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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé  du baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{15 juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S La Réunion~\decofourright\\15 juin 2006 }}
\end{center}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{\gray Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$f(x) = \dfrac{x}{\ln x}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to 1} \ln x  = 0_{+},~ \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = + \infty$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}  \dfrac{x}{\ln x} = + \infty$.
		\item $f$ quotient de fonctions dérivables, celle du dénominateur ne s'annulant pas, est dérivable et $f'(x) = \dfrac{\ln x - x\times \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$ qui est du signe de
		
$\ln x - 1$.

Des propriétés de la fonction $\ln$, on en déduit que $\ln \text{e} = 1$ et comme cette fonction est croissante sur $\R_{+}$, on en déduit le signe de la dérivée et le tableau de variations suivant :


\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)  \psline(2,0)(2,3.5)  \psline(5,2)(5,3) 
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.2,3){$1$} \uput[u](5,3){e} 
\uput[u](1,2.1){$f'$} \uput[u](3.5,2.2){$-$} \uput[u](5,2.2){$0$} 
\uput[u](6.5,2.2){$+$} \uput[u](1,0.9){$f$} \uput[d](2.3,2){$+ \infty$} 
\uput[u](5,0){e} \uput[d](7.6,2){$+\infty$} \uput[u](7.5,3){$+\infty$} 
\psline{->}(2.7,1.7)(4.6,0.2)  \psline{->}(5.3,0.2)(7.4,1.7) 
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~
\begin{figure}
\begin{center} 
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
\psgrid[gridwidth=1.75pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(0,0)(5.5,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](5.1,3.2){\cyan r$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1.28}{5.2}{x x ln div}
\psline[linecolor=blue](0,0)(5.2,5.2)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,3.1067)(3.1067,3.1067)(3.1067,0)(3.1067,2.7407)(2.7407,2.7407)(2.7407,0)
\uput[dr](5,3.1067){$M_{0}$} \uput[dr](3.1067,2.7407){$M_{1}$} \uput[dr](2.7407,2.7184){$M_{2}$} 
\uput[d](3.1067,0){$u_{1}$} \uput[d](2.7407,0){$u_{2}$}  \uput[d](5,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

La suite semble converger \og  rapidement \fg.
\item On a $u_{0} = 5 \geqslant \text{e}$. Pour$n > 0,~u_{n}$est une image par $f$  d'un réel. D'après le tableau de variations ci-dessus, $f(x) \geqslant \text{e}\Longrightarrow u_{n} \geqslant \text{e}$.
\item On calcule $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{u_{n}}{\ln u_{n}} - u_{n} = \dfrac{u_{n}(1 - \ln u_{n})}{\ln u_{n}}$.

On vient de voir que $u_{n} \geqslant \text{e} > 1 \Longrightarrow \ln u_{n} > 0$. La différence est donc du signe de $1 - \ln u_{n}$ qui est négative d'après la question 1 b.

$u_{n+1} - u_{n} < 0 \iff \left(u_{n}\right)$ est une suite décroissante. C'est une suite décroissante et minorée par e : elle converge vers une limite $\ell \geqslant \text{e}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Or l'égalité $u_{n+1} = f(u_{n})$ donne à la limite $\ell = f(\ell)$, car la fonction  $f$ est continue sur $]1~;~+ \infty[$.
\item $\ell = f(\ell) \iff \ell = \dfrac{\ell}{\ln \ell} \iff (\text{car} ~\ell \neq 0),~1 = \dfrac{1}{\ln \ell} \iff \ln\ell = 1 \iff \ell = \text{e}$.

La suite converge vers e.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

En intégrant par parties avec :

\[\begin{array}{l l}
u(x) = x & v'(x) = \text{e}^x\\
u'(x) = 1 & v(x) = \text{e}^x\\
\end{array}\]

Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables et les fonctions $u'$ et $v'$ continues, on obtient :

$\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x \:\text{d}x = \left[x\text{e}^x\right]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^x \:\text{d}x =  \left[x\text{e}^x - \text{e}^x\right]_{0}^1 =  \left[\text{e}^x(x - 1) \right]_{0}^1 = 0  - 1 \times ( - 1) = 1.$ 

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'aire de la partie A est en unités d'aire  l'intégrale calculée ci-dessus soit $1$.

