\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !!! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} % Merci à Christelle Bart pour le sujet %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr,enumitem} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S } \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles--Guyane juin 2013 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points} \medskip {\footnotesize Le tableau ci-dessous donne le nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France entre fin 2001 et fin 2009, exprimé en millions. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 \\ \hline Rang $x_{i}$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline Nombre d'abonnements $y_{i}$ &37 &38,6 &41,7 &44,5 &48,1 &51,7 &55,3 &58 &61,5 \\ \hline \multicolumn{10}{r}{\emph{source : Eurostat}} \end{tabularx} \medskip On définit ainsi une série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ allant de 1 à 9. \bigskip } \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur la feuille page~\pageref{reglin}, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté dans un repère orthogonal. % On choisira : % \setlength\parindent{8mm} % \begin{itemize} % \item[$\bullet~~$] 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses, % \item[$\bullet~~$] 1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées, (commencer à graduer l'axe des ordonnées à 34). % \end{itemize} % \setlength\parindent{0mm} \item Un ajustement affine de ce nuage est envisageable, les points semblent presque alignés. \item Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$. \[ \overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+8+9}{9}=5 \qquad \overline{y}_G=\frac{\np{37}+\np{38.6}+\dots+\np{58}+\np{61.5}}{9}\approx\np{48.5}\] G $\left( 5~;~\np{48.5} \right)$ est placé sur le graphique. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, deux méthodes différentes de modélisation seront utilisées. \begin{enumerate}[resume] \item \textbf{Méthode graphique} \begin{enumerate} \item Sans effectuer de calcul, traçons la droite d'équation donnée à la question suivante. Elle passe par le point G et réalise un ajustement affine du nuage de points. \item Une estimation, au million d'abonnements près, à l'aide du graphique, du nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012 est d'environ 71 millions. %La réponse sera donnée sur la copie. \end{enumerate} \item \textbf{Méthode algébrique} On admet dans cette partie que la droite d'équation : $y = 3,2x + 32,5$ réalise un bon ajustement de ce nuage. \begin{enumerate} \item Vérifions, par le calcul, que cette droite passe par le point G. Pour ce faire, calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse celle de G. $y=\np{3.2}\times 5+ \np{32.5}=\np{48.5}$. Cette ordonnée étant celle de G, le point appartient à la droite. \item Estimons, à $0,1$~million d'abonnements près, par le calcul, le nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012. En 2012, le rang de l'année est 12, remplaçons $x$ par $12$ dans l'équation de la droite. $y=\np{3.2}\times 12+ \np{32.5}=\np{70.9}$. Une estimation, à $0,1$~million d'abonnements près, du nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012 est $\np{70.9}$ millions d'abonnements. \item Les dernières données disponibles indiquent qu'il y a $70,4$~millions d'abonnements au service de téléphonie mobile en France en juin 2012. L'estimation obtenue à la question \textbf{b.} parait surestimer légèrement la réalité. L'estimation est supérieure d'environ un demi-million d'abonnements. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie A} { \footnotesize \medskip Dans cette partie, les résultats seront exprimés en pourcentage et arrondis à $0,1$\,\% près. \medskip } \begin{enumerate} \item {\footnotesize En France, les 4 premiers groupes iso-ressources (GIR 1 à 4) de la grille nationale AGGIR ouvrent droit à l'allocation personnalisée d'autonomie (APA). Fin 2010, \np{1200} milliers de personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l'APA dont 734 milliers ont directement perçu l'APA à domicile. Voici le tableau donnant, en milliers de personnes, le nombre de bénéficiaires de l'APA selon le degré de dépendance de la personne : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&\multicolumn{3}{c|}{Au 31 décembre 2010}\\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&Domicile& En établissements& Total\\ \hline GIR1 &19 &86 &105\\ \hline GIR2 &131 &191 &322\\ \hline GIR3 &159 &79 &238\\ \hline GIR4 &425 &110 &535\\ \hline Ensemble&734&466 &\np{1200}\\ \hline \multicolumn{4}{r}{\emph{Source: Drees, enquête trimestrielle auprès des conseils généraux}}\\ \end{tabularx} \end{center} } \begin{enumerate} \item Calculons, en pourcentage, la proportion des bénéficiaires de l'APA qui ont perçu cette allocation directement à domicile. En milliers, les bénéficiaires de l'APA qui ont perçu cette allocation directement à domicile étaient 734 et les bénéficiaires de l'APA \np{1200}$. \: \dfrac{734}{\np{1200}}\approx \np{0.6167}$. Il y a environ $\np{61.7}\,\%$ des bénéficiaires de l'APA qui ont perçu cette allocation directement à domicile.