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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c corrigé du sujet \no 14 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Calculatrice autorisée}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

%Ce QCM comprend $5$ questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des réponses proposées est exacte.
%
%Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.
%
%\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

L'inéquation $x^2 +x + 2 > 0$ :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}n'a pas de solution&\textbf{b.~~}a une seule solution&\textbf{c.~~}a pour ensemble de solutions l'intervalle 1~;~2]&\textbf{d.~~}a pour solution l'ensemble des
% nombres réels\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$x^2 +x + 2 > 0 \iff \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + 2 > 0 \iff \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} > 0$.

Comme $\frac{7}{4}\geqslant  \frac{7}{4} \Rightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} \geqslant \frac{7}{4}  > 0$ : ceci est vrai quel que soit le réel $x$ : $S = \R$.

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soient $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vect{u}\|= 3,\,\|\vect{v}\|= 2$ et $\vect{u} \cdot \vect{v} = - 1$ alors $\|\vect{u} + \vect{v}\|^2$ est égal à:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}11&\textbf{b.~~}13&\textbf{c.~~}15&\textbf{d.~~}25\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\|\vect{u} + \vect{v}\|^2 = \left(\vect{u} + \vect{v}\right)\cdot \left(\vect{u} + \vect{v}\right) = \vect{u}\cdot \vect{u} + \vect{v}\cdot \vect{v} + 2\vect{u}\cdot \vect{v} = 3^2 + 2^2 + 2 \times (- 1) = 9 + 4 - 2 = 11.$

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un univers tels que $P_A(B) = 0,2$ et $P(A) = 0,5$.

Alors la probabilité $P(A \cap B)$ est égale à :
 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}0,4&\textbf{b.~~}0,1&\textbf{c.~~}0,25&\textbf{d.~~}0,7\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
On a $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \iff 0,2 = \dfrac{P(A \cap B)}{0,5}\Rightarrow P(A \cap B) = 0,2 \times 0,5 = 0,1$

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0 = 2$ et de raison $3$.

La somme S définie par $S = u_0 + u_1 +\ldots + u_{12}$ est égale à :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}45&\textbf{b.~~}222&\textbf{c.~~}260&\textbf{d.~~}301\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
$S = 2 + 5 +8 + 11 + \ldots + 35 + 38$ ou 

$S = 38 + 35 + 32 + \ldots + 8 +5 + 3 + 2$ soit en faisant la somme :

$2S = 40 + 40 + 40 + 40 + \ldots + 340 = 13 \times 40 = 520$. D’où $S  = 260$.

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) = (2x - 5)^3$.
%
%Une expression de la dérivée de $f$ est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~~}$3(2x- 5)^2$&\textbf{b.~~}$6(2x- 5)^2$&\textbf{c.~~}$2(2x- 5)^2$&\textbf{d.~~}$2^3$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
On a $f’(x) = 3 (2x - 5)^2 \times (2x - 5)’ = 3 \times 2 (2x - 5)^2 = 6(2x - 5)^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La courbe ci-dessous représente dans un repère du plan une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

Les points G$(-2~;~5)$ et H $(0~;~1)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$ et les tangentes à la courbe aux points G et H sont horizontales.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3)(1.5,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-2.9)(1.5,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{0}{0.75}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{-2}{0.75}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 1 add}
\uput[dr](0,1){H}\uput[u](-2,5){G}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $f(0),\ f(-2), f'(0)$ et $f'( -2)$.
On lit sur la représentation graphique :

$f(0) =1$, \: $f(- 2) = = 5$, \: $f'(0) = f'(- 2) = 0$. 
\item On admet que pour tout réel $x$\,, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\[f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d,\]

où \: $a,\, b,\, c$ \: et\: $d$\: désignent des nombres réels 

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une expression de $f'(x)$.
La fonction polynôme est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle:
		
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 
		\item %Déterminer les valeurs des réels $c$ et $d$.
On a $\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&1\\
f'(0)&=&0
\end{array}\right.$, soit 
$\left\{\begin{array}{l c l}
d&=&1\\
c&=&0
\end{array}\right.$ 

Donc $f(x) = ax^3 + bx^2 + 1$
		\item %Déterminer deux équations que vérifient les réels $a$ et $b$.
De même, $\left\{\begin{array}{l c l}
f(-2)&=&5\\
f'(-2)&=&0
\end{array}\right.$, soit $\left\{\begin{array}{l c l}
- 8a + 4b + 1 &=&5\\
12a +- 4b&=&0\\
\end{array}\right.$

		\item %En déduire que $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$.
Le système précédent s’écrit  $\left\{\begin{array}{l c l}
- 8a + 4b  &=&4\\
12a  - 4b&=&0\\
\end{array}\right.$  ou encore en simplifiant :

