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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Métropole 23 juin 2008~\decofourright  }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

%Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

%\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).

%\emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée.}

%\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte retire $0,5$ point et l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

%\emph{Si le total des points obtenus dans cette partie est négatif la note est ramenée à $0$.}

%\textbf{On inscrira sur la copie le numéro et la lettre de la réponse choisie.}
\begin{enumerate}
\item  %Un article coûte 25~\euro, une remise de 45\:\% est effectuée. 

Son nouveau prix est obtenu en effectuant : $25 \left(1 - \dfrac{45}{100} \right) =$
$ 25 \times \dfrac{55}{100} = 25 \times 0,55$ : réponse a.

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~ $25 \times 0,55$&	\textbf{b.}~ $25 \times \dfrac{45}{100}$&		\textbf{c.}~ $25\times 1,45$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\item Le prix d'un article augmente de 16\:\% puis baisse de 16\:\%. Après ces deux évolutions successives :

\medskip
le nouveau prix est multiplié par $1,16$, puis par $1 - 0,16 = 0,84$ soit finalement par $1,16 \times 0,84 = 0,9744$ : il a baissé ; réponse c.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~ il a augmenté&	\textbf{b.}~ il est revenu au prix de départ &		\textbf{c.}~ il a baissé\\
%\end{tabularx}

\medskip

%\emph{Pour les questions $3.$ et $4.$ on considère deux évènements} A \emph{et} B \emph{d'un univers $\Omega$.}

%On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A.

%On donne : $p(\text{A}) = 0,32~;~ p(\text{B}) = 0,24~;~p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,13$.
\item  %La probabilité de l'évènement A~$\cup$~B est :
On a $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cup \text{B}$ ; donc $p(\text{A} \cup \text{B} = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,32 + 0,24 - 0,13 = 0,43.$ Réponse b.
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~ $p(\text{A}\cup \text{B})=0,56$&	\textbf{b.}~ $p(\text{A} \cup \text{B})=0,43$ &		\textbf{c.}~ $p(\text{A} \cup \text{B})=0,69$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\item  La probabilité de l'évènement $\overline{A}$ est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~ $p\left(\overline{\text{A}}\right)= 0,68$&	\textbf{b.}~ $p\left(\overline{\text{A}}\right) = 1,24$ &		\textbf{c.}~ $p\left(\overline{\text{A}}\right) = 0,24$\\
%\end{tabularx}
$1 - p(A) = 1 - 0,32 = 0,68$. Réponse a.
%\medskip

\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B :}

%Dans une classe de Terminale sciences médico-sociales de 30 élèves, on sait que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 80\:\% des élèves sont des filles,
%\item[$\bullet~$] 25 élèves désirent devenir infirmiers ou infirmières,
%\item[$\bullet~$] 3 filles veulent devenir secrétaires médicales, aucun garçon ne le veut,
%\item[$\bullet~$] tous les garçons de la classe veulent devenir infirmiers, excepté l'un d'entre eux.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  ~%Recopier et compléter le tableau ci-dessous :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Métier \\projeté}{Sexe}&Garçon	&Fille	&	Total\\ \hline
Infirmier(e)					&5		&20		&25\\ \hline
Secrétaire médicale				&0		&3		&3\\ \hline
Autre							&1		&1		&2\\ \hline
Total							&6		&24		&30\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   %On interroge au hasard un élève de cette classe. On considère les évènements :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A : \og l'élève interrogé veut devenir infirmier ou infirmière \fg{},
%\item[] B : \og l'élève interrogée est une fille \fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement A et celle de l'évènement B.
		$p(\text{A}) = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}$ ;  $p(\text{B}) = \dfrac{24}{30} = \dfrac{4}{5} = 0,8$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement A ~$\cap$~ B puis calculer sa probabilité.
		A ~$\cap$~ B désigne l'évènement : \og l'élève interrogé est une fille qui veut devenir infirmière \fg. 
		
On a $p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}.$		 
		\item $p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B} - p(\text{A} \cup \text{B})$, donc $p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B} - p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{25}{30} + \dfrac{24}{30} - \dfrac{20}{30} = \dfrac{29}{30}$.
 	\end{enumerate}
\item   %On interroge au hasard une fille de cette classe. On considère l'évènement :

%C : \og  la fille interrogée veut devenir secrétaire médicale \fg.

%Calculer la probabilité de l'évènement C.
$p(\text{C}) = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8} = 0,125$.
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
%Dans un laboratoire on injecte dans le sang d'un patient une certaine substance. 

