\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{25cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Pondichéry avril 2009}, allbordercolors = white} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rhead{\small Corrigé du brevet } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{avril 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Pondichéry~\decofourright\\ avril 2009}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Activités numériques} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} } \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : A = $\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{7}{15} - \dfrac{4 \times 5}{5\times 3 \times 8} = \dfrac{7}{15} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{14}{30} - \dfrac{5}{30} = \dfrac{14 - 5}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}$. \item \begin{enumerate} \item %Donner la valeur arrondie au centième de B. B $\approx - 5,657$ soit $- 5,66$ au centième près. \item %Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier. B $ = 3\sqrt{2} - \sqrt{98} = 3\sqrt{2} - \sqrt{49 \times 2} = 3\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = - 4\sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} } \begin{enumerate} \item %$-2$ est-il solution de l'inéquation : $3x + 12 < 4 - 2x$ ? Justifier. $3 \times (- 2) + 12 < 4 - 2 \times (- 2)$ ou $10 < 8$ qui est fausse. Donc $- 2$ n'est pas solution de l'inéquation. \item %$-2$ est-il solution de l'équation : $(x - 2)(2x + 1) = 0$ ? Justifier. $(- 2 - 2)\times (- 4 + 1) = 0$ ou $- 4 \times (- 3) = 0$ est une égalité fausse : $- 2$ n'est pas solution de l'équation. \item %$- 2$ est-il solution de l'équation : $x^3 + 8 = 0$ ? Justifier. $(- 2)^3 + 8 = 0$ ou $- 8 + 8 = 0$ qui est vraie. $- 2$ est solution de l'équation. \item %Le couple $(-2~;~1)$ est-il solution du système $\left\{\begin{array}{l c l} %2x + 3y&=&-1\\ %x + 5y &=&3\\ %\end{array}\right.$ ? Justifier. On a $\left\{\begin{array}{l c l} - 4 + 3&=&-1\\ - 2 + 5 &=&3\\ \end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{l c l} - 1&=&-1\\ 3 & = &3\\ \end{array}\right.$. Les deux égalités sont vraies ; le couple $(-2~;~1)$ est solution du système. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} } \begin{enumerate} \item %Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. Par l'algorithme d'Euclide : $238 = 170 \times 1 + 68$ ; $170 = 68 \times 2 + 34$ ; $68 = 34 \times 2 + 0$. Par les soustractions successives : $238 - 170 = 68$ ; $170 - 68 = 102$ ; $102 - 68 = 34$ ; $68 - 34 = 34$ ; Le PGCD de 238 et 178 est 34. \item %En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{170}{238}$. $\dfrac{170}{238} = \dfrac{34 \times 5}{34 \times 7} = \dfrac{5}{7}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} } \medskip %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. % %Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. % %Chaque réponse exacte rapporte 1 point. % %Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. % %\emph{Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} % %\textbf{Énoncé :} % %Un sac contient six boules: quatre blanches et deux noires. % Ces boules sont numérotées : % %Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(4,1.8) %\pscircle(0.4,1.5){0.3} \rput(0.4,1.5){1} %\pscircle(1.2,1.6){0.3} \rput(1.2,1.6){2} %\pscircle(1.3,0.5){0.3} \rput(1.3,0.5){1} %\pscircle(2.1,1.2){0.3} \rput(2.1,1.2){ 3} %\pscircle*(2.9,1.5){0.3} \rput(2.9,1.5){\white 1} %\pscircle*(3,0.6){0.3} \rput(3,0.6){\white 2} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|m{4,75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Numéro & Question &\footnotesize Réponse A&\footnotesize Réponse B&\footnotesize Réponse C\\ \hline %1 &Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?& %\rule[3pt]{}{5mm}$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{6}{4}$&4\\ \hline %2 &Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?&\rule[3pt]{}{5mm} %$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline %3 & Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?