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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Polynésie  juin 2008 \decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%Avant l'entrée des enfants à l'école primaire, les médecins et infirmiers du Ministère de l'Éducation Nationale effectuent un bilan de santé. Ces professionnels de santé ont été chargés de réaliser une enquête auprès d'un échantillon national de \nombre{30000}~élèves examinés en 2000-2001.
%
%\medskip
%
%On étudie ici les résultats d'un groupe de 555 élèves de Champagne-Ardenne au sujet de leur poids.
%
%\textbf{Pour ce groupe :}
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $275$ enfants sont des filles ;
%\item[] $12$\,\% des filles sont concernées par un surpoids modéré;
%\item[] $252$~garçons ont un poids normal et parmi les garçons 7,5\,\% ont un surpoids modéré ;
%\item[]  $18$~enfants sont obèses.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer par un calcul que $21$~garçons et $33$~filles du groupe ont un surpoids modéré.
12\,\% de 275 représentent $0,12 \times 275 = 33$ filles qui ont un surpoids modéré.

7,5\,\% de $555 - 275 = 280$ garçons soit $0,075 \times 280 = 21$ garçons ont un surpoids modéré.
		\item %Reproduire et compléter le tableau suivant :
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Élèves			&Filles	&Garçons&Total\\ \hline
Poids normal	&231	&252	&483\\ \hline
Surpoids modéré	&33		& 21	&54\\ \hline
Obèse			&11		&7		&18\\ \hline
Total			&275	&280	&555\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{(Source : flash STAT 2003)}
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près.}

%On choisit au hasard l'un des 555 élèves du groupe. 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $A$ l'évènement suivant : \og L'enfant choisi présente un surpoids modéré \fg{} et $B$ l'évènement : \og L'enfant choisi est obèse \fg. 
		
%Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
$p(A) = \dfrac{33 + 21}{555} = \dfrac{54}{555} \approx 0,097$ soit 0,10 à $10^{-2}$ près.

$p(B) = \dfrac{18}{555} \approx 0,032$ soit 0,03 à $10^{-2}$ près.
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $A \cup B$ et calculer sa probabilité.
$A \cup B$ désigne l'évènement : \og l'élève choisi est en surpoids modéré ou obèse \fg.

$p(A \cup B) = \dfrac{54 + 18}{555} = \dfrac{72}{555} \approx 0,129$ soit 0,13 à $10^{-2}$ près. 
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A \cup  B}$ et calculer sa probabilité.
$\overline{A \cup  B}$ désigne l'évènement : \og l'élève choisi n'est ni en surpoids modéré ni obèse.

On a donc $p\left(\overline{A \cup  B} \right) = 1 - p(A \cup B) = 1 - \dfrac{72}{555} = \dfrac{483}{555} \approx 0,870$

 soit 0,87 à $10^{-2}$  près.
	\end{enumerate}
\item %On choisit au hasard une fille parmi les $555$~enfants du groupe. Calculer la probabilité que cette fille soit obèse.
Sur les 275 filles 11 sont obèses : la probabilité est donc égale à 

$p = \dfrac{11}{275} = 0,04$.
\item  %L'enquête réalisée auprès de l'échantillon national de \nombre{30000}~élèves indique que 86\,\% des enfants ont un poids normal. Qu'en est-il du groupe étudié en Champagne-Ardenne ?
En Champagne-Ardenne la proportion d'enfants de poids normal est on l'a vu, question \textbf{2. c.} de 0,87 soit 87\,\%, donc on peut dire que ce groupe est dans la moyenne nationale.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9] par :

\[f(t) = 6t\text{e}^{- \frac{t}{3}}\]

%et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer les valeurs exactes de $f(0),~f(3),~f(9)$.
$f(0) = 6\times 0\text{e}^{- \frac{0}{3}} = 0$ ;

$f(3) = 6\times 3\text{e}^{- \frac{3}{3}} = 18\text{e}^{-1}$.

