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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS La Réunion 18 juin 2008~\decofourright}}

\bigskip

%Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.
%
%Une bonne réponse rapporte un point.
% 
%Toutes, les questions sont indépendantes.
%  
%\medskip
%  
%Recopier et compléter sur la copie le tableau ci-dessous en indiquant la réponse jugée correcte (a, b ou c), sans justification.
  
\medskip
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question		&1	&2	&3a	&3b	&4	&5	&6	&7\\ \hline
Réponse choisie	&a	&b	&b	&c	&c	&b	&b	&a 	\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur [0 ; 10], d'expression : 

%\[f(x) = 3x^2 - 5x.\]

%Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point A d'abscisse $0$ est égal à :
	
\medskip
	
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
%a.~~ $-5$&	b.~~ $3$&	c.~~ $0$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
On a sur [0~;~10], $f'(x) = 6x - 5$.

Donc $f'(0) = - 5$.
\item 	%On donne la courbe d'une certaine fonction $g$, définie et dérivable sur $[- 2~;~2]$.
 
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-5,0)(5,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-5,0)(5,6)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-5,0)(5,6)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x dup mul 1 add}
%\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
%\end{pspicture} 
% \end{center}
% 
%\bigskip
% 
%Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. Par lecture graphique $g'(0)$ est égal à :
La tangente est horizontale donc $g'(0) = 0$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
%a.~~ $3$&	b.~~$0$&			c.~~ $-3$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item 	%Dans un lycée, on s'intéresse à l'ensemble des \np{1000} fiches des élèves de l'établissement.

%30\,\% de ces fiches sont celles des élèves de la filière SMS. Un tiers des fiches des élèves de la filière SMS sont celles d'élèves en terminale.
	\begin{enumerate}
		\item  %Le nombre d'élèves en terminale SMS est de :
Le nombre d'élèves en SMS est $0,30\times \np{1000} = 300$.

Sur ces 300 élèves un tiers sont en terminale soit $\dfrac{1}{3} \times 300 = 100$. Il y a 100 élèves en terminale SMS.		
%\medskip
%		
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
%a.~~$300$&	b.~~$100$& 	c.~~$900$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

		\item 	%On choisit au hasard une fiche d'un élève de SMS, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie. La probabilité que cette fiche soit celle d'un élève en terminale est :
		
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
%a.~~$\dfrac{1}{\np{1000}}$&	b.~~$\dfrac{1}{300}$&c.~~
%$\dfrac{1}{3}$\\
%\end{tabularx}
Sur les 300 élèves de SMS 100 sont en terminale : la probabilité de choisir la fiche d'un élève de terminale est $\dfrac{100}{300} = \dfrac{1}{3}$. 
 \medskip
 
 	\end{enumerate}
\item	%Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$	et de premier terme $u_{0} = 5$. Le terme d'indice 13 est égal à :

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\	
%a. ~~$6,5$&		b.~~ $13$&				c.~~$11,5$\\
%\end{tabularx}
$u_1 = u_0 + \dfrac{1}{2}; \: u_2 = u_0 + 2\times \dfrac{1}{2}, \ldots, \: u_{13} = u_0 + 13\times \dfrac{1}{2} = 5 + \dfrac{13}{2} = \dfrac{23}{2} = 11,5$.
\medskip

\item %On considère la série statistique suivante :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Valeurs $x_{i}$	&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
%Effectifs $n_{i}$	&2	&4	&1	&2	&1	&2\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%La moyenne arithmétique de cette série est :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
%a.~~$\dfrac{5}{2}$&b.~~ $\dfrac{13}{6}$&	c.~~ $1,25$\\ 
%\end{tabularx}
La moyenne est égale à $\dfrac{0 + 4 + 2 + 6 + 4 + 10}{12} = \dfrac{26}{12} = \dfrac{13}{6}$.
\medskip

\item	%($\mathcal{C}$) est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

%On suppose que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =4$.
%  
%La courbe ($\mathcal{C}$) admet donc :
%
%a.~~ une asymptote verticale d'équation : $ x =4$ ;
%
%b.~~ une asymptote horizontale d'équation : $y =  4$ ;
%
%c.~~ une tangente d'équation : $y = 4 x + 4.$
L'asymptote a pour équation $y = 4$.
\item	%Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression : $f(x) = - \text{e}^{-2x}$.