%On en mesure la concentration, en gramme par litre (g$\cdot $L$^{-1}$), en fonction du temps $x$ exprimé en heures. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

%\medskip

%\begin{tabularx}
%{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Temps écoulé : $x_{i}$ (en h)	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8\\ \hline
%Concentration : $y_{i}$ 
%(g$\cdot$ L$^{-1}$)			&3,8&4,5&4,2&3,6&3,1&3	&2,9&2,9 &2,8\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Partie A : ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Construire, sur la feuille de papier millimétré fournie, le nuage de points représentant cette série. On prendra comme unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  2 cm pour une heure sur l'axe des abscisses
%\item  5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à 2.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
~

\psset{xunit=1.3cm,yunit=2.6cm}
\hspace{-0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.15)(8.5,3.3)
\multido{\n=0+0.25}{35}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0+0.1}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2]{->}(0,0)(8.5,3.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2](0,0)(8.5,3.3)
\psdots[linecolor=blue](0,1.8)(1,2.5)(2,2.2)(3,1.6)(4,1.1)(5,1)(6,0.9)(7,0.9)(8,0.8)(4,1.4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{0}{8}{2.71828 1 x sub exp  x mul 2 mul 0.75 add}
\uput[ur](4,1.4){G}
\psplot{0}{8.5}{2.2 0.2 x mul sub}\uput[d](8.5,0.5){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}

\medskip

\item  %Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près). Placer le point G sur le graphique.
On a G$(4~;~3,4)$
\item  %On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point G et dont le coefficient directeur vaut $-0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		Une équation de $\mathcal{D}$ est $y = -0,2x + p$.
		
G$(4~;~3,4) \in \mathcal{D} \iff 3,4 = - 0,2 \times 4 + p \iff p = 3,4 + 0,8 = 4,2$.

Une équation de $\mathcal{D}$ est $y = -0,2x + 4,2$. (voir la figure)
		\item  %On suppose que la droite $\mathcal{D}$ réalise un ajustement affine du nuage de points. En utilisant la droite $\mathcal{D}$, donner une estimation de la concentration de cette substance au bout de $9$~heures puis au bout de $10$~heures (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près).
Pour $x = 9,~y = - 0,2 \times 9 + 4,2 = 4,2 - 1,8 = 2,4$.

Au bout de 9 heures la concentration est de 2,4~g/L.

Pour $x = 10,~y = -0,2 \times 10 + 4,2 = 4,2 - 2 = 2,2$.

Au bout de 10 heures la concentration est de 2,2~g/L.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : ajustement exponentiel}

\medskip

%Étant donnée la forme du nuage, les biologistes de ce laboratoire en cherchent un autre ajustement. Ils considèrent la fonction $f$ définie par
% 
%\[f(x) = 2,75 + 2x\text{e}^{1 -x}\]

% sur l'intervalle [0~;~10], où $x$ représente le temps écoulé en heures.
 
\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ puis vérifier que 
$f'(x) = 2\text{e}^{1 -x} - 2x\text{e}^{1 -x} =  (2 - 2x)\text{e}^{1 -x}.$
\item  %À l'aide d'un tableau, donner le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle [0~;~10].
Comme $\text{e}^u > 0$, quel que soit le réel $u$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2 - 2x$.

Donc $2 - 2 x \geqslant 0 \iff x \leqslant 1$. Donc sur l'intervalle [0~;~1] la fonction est croissante et sur [1~;~10], la fonction est décroissante.
\item  %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :

\medskip

\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.8) \psline{->}(5.5,1.8)(7.5,0.5) 
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$1$} \uput[u](7.7,2.5){$10$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$} \uput[u](3.5,2){$+$}\uput[u](5,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.3,0){2,75} \uput[d](5,2){4,75} \uput[u](6.6,0){$2,75 + 20\text{e}^{-9} \approx 2,75$}    


\end{pspicture}
\item  %Si l'on utilisait la fonction $f$ quelle serait l'estimation de la concentration de cette substance au bout de $9$~heures puis au bout de $10$~heures ? (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près)
La concentration au bout de 9~heures est $f(9) = 2,75 + 18\text{e}^{-8} \approx 2,756 \approx 2,8$~g/L.

La concentration au bout de 10~heures est $f(10) = 2,75 + 20\text{e}^{-9} \approx 2,752 \approx 2,8$~g/L.
\item  %Afin de choisir le meilleur ajustement, les biologistes décident de construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on arrondira ces valeurs à $10^{-2}$ près).
		
\medskip

\begin{tabularx}
{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
$f(x)$ 	&2,75	&4,75	&4,22	&3,56	&3,15	&2,93	&2,83	&2,78	&2,76\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  %Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent, sur l'intervalle [0~;~8].
Voir la figure
 	\end{enumerate}
\item %Quel est l'ajustement qui paraît le mieux adapté ?
L'ajustement par la fonction exponentielle semble plus près de la réalité que l'ajustement affine.
\end{enumerate}
\end{document}