% Arrondir le résultat à $0,1\,\%$ près \item Parmi les personnes bénéficiant de l'APA en établissement, calculons, en pourcentage, la proportion de celles relevant du GIR2. En milliers, les bénéficiaires de l'APA relevant du GIR2 qui ont perçu cette allocation en établissement étaient 191 et les bénéficiaires de l'APA en établissement \np{466}. $\dfrac{191}{\np{466}}\approx \np{0.40987}$. Parmi les personnes bénéficiant de l'APA en établissement, il y a environ 41\,\% des bénéficiaires qui relevaient du GIR2. % On arrondira le résultats à $0,1\,\%$ près. \end{enumerate} \item En 2009, $718$ milliers de personnes ont bénéficié de l'APA à domicile. Calculons le taux d'évolution, en pourcentage et arrondi à $0,1\,\%$ près, du nombre de bénéficiaires de l'APA à domicile entre 2009 et 2010. Le taux d'évolution est défini par $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. \hspace{2em} $\dfrac{734-718}{718}\approx \np{0,02228}$. Entre 2009 et 2010 le nombre de bénéficiaires de l'APA à domicile, a augmenté d'environ \np{2,2}\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize On note $u_{0}$ le nombre de milliers de personnes bénéficiant de l'APA à domicile à la fin de l'année 2010, et $u_{n}$ le nombre de milliers de personnes bénéficiant de l'APA à domicile à la fin de l'année $(2010 + n)$. Ainsi, $u_{0} = 734$. On admet que le nombre de bénéficiaires de l'APA à domicile augmente de 2,2\,\% chaque année à partir de 2010. On utilise un tableur pour calculer des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D\\ \hline 1&années& $n$& $u_{n}$&\\ \hline 2& 2010 &0 &734&\\ \hline 3 &2011 &1 &&\\ \hline 4 &2012 &2 &&\\ \hline 5 &2013 &3 &&\\ \hline \ldots&\ldots&\ldots& &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} } \begin{enumerate} \item À un taux d'évolution de \np{0.022} correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.022}. $u_{1}=734\times \np{1.022}=750$ à l'unité prés. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique car chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre, ici \np{1.022}. Par conséquent la raison est \np{1.022}. \item Quatre formules à saisir dans la cellule C3, puis à recopier vers le bas pour afficher les valeurs de $u_{n}$, sont proposées : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\fbox{$=734\star 1,022$}}&\ovalbox{\fbox{=C2$\star 1,022$}}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\fbox{C\$ $2\star 1,022$}}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\fbox{=\$C\$ $2\star 1,022$}} \end{tabularx} \medskip Une seule est exacte, =C2*\np{1.022}. Avec les formules 1 et 4, nous obtenons toujours la même valeur, $u_1$. La 3 ne donne aucun résultat car il manque le signe \og =\fg. %indiquer cette formule sur votre copie. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est pour tout entier naturel $n$ $u_n=u_0q^n$. $U_n=734 \times(\np{1.022})^n$. \item Le nombre de personnes bénéficiant de l'APA à domicile que nous pouvons prévoir pour la fin de l'année 2020 est en milliers de 912 à un millier près. En effet le rang de 2020 est 10, calculons alors $u_{10}$. $u_{10}=734\times (\np{1.022})^{10} \approx {\np{912.44}}$. %Donner la réponse au millier de personnes près. \item \emph{\footnotesize Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Si la progression reste la même, à partir de la fin de quelle année le nombre de personnes bénéficiant de l'APA à domicile dépassera-t-il un million ? Pour ce faire, résolvons $734\times (\np{1.022})^{n}>\np{1000}$. $734\times (\np{1.022})^{n}>\np{1000}\iff (\np{1.022})^{n}>\dfrac{\np{1000}}{734}\iff n \log \np{1.022}>\log \left(\dfrac{\np{1000}}{734}\right)\iff $ $n > \dfrac{\log \left(\dfrac{\np{1000}}{734}\right)}{\log\np{1.022}}\text{d'où }\ n>\np{14.21}$ Le nombre de personnes bénéficiant de l'APA à domicile dépassera un million à partir de la fin de 2015 \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 7 points} \medskip {\footnotesize Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un vaccin. Sa capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre $0$ et $18$ litres de ce produit. On note $B(x)$ le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour une production d'un volume $x$ de vaccin exprimé en litres. On appelle $B$ la fonction définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~18] qui à $x$ associe $B(x)$. La courbe représentative de la fonction $B$ est donnée en annexe. \bigskip } \textbf{Partie A : Lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique et avec la précision permise par celui-ci, les volumes hebdomadaires nécessaires pour que le bénéfice hebdomadaire soit égal à $400$~euros sont d'environ $\np{3.1}~\ell$ ou de $\np{15.3}~\ell$. Nous lisons les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y=400$.