[dr](0.4,0.2){\blue $\mathcal C$}
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,0){1}
\psarc[linestyle=dashed](-1,0){0.618}{-90}{90}
\uput[ul](1;144){$A_2$}\uput[dl](1;216){$A_3$}
\psarc[linestyle=dashed](1;144){1.1756}{-90}{30}
\uput[ur](1;72){$A_1$}
\psarc[linestyle=dashed](1;216){1.1756}{-30}{90}
\uput[dr](1;-72){$A_4$}
\uput[0](1,0){$A_0$}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.5pt](1,0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.2}{15}{35}
\psarc[linestyle=dashed](0,1){1.2}{-35}{-15}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.2}{150}{170}
\psarc[linestyle=dashed](0,1){1.2}{-170}{-150}
\psline[linewidth=0.2pt](-1.1,0.5)(1.1,0.5)
\uput[ul](0,1){$C$}
\end{pspicture}
\end{figure}

\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill  5 points}


%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
% 
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\parbox{0.48\linewidth}{ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
%
%Le point I est le milieu du segment [BF].
%
%Le point J est le milieu du segment [BC].
%
%Le point K est le milieu du segment [CD].}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(8,7.8)
%\psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF
%\psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF
%\psline(7.2,7.2)(5,5)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE
%\psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD
%\uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} 
%\uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} 
%\uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} 
%\uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K}
%\psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) 
%\end{pspicture}
%}
%
%\bigskip
%
%
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip

%\textbf{Dans cette partie, on ne demande aucune justification}
%
%\medskip

On admet que les droites $(IJ)$ et $(CG)$ sont sécantes en un point $L$.

\begin{tabular}{@{} l !{\textbullet\ } l}
On construit: & le point $L$ ;\\
              & l'intersection $\mathcal{D}$ des plans $(IJK)$ et $(CDH)$;\\
              & la section du cube par le plan $(IJK)$.
\end{tabular}


\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\def\xmin{-4} \def\xmax{8} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{9}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstGeonode[PosAngle={-135,-45,-45,100},CurveType=polygon,PointSymbol=none]
           (0,0){B}(5,0){C}(5,5){G}(0,5){F}
\pstGeonode[PosAngle={-30,-45,135},CurveType=polyline,PointSymbol=none]
           (7,2){D}(7,7){H}(2,7){E}
\pstGeonode[PosAngle=150,PointSymbol=none](2,2){A}
\psline(C)(D) \psline(G)(H) \psline(F)(E)
\psline[linestyle=dashed](B)(A)(E)
\psline[linestyle=dashed](A)(D) 
\pstMiddleAB[PosAngle=-135]{B}{F}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=-135]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB[PosAngle=-30]{C}{D}{K}
\pstInterLL[PosAngle=10]{I}{J}{C}{G}{L}
\pstLineAB[nodesep=-1]{G}{L}
\pstInterLL{L}{K}{D}{H}{T}
\pstInterLL[PosAngle=90]{I}{J}{G}{F}{R}
\pstLineAB[nodesep=-1]{R}{L}
\pstInterLL[PosAngle=-45]{L}{K}{G}{H}{N}

\psline[linestyle=dashed](J)(K)
\pstLineAB[nodesep=-1]{R}{N}
\pstLineAB[nodesep=-1]{R}{G}
\pstLineAB[nodesep=-1]{N}{G}
\pstInterLL[PosAngle=130]{R}{N}{E}{F}{S}
\pstInterLL[PosAngle=90]{R}{N}{E}{H}{Q}
\psline[linestyle=dashed](I)(S)
\psline[linestyle=dashed](Q)(T)
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red,hatchangle=-60,linewidth=0]
          (I)(J)(K)(T)(Q)(S)
\pstLineAB[nodesep=-1,linecolor=blue]{L}{N}
\uput[dr](5.5,-1){$\blue \mathcal D$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\newcommand{\coo}[3]{\left( #1\,;\,#2\,;\,#3\right)}

%\medskip

L'espace est rapporté au repère $\left({A}~;~\vect{{AB}},~\vect{{AD}},~\vect{{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Donner les coordonnées de $A$, $G$, $I$, $J$ et $K$ dans ce repère.
Dans le repère $\left({A}~;~\vect{{AB}},~\vect{{AD}},~\vect{{AE}}\right)$, les coordonnées des sommets du cube sont:

$A\coo{0}{0}{0}$, $B\coo{1}{0}{0}$, $D\coo{0}{1}{0}$,
$E\coo{0}{0}{1}$, $C\coo{1}{1}{0}$, $F\coo{1}{0}{1}$,
$H\coo{0}{1}{1}$, $G\coo{1}{1}{1}$.