L'aire du rectangle est e donc par différence l'aire  de la partie B est $\text{e} - 1$.

On sait que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
&A &B & Total\\ \hline
aire & 1 & $\text{e} - 1$ & e\\ \hline
Probabilité& & &$\dfrac{1}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On en déduit aussitôt   que la probabilité d'atteindre la partie A est $\dfrac{1}{2\text{e}}$ et que la probabilité d'atteindre la partie B est $\dfrac{\text{e} - 1}{2\text{e}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On effectue trois fois la même expérience aléatoire avec comme succès : \og atteindre la partie A \fg{} de probabilité $\dfrac{1}{2\text{e}}$ et comme échec : \og rater la partie A \fg. On a donc une loi de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac{1}{2\text{e}}$.
		
L'espérance est E$(X) = n \times p = 3 \times \dfrac{1}{2\text{e}} =  \dfrac{3}{2\text{e}}\approx 0,552$. 
		\item On a  $p(\text{E}) = p(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\dfrac{1}{2\text{e}}\right)^2 \times\left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right) = \dfrac{3 \times1 \times (2\text{e} - 1)}{8\text{ê}^3} \approx 0,083$ à $10^{-3}$ par excès.
		\item On considère de même la loi de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et 
		
$p =  \dfrac{\text{e} - 1}{2\text{e}}$.\\
On sait que $p(F) = \binom{3}{3} \times \left(\dfrac{\text{e} - 1}{2\text{e}}\right)^3 = \dfrac{(\text{e} - 1)^3}{8\text{e}^3}.$
		\item Soit G l'évènement : « les trois fléchettes ont atteint la partie A ou la partie B ».
		
$p(G) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.

On sait que $p_{\text{G}}(\text{F}) = \dfrac{p(\text{F} \cap \text{G})}{p(\text{G})} = \dfrac{p(\text{F})}{p(\text{G})} = \frac{\dfrac{(\text{e} - 1)^3}{8\text{e}^3}}{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{(\text{e} - 1)^3}{\text{e}^3} \approx 0,253$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0)$.\\
$p(X = 0) = \binom{n}{0} \left(\dfrac{1}{2\text{e}}\right)^0 \times \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)^n = \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)^n$.\\
Finalement : $p(X \geqslant 1) = 1 - \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)^n$.
		\item $p_{n}\geqslant 0,99 \iff 1 - \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)^n \geqslant 0,99 \iff \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)^n  \leqslant 0,01 \iff$
		
$n \ln \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right) \leqslant \ln 0,01 \iff 
n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{\ln \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)},~(\text{puisque}~\ln \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right) < 0$). D'où finalement, puisque $\dfrac{\ln 0,01}{\ln \left(1 - \dfrac{1}{2\text{e}}\right)} \approx 22,7$, le plus petit entier $n$ tel que $p_{n}\geqslant 0,99$ est l'entier $23$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{z - 4}{z}	= \text{i} \iff z - 4 =  \text{i}z \iff z(1 - \text{i}) = 4 \iff z = \dfrac{4}{1 - \text{i}} = \dfrac{4(1 + \text{i}}{1 + 1} = 2 + 2\text{i}$.