&\rule[3pt]{}{5mm} %$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{4}$&$\dfrac{3}{6}$\\ \hline %\end{tabularx} \begin{enumerate} \item Il y a 4 blanches sur un total de 6 boules ; la probabilité est égale à $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Réponse A. \item Il y a 2 boules numérotées 2 sur 6 boules ; la probabilité est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Réponse C. \item Il y a 2 boules blanches numérotées 1 sur 6 boules ; la probabilité est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Réponse A. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités géométriques} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} } \medskip %\parbox{0.6\linewidth}{On considère une bougie conique représentée ci-contre. % %(\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles.}) % %Le rayon OA de sa base est 2,5 cm. % %La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.} \hfill %\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,5) %\psellipse(0,0)(1.5,0.5) %\psline(-1.5,0)(0,4.8)(1.5,0) %\psline(-0.7,-0.4)(0,4.8) \psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.4)(0,0)(0,4.8) %\uput[r](0,0){O} \uput[dl](-0.7,-0.4){A} \uput[u](0,4.8){S} %\end{pspicture}} \begin{enumerate} \item %Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur. Le triangle SAO est rectangle en O. On construit [AO] tel que AO = 2,5~cm. Le cercle centré en A de rayon 6,5~cm coupe la perpendiculaire en O à (OA) en S : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.5) %\psgrid \psarc(0.5,3){6.5}{-28}{-10} \psline(0,0.5)(7,0.5) \pspolygon(0.5,3)(0.5,0.5)(6.5,0.5)%AOS \uput[ul](0.5,3){A} \uput[dl](0.5,0.5){O} \uput[dr](6.5,0.5){S} \end{pspicture} \end{center} \item %Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6~cm. Dans le triangle rectangle AOS le théorème de Pythagore s'écrit : $\text{SA}^2 = \text{SO}^2 + \text{OA}^2$ soit $6,5^2 = \text{SO}^2 + 2,5^2$, d'où $\text{SO}^2 = 6,5^2 - 2,5^2 = (6,5 + 2,5)(6,5 - 2,5) = 9\times 4 = 36$, d'où $\text{SO} = 6$~(cm). \item %Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm$^3$ ? Le volume du cône est $V = \dfrac{\pi \times r^2\times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2,5^2 \times 6}{3} = 12,5\pi \approx 19,635$ soit 19,6~cm$3$ au dixième près. \item %Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ ; on donnera la valeur arrondie au degré. Dans le triangle rectangle AOS, on peut écrire : $\tan \widehat{\text{ASO}} = \dfrac{\text{AO}}{\text{OS}} = \dfrac{2,5}{6}$ ; la calculatrice donne $\widehat{\text{ASO}} \approx 22,62$ soit 23\degres au degré près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} } \medskip %On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm. \medskip \begin{enumerate} \item ~%Construire le triangle EFG. On construit [FG] tel que FG = 6,5~cm. Les cercles centrés en F et G de rayons respectifs 6 et 4,5 se coupent en E. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8.5,5) %\psgrid \psarc(0.5,0.5){6}{20}{40} \psarc(8,0.5){4.5}{120}{140} \pspolygon(0.5,0.5)(8,0.5)(5.3,4.1) \uput[l](0.5,0.5){F} \uput[r](8,0.5){G} \uput[u](5.3,4.1){E} \psline(2.9,2.3)(4.25,0.5) \uput[ul](2.9,2.3){M}\uput[d](4.25,0.5){N} \end{pspicture} \end{center} \item %Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point. D'une part $\text{FG}^2 = 7,5^2 = 56,25$. D'autre part $\text{FE}^2 + \text{EG}^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$. Donc $\text{FG}^2 =\text{FE}^2 + \text{EG}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E. \item %Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ; elle coupe [FG] en N. Voir la figure. \item %Montrer que N est le milieu de [FG]. Les points F, M, E d'une part, F, N, G d'autre part sont alignés dans cet ordre ; les droites (MN) et (EG) sont parallèles, donc d'après la propriété de Thalès : $\dfrac{\text{FM}}{\text{FE}} = \dfrac{\text{FN}}{\text{FG}}$. Comme M est le milieu de [FE], $\dfrac{\text{FM}}{\text{FE}} = \dfrac{1}{2}$, il suit que $\dfrac{\text{FN}}{\text{FG}} = \dfrac{1}{2}$ qui signifie que N est milieu de [FG]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème} \medskip %\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}\begin{pspicture}(-0.4,-1)(5,4) %\pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4) %\psline(0,3)(1.9,0)(5,4) %\uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1.9,0){$M$} %\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4) %\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3) %\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4) %\uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4} %\end{pspicture}} \hfill %\parbox{0.47\linewidth}{\textbf{Les longueurs sont exprimées en centimètres.} % %TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4. % %$M$ est un point variable du segment [PA], et on note $x$ la longueur du segment [P$M$].} % %\medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x = 1$ \unboldmath \begin{enumerate} \item ~%Faire une figure. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}\begin{pspicture}(-0.4,-1)(5,4) \pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4) \psline(0,3)(1,0)(5,4) \uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1,0){$M$} \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4) \uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4} \end{pspicture} \end{center} \item %Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A. On a AM $ = 5 - 1 = 4 = $ AR, donc le triangle ARM est isocèle en A. \item %Calculer les aires des triangles PTM et ARM. $\mathcal{A}_{\text{PTM}} = \dfrac{1 \times 3}{2} = \dfrac{3}{2}$~cm$^2$. $\mathcal{A}_{\text{ARM}} = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8$~cm$^2$. \end{enumerate} \item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{est un nombre inconnu.} \begin{enumerate} \item %Donner les valeurs entre lesquelles $x$ peut varier. On a $0 \leqslant x \leqslant 5$. \item %Montrer que l'aire du triangle PTM est $1,5 x$ et l'aire du triangle ARM est $10 - 2x$. $\mathcal{A}_{\text{PTM}} = \dfrac{x \times 3}{2} = 1,5x$~cm$^2$. $\mathcal{A}_{\text{ARM}} = \dfrac{(5 - x) \times 4}{2} = 2(5 - x) = 10 - 2x$~cm$^2$. \end{enumerate} \medskip %\textbf{La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de \boldmath $x$ \unboldmath est donnée en annexe.} %\textbf{Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.} %\textbf{Laisser apparents les traits nécessaires.} \item \begin{enumerate} \item %Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm$^2$ ? $\mathcal{A}_{\text{PTM}} = 1,5x = 6$, donc $x = 4$. \item %Lorsque $x$ est égal à 4~cm, quelle est l'aire du triangle ARM ? $\mathcal{A}_{\text{ARM}} = 10 - 2 \times 4 = 2$~cm$^2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Sur ce graphique donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, tracer la droite représentant la fonction : $x \longmapsto 1,5x$. Voir à la fin. \item %Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires. On lit à peu près $x \approx 2,85$ soit 2,9~cm au millimètre près. \item %Montrer par le calcul que la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux aires sont égales, est $\dfrac{100}{35}$. Les aires sont égales si : $1,5x = 10 - 2x$ soit $3,5x = 10$ ou $35x = 100$ et enfin $x = \dfrac{100}{35} = \dfrac{20}{7} \approx \np{2,857142857}\ldots$ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=1cm,comma=true} \begin{pspicture}(5.4,11) \multido{\r=0.0+0.2}{28}{\psline[linestyle=dashed](\r,0)(\r,10)} \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5.4,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=20]{->}(0,0)(5.4,10) \psline(0,10)(5,0) \rput(2.7,11){\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}} \rput{-27}(1.2,7.8){aire du triangle R$M$A} \uput[r](0,10.5){aire en cm$^2$} \uput[d](5,-0.5){longueur de $x$ en cm} \multido{\n=0+1}{11}{\uput[l](0,\n){\n~cm$^2$}} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{1.5 x mul} \rput{19}(1.2,2){\blue aire du triangle PTM} \psset{arrowsize=3pt 4} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](2.857,0)(2.857,4.2857)(0,4.2857) \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} \end{document}