Le point $I$ est le milieu de $[BF]$ donc 
$I$ a pour coordonnées $\coo{1}{0}{\dfrac{1}{2}}$.

Le point $J$ est le milieu de $[BC]$ donc 
$J$ a pour coordonnées $\coo{1}{\dfrac{1}{2}}{0}$.

Le point $K$ est le milieu de $[CD]$ donc 
$K$ a pour coordonnées $\coo{\dfrac{1}{2}}{1}{0}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le vecteur $\vect{AG}$ a les mêmes coordonnées que le point $G$ c'est-à-dire $\coo{1}{1}{1}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item
$\vect{IJ}$ a pour coordonnées $\coo{1-1}{\dfrac{1}{2}-0}{0-\dfrac{1}{2}}= \coo{0}{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}$.

$\vect{AG}\,.\,\vect{IJ} = 1\times 0 + 1\times \dfrac{1}{2} + 1\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right )=0$ donc $\vect{AG} \perp \vect{IJ}$

\item
$\vect{JK}$ a pour coordonnées $\coo{\dfrac{1}{2}-1}{1-\dfrac{1}{2}}{0-0}= \coo{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}{0}$.

$\vect{AG}\,.\,\vect{JK} = 1\times \left (-\dfrac{1}{2}\right ) + 1\times \dfrac{1}{2} + 1\times 0=0$ donc $\vect{AG} \perp \vect{JK}$

\end{list}

Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{JK}$ ne sont pas colinéaires; le vecteur $\vect{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$ donc il est normal au plan $(IJK)$.

		\item% En déduire une équation cartésienne du plan $(IJK)$.
Le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(IJK)$; le plan $(IJK)$ est l'ensemble des points $P\coo{x}{y}{z}$ de l'espace tels que $\vect{IP}$ est orthogonal à $\vect{AG}$:

Le vecteur $\vect{IP}$ a pour coordonnées
$\coo{x-1}{y-0}{z-\dfrac{1}{2}} = \coo{x-1}{y}{z-\dfrac{1}{2}}$.

$\vect{AG}\,.\,\vect{IP} = 0
\iff
1\times (x-1) + 1\times y + 1\times \left (z - \dfrac{1}{2}\right) = 0
\iff
x+y+z-\dfrac{3}{2}=0$

Le plan $(IJK)$ a pour équation $x + y+ z- \dfrac{3}{2} = 0$.
 
 	\end{enumerate}

\item  On désigne par $M$ un point du segment $[AG]$ et $t$ le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que
$\vect{AM} = t\vect{AG}$; donc le point $M$ a pour coordonnées $\coo{t}{t}{t}$.
	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que $MI^2 = 3t^2 - 3t + \dfrac{5}{4}$.
$IM^2 = \left (t-1 \right )^2 + \left ( t-0\right )^2 + \left ( t-\dfrac{1}{2}\right )^2
= t^2-2t+1 +t^2 + t^2 -t + \dfrac{1}{4}
= 3 t^2 -3 t + \dfrac{5}{4}$

		\item% Démontrer que la distance $MI$ est minimale pour le point $N\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
Le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a>0$ est minimal pour $x=-\dfrac{b}{2 a}$, donc $3 t^2 -3 t + \dfrac{5}{4}$ est minimal pour $t=-\dfrac{-3}{2 \times 3}$ donc pour $t=\dfrac{1}{2}$.

$MI^2$ donc $MI$ est minimal pour $t=\dfrac{1}{2}$; cela correspond au point  $M_m$ de coordonnées $\coo{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}$. 

			\end{enumerate}
\item% Démontrer que pour ce point $N\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ :
	\begin{enumerate}
		\item% $N$ appartient au plan $(IJK)$.
Le plan $(IJK)$ a pour équation $x+y+z-\dfrac{3}{2}=0$ et le point $M_m$ a pour coordonnées $\coo{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}$.