%La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :
On a pour tout réel : $f'(x) = - 2 \times \left(- \text{e}^{- 2x}\right) = 2\text{e}^{- 2x}$.
%\medskip
%
%   \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
%a.~~ $f'(x) = 2\text{e}^{-2x}$&	b.~~ $f'(x) = - \text{e}^{-2x}$& 	c.~~ $f'(x) = 2\text{e}^{2x}$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 20], d'expression :
 
\[f(x) = 0,2x + 0,5\ln (2x + 1)\]

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [0 ; 20]. Vérifier que : $f'(x) = \dfrac{0,4x + 1,2}{2x + 1}$.
On a sur [0~;~20], $f'(x) = 0,2 + 0,5 \times \dfrac{2}{2x + 1} = 0,2 + \dfrac{1}{2x + 1} = \dfrac{0,2(2x + 1) + 1}{2x + 1} = \dfrac{0,4x+ 0,2 + 1}{2x + 1} = \dfrac{0,4x + 1,2}{2x + 1}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~20].
Pour tout $x \in [0~;~20], \: 2x + 1 > 0$ et $0,4x + 1,2 > 0$, donc $f'(x)  > 0$.
		\item  En déduire le tableau de variations de $f$ sur [0~;~20].
	\end{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant les valeurs de $f(x)$ arrondies à $0,01$.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1		&2		&4		&7		&10		&13		&16		&20\\ \hline
$f(x)$	&0	&0,75	&1,20	&1,90	&2,75	&3,52	&4,25	&4,95	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\item	%Déterminer une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ à la courbe $\mathcal{C}$.
On a $f(0) = 0,5\ln 1 = 0$ et $f'(0) = \dfrac{0 + 1,2}{0 + 1} = 1,2$.

Une équation de la tangente $T$ est :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, soit $y = 1,2x$.
\item	~%Tracer la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(13,7)
\psplot{-0.2}{5}{1.2 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{2 x mul 1 add ln 0.5 mul 0.2 x mul add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](12,0)(12,4)(0,4)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](8.5,0)(8.5,3.145)(0,3.145)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,2)(4.3,2)(4.3,0)
\rput(4,5.3){$T$}\rput(12.5,4.4){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{On définit  l'indice de masse corporelle (IMC) comme le quotient du poids d'un individu par le carré de sa taille. Selon l'Organisation Mondiale de la Santé, un individu est dit en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à $25$ et il est dit obèse si son IMG est supérieur ou égal à $30$.}
%
%\medskip
%
%Pour un nombre $x$ de personnes de la population française en surpoids, une étude a montré que l'on peut admettre que le nombre d'obèses est donné par:
%
%\[f(x) = 0,2x + 0,5\ln (2x + 1)\]
%
%($x$ et $f(x)$ étant exprimés en millions de personnes).
\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre de personnes obèses quand le nombre de personnes en surpoids est de $8,5$~millions de personnes.
On a $f(8,5) = 0,2 \times 8,5 + 0,5 \ln (2\times 8,5 + 1) = 1,7 + 0,5\ln 18 \approx \np{3,145}$~millions d'obèses. (voir la figure)
\item 	%Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item  %Le nombre de personnes obèses pour douze millions de personnes en surpoids.
On lit (voir ci-dessus) environ 4 millions d'obèses.
		\item  %Le nombre de personnes en surpoids lorsque le nombre d'obèses est de deux millions.
On lit (voir ci-dessus) environ 4,3 millions de personnes en surpoids.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}