%On donnera la réponse sur la copie. \item Le laboratoire est bénéficiaire lorsque la courbe représentative de la fonction B est située au dessus de l'axe des abscisses. Cette courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et environ \np{16.3}. Entre ces deux valeurs, elle est située dans le demi-plan des $y$ positifs. À l'aide du graphique, les volumes hebdomadaires produits permettant de réaliser un bénéfice appartiennent à [1~;~\np{16.3}]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : \'Etude du bénéfice hebdomadaire} \medskip On admet que $B$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~18] par : \[B(x) = - x^3 + 6x^2 + 180x - 184.\] On notera $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. \bigskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18], calculons $B'(x)$. $B'(x)=-3x^2+6(2x)+180=-3x^2+12x+180=3(-x^2+4x+60)$ \item Vérifions que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18], $B'(x) = (- 3x + 30)(x + 6)$. $(-3x+30)(x+6)=3(-x+10)(x+6)=3(-x^2-6x+10x+60)=3(-x^2+4x+60)$. Ceci est bien égale à $B'(x)$ trouvée précédemment. \item \'Etudions le signe de $B'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18]. Sur cet intervalle, $3(x+6)>0$ donc le signe de $B'(x)$ est le signe de $-x+10$. Sur $\R$, $-x+10>0 \iff x<10$. Par conséquent, $B'(x)>0$ si $x$ appartient à $[0~;~10[$ et $B'(x)<0$ si $x$ appartient à $]10~;~18]$. \item Dressons le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~18] Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour $x\in [0~;~10[,\ B'(x)>0$, par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Pour $x\in ]10~;~18],\ B'(x)<0$, par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45){$10$}\uput[u](7.75,2.45){$18$} \uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $B$} \uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.45,0.51){$-184$}\uput[u](4.5,1.5){$\np{1216}$}\uput[d](7.4,0.55){$-832$} \psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item En utilisant le tableau de variations, le volume hebdomadaire à produire pour obtenir un bénéfice maximal est de 10 $\ell$. Le montant du bénéfice hebdomadaire maximal est alors de \np{1216}~euros. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE}\\ \textbf{(À rendre avec la copie) }} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.006cm} \begin{pspicture}(-0.5,-850)(18.5,1300) \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange,linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,-800)(\n,1300)} \multido{\n=-800+100}{22}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange,linestyle=dotted,dotsep=2pt](0,\n)(18,\n)} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x dup mul 6 mul x 3 exp sub 180 x mul add 184 sub} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-850)(18.5,1300) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100](0,0)(-0.5,-850)(18.5,1300) \rput(18,120){Volume}\rput(18,60){(en litres)} \uput[r](0,1240){Bénéfice}\uput[r](0,1160){(en euros)} \uput[dl](0,0){O} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x dup mul 6 mul x 3 exp sub 180 x mul add 184 sub} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 3.090080 def \Func)(!3.090080 /x 3.090080 def \Func)(3.090080,0) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 15.27917 def \Func)(!15.27917 /x 15.27917 def \Func)(15.27917,0) \psline[linecolor=green,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{-}(0.9947,0)(0.9947,-270) \psline[linecolor=green,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{-}(16.3317,0)(16.3317,-270) \psline[linecolor=green,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(0.9947,-270)(16.3317,-270) \uput[u](8,-270){\footnotesize zone de bénéfice} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(0,0)(14,40) \psaxes[Ox=0,Oy=34,Dx=1,Dy=2]{->}(13.5,39.5) \multido{\n=0.5+0.5}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,39)} \multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)} \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,3)(2,4.6)(3,7.7)(4,10.5)(5,14.1)(6,17.7)(7,21.3)(8,24)(9,27.5) \rput(0.7,40.385){\footnotesize nombre d'abonnements } \rput(0.5,39.85){\footnotesize en millions} \rput(13,0.3){\footnotesize rang de l'année} \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0.5}{12.5}{x 3.2 mul 1.5 sub} \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](5,14.48889) \uput[u](5,14.5){$G$} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 3.2 mul 1.5 sub} \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 12 def \Func)(!12 /x 12 def \Func)(12,0) \end{pspicture} \label{reglin} \end{center} \end{document}