$x_{M_m} + y_{M_m} + z_{M_m} - \dfrac{3}{2}= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = 0$ donc $M_m \in (IJK)$

		\item% La droite $(IN)$ est perpendiculaire aux droites $(AG)$ et $(BF)$.

Les points $I$ et $M_m$ appartiennent au plan $(IJK)$ et le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(IJK)$; on en déduit que les droites $(IJ)$ et $(AG)$ sont orthogonales.

Mais le point $M_m$ est le milieu de $[AG]$ donc il appartient à $(AG)$.

On peut donc en déduire que les droites $(IM_m)$ et $(AG)$ sont perpendiculaires en $M_m$. 		
		
\smallskip		
		
Le vecteur $\vect{IM_m}$ a pour coordonnées $\coo{\dfrac{1}{2}-1}{\dfrac{1}{2}-0}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}}=\coo{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}{0}$

$\vect{BF}=\vect{AE}$ donc le vecteur $\vect{BF}$ a pour coordonnées $\coo{0}{0}{1}$.

$\vect{BF}\,.\,\vect{IM_m} = 0\times \left (-\dfrac{1}{2}\right ) +0\times \dfrac{1}{2} + 1\times 0 = 0$ donc $\vect{BF} \perp \vect{IM_m}$ donc la droite $(IM_m)$ est orthogonale à la droite  $(BF)$.

Mais le point $I$ appartient aux deux droites $(IM_m)$ et $(BF)$ donc on peut dire que les droites $(IL)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires en $I$.

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 3 \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill  5 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
% 
%\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les matrices $M$ de la forme 
$M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$
où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.

Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note $\det(M)$;
ainsi det$(M) = 3a - 5b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on suppose que $\det(M) \ne  0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.

%Justifier que $N$ est l'inverse de $M$.

$MN = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix} \times \dfrac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix} 
= \dfrac{1}{3a-5b}
\begin{pmatrix}
3 a - 5 b & -ab + ab \\ 15 - 15 & -5 b + 3 a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$

$NM = \dfrac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}  
= \dfrac{1}{3a-5b}
\begin{pmatrix}
3 a - 5 b & 3 b - 3 b \\ -5 a  + 5 a & -5 b + 3 a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$

Donc $N$ est la matrice inverse de la matrice $M$.

\item On considère l'équation $(E) :\quad  \text{det}(M) = 3$.

%On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$.

	\begin{enumerate}

		\item% Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.
$\det(M) = 3 \iff 3 a - 5 b = 3$

$3 \times 6 - 5 \times 3 = 18 - 15 = 3$ donc le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.


		\item% Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3 (a - 6) = 5 (b - 3)$.
 
%En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
 
\begin{list}{\textbullet}{}

\item On suppose que le couple $(a\,;\,b)$ est solution de $(E)$.

$\begin{array}{@{} l l !{-} l !{=} l l}
 & 3 a & 5 b & 3 & \\
(6\,;\,3) \text{ est solution} &3\times 6 & 5 \times 3 & 3 & \\
\cline{2-4}
\text{par soustraction} & 3 (a-6) & 5 (b-3) & 0 & \iff 3 (a-6) = 5 (b-3)
\end{array}$

\item Réciproquement, si $(a\,;\,b)$ vérifie $3 (a-6) = 5 (b-3)$ alors:

$3a-18 = 5b-15 \iff 3a-5b = 3$ donc $(a\,;\,b)$ est solution de $(E)$.

\end{list} 
 
Donc  $(a\,;\,b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a-6)=5(b-3)$.

On cherche les solutions de l'équation $(E)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $3(a-6)=5(b-3)$, alors 3 divise $5(b-3)$; or 3 et 5 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de \textsc{Gauss}, 3 divise $b-3$. Cela veut dire que $b-3$ s'écrit $3k$ avec $k$ entier relatif.

$3(a-6)=5(b-3)$ et $b-3=3k$ donc $3(a-6) = 5\times 3k$ ce qui équivaut à $a-6=5k$

$a-6=5k \iff a=6+5k$ et $b-3=3k \iff b=3+3k$ où $k\in \Z$

Les solutions de $(E)$ sont donc dans l'ensemble 
$\left\lbrace (6+5k\,;\, 3+3k) \rule{0pt}{12pt}\right\rbrace_{k \in \Z} $

\item Réciproquement, si $a=6+5k$ et $b=3+3k$ avec $k\in \Z$, $3a-5b = 3(6+5k) -5(3+3k) = 18 + 15k -15 -15k = 3$ donc $(a\,;\,b)$ est solution de $(E)$.