$S = \{2 + 2\text{i}\}$
\item $z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 = - 3 \iff \left\{\begin{array}{lcl}z_{1}&=& 1 + \text{i}\sqrt{3}\\
z_{2}&=& 1 - \text{i}\sqrt{3}\\ \end{array}\right. \\
S = \{1 + \text{i}\sqrt{3}~;~1 - \text{i}\sqrt{3}\}$.\\
$\left|z_{1} \right| = \sqrt{3 + 1} = 2 \Longrightarrow z_{1} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et comme $z_{2} = \overline{z_{1}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
\item En interprétant l'égalité de la question 1 obtenue avec l'affixe de D (modules et arguments égaux) :\\
$\dfrac{z - 4}{z}	= \text{i}\iff \dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{D}} - z_{\text{O}}} = \text{i}  \Longrightarrow \left\{\begin{array}{lcl}\text{BD} &=& \text{OD}\\
\left(\vect{\text{OD}},~\vect{\text{BD}}\right)& = &\dfrac{\pi}{2}\\
\end{array}\right.$ Autrement dit le triangle OBD est isocèle, rectangle en D.
\item On remarque que $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ sont les solutions de l'équation de la question 2. Donc :\\
$\left\{\begin{array}{l cl}z_{\text{E}}^2 - 2z_{\text{E}} + 4&=&0\\
z_{\text{F}}^2 - 2z_{\text{F}} + 4&=&0\\
\end{array}\right. \Longrightarrow  z_{\text{E}}^2 - z_{\text{F}} - 2z_{\text{E}} + 2z_{\text{F}}= 0 \iff (z_{\text{E}} - z_{\text{F}})(z_{\text{E}} + z_{\text{F}} - 2) = 0 
\iff 
z_{\text{E}} + z_{\text{F}} = 2 = z_{\text{A}} \iff $ OEAF est un parallélogramme.

De plus on sait que $\left|z_{\text{E}} \right| = \left|z_{\text{F}} \right| = 2$.
Conclusion :  OEAF est un losange.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Si $M(z)$ a pour image $M'(z')$ dans la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, alors $z' = \text{i}z$. Donc$z_{\text{E}'} = \text{i}(1 - \text{i}\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \text{i}$.
		\item AE$' = \left|z_{\text{E}'} - z_{\text{A}}\right| = \left|\sqrt{3} - \text{i}\right| = \sqrt{3 + 1} = 2$. Donc E$'$ appartient bien au cercle  $\mathcal{C}'$.
		\item On calcule $e' - d = \sqrt{3} + \text{i} - 2 - 2\text{i} = \sqrt{3} - 2 - \text{i}$. Donc  $(\sqrt{3} + 2)(e' - d) = $
		
$(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2 - \text{i}) = - 1 - \text{i}(\sqrt{3} + 2)$.\\
D'autre part $e - d = 1 - \text{i}\sqrt{3} - 2 - 2\text{i} =  - 1 - \text{i}(\sqrt{3} + 2)$.\\
Conclusion : $e - d = (\sqrt{3} + 2)(e' - d)$. Cette égalité s'écrit vectoriellement : $\vect{\text{DE}} = (\sqrt{3} + 2)\vect{\text{DE}'} \iff \vect{\text{DE}}~\text{et}~\vect{\text{DE}'}$ sont colinéaires ou encore E appartient à la droite (DE$'$) ou encore E, E$'$ et D sont alignés.
\end{enumerate}
		\item Dans la rotation, la droite (ED) ou encore d'après la question précédente la droite  (EE$'$) a pour image la droite perpendiculaire (E$'$D$'$) : donc le triangle EE$'$D$'$ est rectangle en E$'$.
	\end{enumerate}

\begin{center}	
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,4)
\rput(0,0){$\times$} \uput[dl](0,0){O} \rput(0,2){$\times$} \uput[ur](0,2){A$'$} 
\uput[ur](2,0){A} \rput(2,0){$\times$} \uput[ur](4,0){B} \rput(4,0){$\times$} 
\uput[ur](2,2){D} \rput(2,2){$\times$} \uput[u](1,1.732){F} \rput(1,1.732){$\times$} 
\uput[r](1.732,1){E$'$} \rput(1.732,1){$\times$} \uput[d](1,-1.732){E} \rput(1,-1.732){$\times$}
\uput[l](-2,2){D$'$}  \rput(-2,2){$\times$}
\pscircle(2,0){2} \pscircle(0,2){2}
\psline[linestyle=dashed](1.732,1)(2,2)
\pspolygon(0,0)(2,2)(4,0)
\pspolygon(0,0)(1,1.732)(2,0)(1,-1.732)
\pspolygon[linestyle=dashed](1,-1.732)(1.732,1)(-2,2)
\uput[dr](3,-2){$\mathcal{C}$}  \uput[dl](-2,3){$\mathcal{C}'$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec $s(\text{A}) = \text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{J}$, le rapport de la similitude est $\dfrac{\text{IJ}}{\text{AB}} = \dfrac{1}{2}$.