$\left\{\begin{array}{l c l}
- 2a + b &=&1\\
3a - b&=&0\\
\end{array}\right.$
ce qui donne par  somme : $a = 1$, puis $b = 1 + 2a = 1 +2 = 3$ 

Donc finalement : $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

%Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de \np{1000}~\degres C.
%À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement. Pour un nombre entier naturel $n$,on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint. 
%
%On a donc $T_0 = \np{1000}$.
%
%La température $T_n$ est calculée grâce à l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%$T \gets \np{1000}$\\
%Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
%\quad $T \gets  0,82\times T + 3,6$\\
%Fin pour\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
$T_1 = 0,82 \times \np{1000} + 3,6 = 820 + 3,6 = 823,6$~(\degres C). Soit environ 824~\degres C
\item %Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
La formule est donnée dans l'algorithme : $T_{n+1} = 0,82T_n + 3,6$.
\item %Déterminer la température du four arrondie à l'unité après 4 heures de refroidissement.
On obtient successivement : 

$T_2\approx 678,95$, \; $T_3 \approx 560,34$ \:;\: $T_4 \approx 463,08$.

Au bout de 4 heures la température du four est de 463~\degres C à l'unité près.
\item~ %La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que satempérature est inférieure à 70~\degres C. Afin de déterminer le nombre d'heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction \og froid \fg{} en langage Python.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
1&\texttt{def froid() :~\quad~}\\
2&\quad\texttt{T= \np{1000}}\\
3&\quad\texttt{n=0 }\\
4&\quad\texttt{while T $\geqslant $ 70}\\
5&\qquad \texttt{T= T $\times$T + 3,6}\\
6 &\qquad \texttt{n=n+1} \\
7&\quad\texttt{return n}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

%Recopier et compléter les instructions 4 et 5.
\item  %Déterminer le nombre d'heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
Au bout de 15~heures la température est à peu près égale à 69,9~\degres C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
%
%On considère les points A$(-3~;~1)$, B$(3~;~5)$ et C$(7~;~1)$ dans ce repère.
%
%Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC et le rayon de ce cercle.
%
%On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Placer les points A, B et C dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle ABC.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-6)(8,7)%figure en pst-eucl
\psset{PtNameMath=false}
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-6)(8,7)
\pstTriangle[PointSymbol=none](-3,1){A}(3,5){B}(7,1){C} \pstCircleABC[CodeFig=true, CodeFigColor=blue,
linecolor=red, PointSymbol=none]{A}{B}{C}{I}
\pstTriangle[PointSymbol=none,linewidth=1.25pt](-3,1){A}(3,5){B}(7,1){C}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{3 1.5 x mul sub}
\pstGeonode[PosAngle={150,0}](0,3){J}(5,3){K}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
\item %Vérifier que la droite $\Delta$ d'équation $3x + 2y - 6 = 0$ est la médiatrice du segment [AB]. 
Soit J le milieu du segment [AB] : J(0~;~3).
Les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$ sont $\vect{\text{AB}}(6~;~4)$.

Si $(\Delta)$ est la médiatrice de [AB], on a : 

$M(x~;~y) \in \Delta \iff \vect{\text{J}M} \cdot \vect{\text{AB}} = 6(x - 0) + 4(y - 3) = 0 \iff 6x + 4y - 12 = 0 \iff 3x + 2y - 6 = 0$.
\item %Déterminer les coordonnées du point B$'$, milieu du segment [AC].
On a B$'(2~;~1)$
\item %Déterminer les coordonnées du point I, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit K le milieu de [BC] : J(5~;~3) et $\vect{\text{BC}}(4~;~-4)$.

Soit $(\Delta')$ la médiatrice de [BC] : alors 

$M(x~;~y) \in \Delta' \iff \vect{\text{J}M} \cdot \vect{\text{BC}} \iff 4(x- 5) - 4(y - 3) = 0 \iff 4x - 20 - 4y + 12 = 0 \iff 4x - 4y - 8 = 0 \iff x - y - 2 = 0$.

Si I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC on sait que c'est le point commun aux trois médiatrices ; donc ses coordonnées vérifient les équations de la médiatrice de [AB] et de la médiatrice de [BC]. Il faut donc résoudre le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y - 6 &=& 0\\
x - y - 2 &=& 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y - 6 &=& 0\\
x  - 2 &=& y
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2(x  - 2) - 6 &=& 0\\
x  - 2 &=& y
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2x  - 4 - 6 &=& 0\\
x  - 2 &=& y
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
5x  &=& 10\\
x  - 2 &=& y
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x  &=& 2\\
x  - 2 &=& y
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x  &=& 2\\
0 &=& y
\end{array}\right.$

Les coordonnées de I sont (2~;~0).

\item %Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le rayon est par exemple IA.

IA$^2 = (-3 - 2)^2 + (1 - 0)^2 = 25 + 1 = 26$. Donc IA $= R = \sqrt{26}$.
\end{enumerate}
\end{document}