\end{list}

L'ensemble solution de $(E)$ est 
$\left\lbrace (6+5k\,;\, 3+3k) \rule{0pt}{12pt}\right\rbrace_{k \in \Z}$
 
 	\end{enumerate}
 	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$.

%En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.

$\det(Q)=6\times 3 - 5\times 3 = 18-15=3 \neq 0$ donc la matrice $Q$ admet pour inverse la matrice 

$Q^{-1} =
\dfrac{1}{\det(Q)}
\begin{pmatrix}
3 & -3 \\ -5 & 6
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{3}
\begin{pmatrix}
3 & -3 \\ -5 & 6
\end{pmatrix}$.


\item \emph{Codage avec la matrice } $Q$

%Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
%
%\textbf{Étape 1 :} On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$  où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
%0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline
%N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
%13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\textbf{Étape 2 :} La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que 
%
%$Y = QX$.
%
%\textbf{Étape 3 :} La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26.
%
%\textbf{Étape 4 :} À la matrice $R  = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1.
%
%\[\text{Exemple : JE} \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to \text{OF}\]
%
%Le mot JE est codé en le mot OF.

On code le mot DO en utilisant le procédé décrit dans le texte:.

\[\text{DO} \to X = \begin{pmatrix}3\\14\end{pmatrix} \to 
Y = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 \\ 14\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 6\times 3 + 3 \times 14 \\ 5\times 3 + 3\times 14 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}60\\57\end{pmatrix} 
\to R = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \to \text{IF}\]


\item  \emph{Procédure de décodage}

%On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que 

$Y = QX$.

	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ 
$Y=QX \implies Q^{-1}Y = Q^{-1}Q X \iff Q^{-1}Y = X \iff 3 Q^{-1} Y = 3X \iff 3X=3Q^{-1}Y$  
	
$X=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix}$,	
$Y=\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}$,
$Q^{-1} = \dfrac{1}{3}
\begin{pmatrix}
3 & -3 \\ -5 & 6
\end{pmatrix}$
donc
$3Q^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$
		
$3X = 3Q^{-1}Y
\iff
3\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix} 3 x_1\\ 3 x_2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 3y_1 - 3y_2\\ -5y_1 + 6y_2\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
3x_1 & 3y_1 - 3y_2\\
x_2 & -5y_1 + 6y_2
\end{array}
\right.
$

Or $y_1 \equiv r_1 \quad [26]$ et $y_2 \equiv r_2 \quad [26]$ donc on en déduit que
$\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
3x_1 & 3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\
3x_2 & -5r_1 + 6r_2 \quad [26]
\end{array}
\right.$

		\item% En remarquant que $9 \times 3 \equiv  1 \quad [26]$, montrer que  
$9\times 3 = 27$ et $27 \equiv 1 \quad [26]$ donc $9\times 3 \equiv 1 \quad [26]$

$\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
3x_1 & 3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\
3x_2 & -5r_1 + 6r_2 \quad [26]
\end{array}
\right.
\implies
\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
9\times 3x_1 & 9\times 3r_1 - 9\times 3r_2 \quad [26]\\
9\times 3x_2 & 9\times(-5)r_1 + 9\times 6r_2 \quad [26]
\end{array}
\right.\\
\hspace*{1cm}
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
x_1 & r_1 - r_2 \quad [26]\\
x_2 & -45 r_1 + 54r_2 \quad [26]
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
x_1 & r_1 - r_2 \quad [26]\\
x_2 & 7 r_1 + 2r_2 \quad [26]
\end{array}
\right.$

car $-45 = -2\times 26+7 \equiv 7 \quad [26]$ et 
$54 = 2\times 26 + 2 \equiv 2 \quad [26]$

		\item% Décoder le mot SG.
Le mot SG correspond à 
$R = \begin{pmatrix} 18 \\ 6 \end{pmatrix}$
donc 
$\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
r_1 & 18\\
r_2 & 6
\end{array}
\right.$