De même l'angle de la similitude est à $2\pi$ près $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{IJ}}\right) = +\dfrac{\pi}{2}$.
\item Si $\Omega$ est le centre de la similitude, $\left(\vect{\Omega\text{A}},~\vect{\Omega\text{I}}\right) = +\dfrac{\pi}{2}$ et de même
 
$\left(\vect{\Omega\text{B}},~\vect{\Omega\text{J}}\right) = +\dfrac{\pi}{2}$, donc $\Omega$ appartient au cercle $\Gamma_{1}$ et au cercle $\Gamma_{2}$, donc $\Omega$ est l'un des deux points communs à ce cercle.
\item L'image de la  droite (BC) est la droite contenant  J (image par $s$ de B) et perpendiculaire à (BC), d'après l'angle de la similitude : c'est donc la droite (CD).

Donc C$'$ image de C par $s$ appartient à la droite (CD) et comme $s(\text{B} = \text{J}$ et $s(\text{C}) = \text{C}',~$ JC$'$ = $\dfrac{1}{2}$BC = $\dfrac{1}{2}$CD. Donc on a C$'$ = C ou C$'$ = D. Comme C n'est pas le point invariant de la similitude soit $\Omega$, C$'$ = D.

Il en résulte que puisque  I milieu de [AC], alors son image K par $s$  est le milieu du segment image [ID].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $s = h \circ h$ composée de deux similitudes de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle$\dfrac{\pi}{2}$ est une similitude de même centre $\Omega$, de rapport $\dfrac{1}{4}$ et d'angle $\pi$, soit une homothétie de rapport $-\dfrac{1}{4}$.
		\item $s(\text{A}) = h\left[h(\text{A})\right] = h(\text{I}) = \text{K}$. Dans une homothétie un point, son image et le centre sont alignés, donc A, K et $\Omega$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item I a pour affixe $1 + \text{i}$ et J a pour affixe $1 + 2\text{i}$.

L'écriture complexe d'une similitude directe  est $z' = az + b$. On a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
1 + \text{i} &= & a \times 0 + b\\
1 + 2\text{i}&=& a\times 2 + b\\
\end{array}\right.  \Longrightarrow \text{i} = 2a \iff a = \dfrac{\text{i}}{2}$ et $b = 1 + \text{i}$.

L'écriture de la similitude est donc : $z' = \dfrac{1}{2}\text{i}z + 1 + \text{i}$.
\item $\Omega$ d'affixe $\omega$  invariant par $s \iff \omega =  \dfrac{1}{2}\text{i}\omega + 1 + \text{i} \iff \omega\left(1 - \dfrac{1}{2}\text{i}\right) = 1 + \text{i} \iff \omega = \dfrac{1 + \text{i}}{1 - \dfrac{1}{2}\text{i}} = \dfrac{1 - \frac{1}{2} + \text{i}(1 + \dfrac{1}{2}}{1 + \frac{1}{4}} = \dfrac{\frac{1}{2}+ \frac{3}{2}\text{i}}{\frac{5}{4}} = \dfrac{2 + 6\text{i}}{5}$.
\item Soit $e$ l'affixe de E ; on a $0 = \dfrac{1}{2}  \text{i}e + 1 +  \text{i}\iff \dfrac{1}{2}  \text{i}e = -1 -  \text{i} \iff e = \dfrac{-1 -  \text{i}}{\dfrac{1}{2}  \text{i}} = \dfrac{-\text{i} + \frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = - 2 + 2\text{i}$.
\end{enumerate}