$f(9) = 6\times 9\text{e}^{- \frac{9}{3}} = 54\text{e}^{- 3}$
\item  %Calculer $f'(t)$ où $f'(t)$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que :
En dérivant le produit :

$f'(t) = 6\text{e}^{- \frac{t}{3}} + 6t \times \left(- \dfrac{1}{3} \right)\text{e}^{- \frac{t}{3}} = \text{e}^{- \frac{t}{3}}\left(6 - 2t \right) = 2(3 - t)\text{e}^{- \frac{t}{3}}$.
%\[f'(t)= 2\text{e}^{- \frac{t}{3}}(3 - t).\]

\item   %Résoudre l'équation $f'(t) = 0$ et étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~9].
Le produit $2(3 - t)\text{e}^{- \frac{t}{3}}$ est nul si l'un des facteurs est nul.

Or on sait que quel que soit le réel $t,\: \text{e}^{- \frac{t}{3}} > 0$.

Donc $f'(t) = 0$ si $3 - t = 0$ ou $t = 3$.

$\bullet~~$Si $0 \leqslant t < 3,\:f(t) > $ ;

$\bullet~~$Si $t = 3,\:f'(3) = 0$ ;

$\bullet~~$Si $3 < t \leqslant 9$,\:$f'(t) < 0$. 
\item  ~%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~9].
On en déduit que $f$ est croissante sur [0~;~3] et décroissante sur [3~;~9].

Avec les valeurs approchées des résultats de la question \textbf{1.} :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){0} \uput[u](4,2.4){3} \uput[u](6.8,2.4){9}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[d](4,2){$\approx 6,62$}\uput[u](1.2,0){0}\uput[u](6.5,0){$\approx 2,69$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\item   %Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est égal au nombre dérivé $f'(0) = 2(3 - 0)\text{e}^{- \frac{0}{3}} = 6$
\item   Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $0,1$ près).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&0,5&1	&1,5&2	&3	&4		&5  &6 		&7   	&8		&9\\ \hline
$f(t)$	&0	&2,5&4,3&5,5&6,2&6,6&6,3	&5,7&4,9 	&4,1 	&3,3 	&2,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  ~%Sur une feuille de papier millimétré, construire la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal en prenant $2$~cm pour une unité sur chaque axe.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,7.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(9.5,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(9.5,7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{6 x mul 2.71828 x 3 div exp div}
\uput[u](9.25,0){$t$} \uput[r](0,7.25){$f(t)$}
\psset{arrowsize=2pt 5}
\psline{->}(0,0)(1,6)\rput(0.75,5.5){$T$}
\uput[u](8.5,3){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,5)(1.27,5)(1.27,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,5)(5.84,5)(5.84,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
%
%Les pénicillines naturelles sont des antibiotiques extraits de cultures de la moisissure \emph{Penicillium}. La pénicilline V, administrée par voie orale est une des molécules naturelles le plus souvent prescrite.
%
%Un patient a absorbé par voie orale de la pénicilline V. On admet que la concentration de pénicilline V dans son sang (en milligrammes par litre) en fonction du temps $t$ (en heures) après le début du traitement est donnée par :
% 
%\[f(t) = 6t\text{e}^{- \frac{t}{3}}.\]

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la concentration de pénicilline V présente dans le sang au bout de 2~h 30~minutes après la prise du traitement (\emph{donner ce résultat sous forme décimale arrondie à $0,1$~près}).
La concentration de pénicilline V présente dans le sang au bout de 2~h 30~minutes après la prise du traitement est :

$f(2,5) = 6\times 2,5\times \text{e}^{- \frac{2,5}{3}} \approx 6,519$ soit environ 6,5~mg/l.
\item %Au bout de combien de temps la concentration de pénicilline V est-elle maximale ? Quelle est alors cette concentration à $0,1$~près ?
On a vu que la dérivée s'annule pour $t = 3$ et qu'elle correspond au maximum de la fonction :

$f(3) \approx 6,6$~mg/l. Ce maximum est obtenu au bout de 3 heures. 
\item  %Déterminer graphiquement durant combien de temps la concentration de pénicilline V reste supérieure ou égale à $5$ milligrammes par litre (\emph{indiquer sur le dessin de la partie A les traits de construction utiles}). Exprimer le résultat en heures et minutes.
On constate graphiquement que la concentration reste supérieure ou égale à 5 milligrammes par litre pour $1,2 \leqslant t \leqslant 5,85$, soit entre 1 h 12 min et 5~h 51~min.
\end{enumerate}
\end{document}