$\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
x_1 & r_1 - r_2 \quad [26]\\
x_2 & 7 r_1 + 2r_2 \quad [26]
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
x_1 & 12 \quad [26]\\
x_2 & 138 \quad [26]
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{\equiv} r}
x_1 & 12 \quad [26]\\
x_2 & 8 \quad [26]
\end{array}
\right.$

qui correspond au mot MI.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 4 \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}
% 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0~;~14\cg$ par 
$f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(15,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub}
\uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163)
\uput[d](1.7,0){P}\uput[ur](1.7,2.163){M}\uput[l](0,2.3){Q}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.7,2.163)
\end{pspicture}
\end{center}

À tout point M appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

%\medskip
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du
%point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ?
%\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ?
%
%Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

%Justifier les réponses.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item On prend deux positions du point M et on compare les aires des rectangles obtenus.

\begin{list}{$\circ$}{}

\item Si M est d'abscisse 2, son ordonnée est $f(2)=2-\ln(1)=2$ donc l'aire du rectangle OPMQ vaut 4 unités d'aire.

\item Si M est d'abscisse 4, son ordonnée est $f(4) = 2 - \ln(2)$ donc l'aire du rectangle OPMQ vaut $4-2\ln(2)$ qui est différente de 4. 

\end{list}

Donc l'aire du rectangle OPMQ n'est pas constante.

\item
Le point M a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ donc l'aire du rectangle OPMQ est 

$\mathcal A(x)=x\times f(x)=2x - x \ln \left (\dfrac{x}{2}\right )$.

\'Etudions les variations de la fonction $\mathcal A$;
on remarque que $\ln\left (\dfrac{x}{2}\right ) = \ln x - \ln 2$ donc $\left (\ln\left (\dfrac{x}{2}\right )\right )'=\dfrac{1}{x}$

$\mathcal A'(x) = 2 - \left ( \ln\left (\dfrac{x}{2}\right ) + x \dfrac{1}{x}\right) = 1-\ln\left (\dfrac{x}{2}\right )$ 

$1-\ln \left (\dfrac{x}{2}\right ) >0 
\iff 1>\ln \left (\dfrac{x}{2}\right )  
\iff \e > \dfrac{x}{2}
\iff x<2\e$

\smallskip

$\mathcal A(2\e)=2\times 2\e - 2\e \times \ln \dfrac{2\e}{2} =  2\e$
d'où le tableau de variation de la fonction $\mathcal A$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 2\e & \hspace*{\esp} & 14 \\ 
\hline
\mathcal A'(x) & \vline\;\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & \vline\;\vline &  &   \Rnode{max}{2\e}  &  &   \\  
\mathcal A(x) & \vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\qquad} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\qquad} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

$f(2\e)=2 - \ln \dfrac{2\e}{2} = 2-1 = 1$.
donc l'aire du rectangle OPMQ est maximale pour le point M de coordonnées $(2\e\,;\, 1)$.

\end{list}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 5 \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 5 points}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
% 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%On souhaite stériliser une boîte de conserve.
%
%Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à
%température constante $T_F = 100$\,\degres C.
%
%La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C.
%
%\smallskip
%
%\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}
%
%\bigskip
%
\textbf{Partie A : Modélisation discrète}

\medskip

Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$.

Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Initialisation : 	&$T$ prend la valeur 25\\ \hline
Traitement :		& Demander la valeur de $n$\\
					&Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times  T + 15$\\
					&Fin Pour\\ \hline
Sortie : 			&Afficher T\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.
On cherche $T_3$:

$T_1 = 0,85 \times T_0+15 = 36,25$;
$T_2 = 0,85 \times T_1+15 = \np{45,8125}$;
$T_3 = 0,85 \times T_2+15 = \np{53,940625}$

La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est approximativement de 54\,\degres{} C. 

\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.

Soit $\mathcal P_n$ la propriété: $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$: $100 - 75 \times 0,85^0 = 100 - 75\times 1 = 25 = T_0$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose la propriété vraie au rang $p\pg 0$, c'est-à-dire $T_p = 100 - 75 \times 0,85^p$.

D'après l'algorithme, on peut dire que, pour tout $n\pg 0$, $T_{n+1} = 0,85\times T_n+15$.