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(3,2.5)
\psframe(2,2)
\pscircle(1.5,1){1.118}
\pscircle(0.5,0.5){0.707}
\uput[dl](0,0){A} \rput(0,0){$\times$} \uput[dr](2,0){B} \rput(2,0){$\times$}  \uput[ur](2,2){C} \rput(2,2){$\times$}
\uput[ul](0,2){D} \rput(0,2){$\times$} \uput[ur](1,1){I} \rput(1,1){$\times$} \uput[ul](1,2){J} \rput(1,2){$\times$}
\uput[ul](0.5,1.5){K} \rput(0.5,1.5){$\times$} \uput[ul](0.4,1.2){$\Omega$} \rput(0.4,1.2){$\times$}  \uput[u](-2,2){E} \rput(-2,2){$\times$}
\uput[ur](2.3,1.6){$\Gamma_{2}$} \uput[l](-0.2,0.6){$\Gamma_{1}$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.5,1.5)
\psline(0.4,1.2)(1,1) \psline(2,0)(0.4,1.2)(1,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $d(\text{O}~;~\mathcal{P}) = \dfrac{|- 1|}{\sqrt{2^2+ 3^2 + 4^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{29}}$ Faux
		\item Vrai
		\item Vrai : le vecteur $2\vect{n}(2~;~3~;~4)$ est un vecteur normal au plan.
		\item Le vecteur $\vect{p}(-5~;~2~;~1)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{Q}$. 
		
Et $2\vect{n} \cdot \vect{p} = - 10 + + 6 + 4 = 0$. Les vecteurs normaux sont orthogonaux donc les plans ne sont pas parallèles mais perpendiculaires. Faux  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P$ admet pour vecteur normal le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~-1)$ et  $\vect{n} \cdot \vect{u} = 2 - 4 + 2 = 0$. Ces vecteurs sont orthogonaux donc la droite est bien parallèle au plan. Vrai
		\item Faux car  $\vect{n}$ et  $\vect{u}$ ne sont pas colinéaires.
		\item On sait que $D$ est parallèle au plan. A $\in P \iff 2 + 1 - 1 = 0 $ est une égalité fausse, donc la droite $D$ n'est pas incluse dans le plan. Faux
		\item Le système proposé est bien la traduction de l'égalité vectorielle\\
 $\vect{\text{A}M} = \alpha \vect{u}$. Vrai
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les deux plans ont pour vecteurs respectifs normaux $\vect{v}(1~;~1~;~1)$ et 
		
$\vect{w}(1~;~0~;~-1)$ d'où  $\vect{v}~\cdot~\vect{w} = 1 - 1 = 0$. Les deux plans sont orthogonaux, leur intersection est donc une droite.  Faux
		\item On a effectivement $1 + 1 + 1 = 3$ et $2 - 1 = 1$, donc l'ensemble E est bien une  droite  contenant  A. Vrai
		\item Faux 
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x + y + z&=&3\\
2x - z &=&1\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=&3 - z\\
2x  &=&1 + z\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=&3 - z\\
x  &=&\dfrac{1 + z}{2}\\
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
 y &=&\dfrac{5 - 3z}{2}\\
x  &=&\dfrac{1 + z}{2}\\
\end{array}\right.$\\
L'ensemble des points de E est donc l'ensemble des points de coordonnées $\left(\dfrac{1 + z}{2}~;~\dfrac{5 - 3z}{2}~;~z\right)$. L'équation paramétrique de cette droite est donc :

\renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}z\\
y &=&\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2}z\\
z&=&z\\
\end{array}\right.$ En posant $z = 2t$, on obtient le système :\\
$ \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \dfrac{1}{2} + t\\
y  &=&\dfrac{5}{2} - 3t\\
z &=&0 + 2t\\
\end{array}\right.$ 
Cette équation est celle de la  droite contenant 

B$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~0\right)$  et de vecteur directeur $(1~;~-3~;~2)$. Vrai.
\renewcommand\arraystretch{1}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Faux (difficile à justifier)
		\item (AH) est orthogonale à (BC) donc appartient aussi au plan $P$. Vrai
		\item $\vect{\text{B}M} \cdot \vect{\text{BC}} =  \vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}} \iff 
\vect{\text{BC}} \cdot\left(\vect{\text{B}M} - \vect{\text{BA}}\right) = 0 \iff \vect{\text{BC}} \cdot \vect{\text{A}M} = 0$.

L'ensemble des points $M$ est donc le plan contenant A et orthogonal à (BC) : c'est bien le plan  $P$. Vrai.
		\item Faux : La face (ABC) étant quelconque la hauteur [AH] n'est pas la médiane relative à [BC].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}