Donc $T_{p+1} = 0,85\left (100- 75\times 0,85^p\right )+15 
= 85 - 75\times 0,85^{p+1} + 15
= 100 - 75\times 0,85^{p+1}$ 

La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

\item La propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $p\pg 0$; elle est donc vraie pour tout $n\pg 0$.
\end{list}

Pour tout entier naturel $n$, $T_n=100-75\times 0,85^n$.
\item% Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
La stérilisation débute dès que la température est supérieure à 85\,\degres{}~C, donc on cherche $n$ tel que $T_n > 85$:

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
T_n > 85 & 100 - 75 \times 0,85^{n} > 85\\
    & 15 > 75\times 0,85^n\\
    & 0,2 > 0,85^n\\
    & \ln 0,2 > \ln\left( 0,85^n\right) & \text{croissance de la fonction ln}\\
    & \ln 0,2 > n  \times \ln 0,85 & \text{propriété de la fonction ln}\\
    & \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,85} < n & \text{car } \ln 0,85 <0
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,85} \approx 9,9$ donc la stérilisation débute au bout de 10 minutes.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Modélisation continue}

\medskip

Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec :
$f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}$.

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et 

$f'(t)=-75\times \left ( -\dfrac{\ln 5}{10}\right ) \e^{-\frac{\ln 5}{10}t}
= 7,5\times \ln 5 \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} >0$ car $\e^x>0$ pour tout réel $x$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$.

		\item% Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$.
$f(10) = 100 - 75 \e^{-\frac{\ln 5}{10}\times 10}
= 100 - 75 \e^{-\ln 5}
= 100 - \dfrac{75}{\e^{\ln 5}}
= 100 - \dfrac{75}{5} = 85$

Or la fonction $f$ est strictement croissante donc si $x\pg 10$, alors $f(x)\pg f(10)$ ce qui veut dire qque $f(x) \pg 85$. 

	\end{enumerate}

\item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10.
		
On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t =  10,\: t = \theta,\:$
		 
$y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$.
		
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité
d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(32,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110)
\def\f{100 2.71828 5 ln 10 div x mul  neg exp 75 mul sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\def\inf{10} \def\sup{25}
\psplot{\inf}{\sup}{\f}
\psplot{\sup}{\inf}{85}
\closepath
}
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.pt](0,\n)(32,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{\f}
\uput*[u](28,0){temps (en minutes)}
\uput*[r](0,105){température (en degré Celsius)}
\uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85)
\uput*[d](27.5,85){$y = 85$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe , que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$.
$A(25)$ est représentée en gris sur le graphique ci-dessus.
Chaque rectangle correspond à $5\times 5$ unités d'aire.
En comptant les rectangles inclus dans la partie grisée, on en compte 3 entiers plus un demi, ce qui fait $3,5\times 25 = 87,5$ unités d'aire.
Donc $\mathcal A(25) > 80$.

		\item% Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$.
$A(\theta) 
= \ds \int_{10}^{\theta}\left (  f(t) - 85\right ) \d t
= \ds \int_{10}^{\theta}\left [  \left(  100 - 75\times \e^{-\frac{\ln 5}{10}t}\right) - 85\right] \d t
= \ds \int_{10}^{\theta}\left( 15 - 75\times \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \right) \d t\\
\phantom{A(\theta)}= \ds \int_{10}^{\theta} 15 \d t - \ds \int_{10}^{\theta} 75\times \e^{-\frac{\ln 5}{10}t}  \d t
= 15 \left [ t \rule{0pt}{12pt}\right ]_{10}^{\theta} - 75 \ds \int_{10}^{\theta} \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \d t
= 15 (\theta - 10) - 75 \ds \int_{10}^{\theta} \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \d t
$

		\item La stérilisation est finie au bout de 20 minutes si $\mathcal A(20)>80$.
		
$\mathcal A(20)
= 15(20-10) - 75  \ds \int_{10}^{20} \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \d t
= 150 - 75 \left [  - \dfrac{10}{\ln 5}\e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \right ]_{10}^{20}
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \e^{-2 \ln 5} - \e^{-\ln 5} \right ]\\[5pt]
\phantom{\mathcal A(20)}
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \left (\e^{- \ln 5}\right )^2 - \e^{-\ln 5} \right ]
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left[ \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 - \dfrac{1}{5} \right]
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{5} \right ]\\[5pt]
\phantom{\mathcal A(20)}
= 150 + \dfrac{750}{\ln 5}\times  \dfrac{-4}{25}
= 150 - \dfrac{120}{\ln 5}
\approx 75,44 <80
$		

\smallskip
		
Donc la stérilisation n'est pas finie au bout de 20 minutes.		
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}