\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} % Merci à l'académie de la Martinique pour le sujet % Corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,amsfonts} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{13 septembre 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles--Guyane \decofourright\\[4pt]13 septembre 2013}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} {\footnotesize \medskip On donne les informations suivantes sur les infirmiers (hommes ou femmes) exerçant en France, au 1\up{er} janvier 2010 : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \np{516000} infirmiers (hommes ou femmes) exercent en France. \item[$\bullet~~$] Ils sont répartis en trois catégories : les \og infirmiers libéraux \fg{} (hommes ou femmes), les \og salariés hospitaliers \fg{} (hommes ou femmes) et les \og autres salariés \fg. \item[$\bullet~~$] 70\,\% des infirmiers (hommes ou femmes) sont des \og salariés hospitaliers \fg. \item[$\bullet~~$] \np{77200} sont \og infirmiers libéraux \fg{} (hommes ou femmes) parmi eux, 80\,\% sont des femmes. \item[$\bullet~~$] \np{450000} infirmiers sont des femmes ; parmi elles, 15\,\% sont dans la catégorie \og autres salariés \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip } \begin{enumerate} \item Complétons le tableau ci-dessous %situé en annexe 1, page 5, à rendre avec la copie. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&Hommes&Femmes&Total\\ \hline Infirmiers libéraux&\np{15440}&$\overset{\scriptscriptstyle \np{0.8}\times \np{77200}\, = }{\np{61760}}$& \np{77200}\\ \hline Salariés hospitaliers&\np{40460}&\np{320740}& $\overset{\scriptscriptstyle \np{0.7}\times \np{516000}\, = }{\np{361200}}$\\ \hline Autres salariés&\np{10100}&$\overset{\scriptscriptstyle \np{0.15}\times \np{450000}\, = }{\np{67500}}$&\np{77600}\\ \hline Total&\np{66000}&\np{450000}&\np{516000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \emph{Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.} \medskip \item On choisit au hasard une personne parmi les \np{516000} infirmiers exerçant en France. On considère les événements suivants : $A$ : \og La personne est une femme \fg, $B$ : \og La personne est "infirmier libéral" \fg. L'univers est l'ensemble des infirmiers exerçant en France au premier janvier 2010. La loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. La probabilité d'un événement $A $ est $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$. \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité de chacun des événements $A$ et $B$. Parmi les \np{516000} infirmiers, il y a \np{450000} femmes. $P(A)=\dfrac{\np{450000}}{\np{516000}}\approx \np{0.87}$. Il y a \np{77200} infirmiers libéraux. $P(B)=\dfrac{\np{77200}}{\np{516000}}\approx \np{0.15}$. \item L'événement $A \cap B$ est l'événement : \og La personne choisie est une femme et est infirmière libérale\fg. Calculons sa probabilité $P(A \cap B) $. Il y a \np{61760} infirmières libérales. $P(A \cap B) =\dfrac{\np{61760}}{\np{516000}}\approx \np{0.12}$. \item La probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé, est notée $P_{A}(B)$. $P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\np{0.12}}{\np{0.87}}\approx \np{0.14}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points} \medskip {\footnotesize Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne le nombre d'équipements IRM (Imagerie par Résonance Magnétique) à usage humain installés en France métropolitaine depuis 2003. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.7 cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline 1 &Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline 2 &Rang de l'année : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 3 &Nombre d'équipements IRM en France : $y_{j}$&230 &281 &352 &393 &419 &463 &495 &543\\ \hline 4 & Taux d'évolution, en pourcentage, par rapport à l'année précédente&\cellcolor[gray]{0.65}&&&&&&&\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\tiny (Source SNITEM/ISA, hors équipements de recherche, vétérinaires et militaires au 1\up{er} janvier de l'année)}\\ \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Les deux parties sont indépendantes.} } %\bigskip \textbf{Partie A :} %\medskip \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution du nombre d'équipements IRM en France de 2003 à 2004. Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$. $t=\dfrac{281-230}{230}\approx \np{0.2217}$ Le taux d'évolution, arrondi à l'unité, du nombre d'équipements IRM en France entre 2003 et 2004 est de $22 \,\%$. %\emph{On exprimera ce taux en pourcentage, arrondi à $1$\,\% près.} \item La ligne 4 est au format pourcentage. Une formule que l'on peut saisir dans la cellule C4 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 4 est : =(C\$3-B\$3)/B\$3 ou = (C3-B3)/B3 \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Sur la feuille de papier millimétré fournie et à rendre avec la copie, Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté dans un repère orthogonal page \pageref{reglin}.%en choisissant : % \setlength\parindent{1cm} % \begin{itemize} % \item[$\bullet~~$] 1 cm pour 1 unité en abscisse; % \item[$\bullet~~$] 1 cm pour 20 unités en ordonnée. % % (on commencera à graduer l'axe des ordonnées à $200$) % \end{itemize} % \setlength\parindent{0mm} \item Calculons les coordonnées du point G, point moyen du nuage de points. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[ \overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+7+8}{8}=\np{4,5} \qquad \overline{y}_G=\frac{230+281+\dots +495+543}{8}=\np{397}\] G $\left( \np{4,5}~;~\np{397} \right)$ est placé sur le graphique. \end{enumerate} \item On admet que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y = 43x + 203,5$ constitue une droite d'ajustement convenable du nuage. \begin{enumerate} \item Vérifions que le point G appartient à la droite $(\mathcal{D})$. Pour ce faire, montrons que l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse, l'abscisse de G, est celle de G. $y = 43\times \np{4,5} + 203,5 = 397$. G appartient à $(D)$. \item Pour tracer la droite $(\mathcal{D})$ sur le graphique, choisissons deux points (\np{0,5}~;~225),(\np{5,5}~;~440). {\footnotesize\emph{remarque, G n'a pas été choisi pour permettre une vérification}} \item À l'aide du graphique, le nombre d'équipements IRM en France au 1er janvier 2014 est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 12, rang de l'année 2014. Nous lisons environ $720$. \item Estimons, par le calcul et l'ajustement proposé, à partir de quelle année le nombre d'équipements IRM en France dépasserait, selon cet ajustement, $750$. Pour ce faire, résolvons $43 x+\np{203.5}>750$. $43 x+\np{203,5}>750 \iff 43x > 750 - \np{203,5}\iff 43x >\np{546,5}\iff x>\dfrac{\np{546,5}}{43}$. $x \approx \np{12,709}$. Nous pouvons estimer qu'à partir de 2015, le nombre d'équipements IRM dépasserait $750$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points} \medskip En médecine, le taux d'hématocrite est le rapport du volume des globules rouges circulant dans le sang sur le volume total de sang. Chez l'homme, la valeur est normale si ce taux est compris entre $0,4$ et $0,52$. \begin{enumerate} \item Un patient arrive en urgence à l'hôpital et on mesure son taux d'hématocrite qui vaut $0,36$. Pour augmenter ce taux, on lui injecte un médicament. On contrôle régulièrement son taux d'hématocrite pendant les huit premières heures. On définit sur l'intervalle [0~;~8] la fonction $f$ , qui à $t$, la durée écoulée en heures depuis la prise du médicament, associe le taux d'hématocrite du patient. La fonction $f$ est représentée en annexe. En utilisant le graphique et avec la précision permise, %répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item La durée qui se sera écoulée depuis la prise du médicament pour avoir un taux d'hématocrite maximal est d'environ 4 heures. Ce taux est alors d'environ \np{0,44}.% On donnera ces réponses sur la copie. \item Le taux d'hématocrite du patient est normal lorsque la courbe est au dessus de la droite d'équation $y = \np{0,4}$. Nous lisons environ sur l'intervalle [1~;~7] \end{enumerate} \item Huit heures après l'injection du médicament, constatant que le taux d'hématocrite est à nouveau anormal, on injecte un autre médicament. Le taux d'hématocrite est alors donné par $g(t)$ où $g$ est la fonction définie sur l'intervalle [8~;~20] par $ g(t) = - 0,003t^2 + 0,09t - 0,17$, $t$ représentant la durée écoulée depuis l'injection du premier médicament. \begin{enumerate} \item Déterminons $g'$, la fonction dérivée de la fonction $g$. $g'(t)=-\np{0,003}(2t)+\np{0,09}= - \np{0,006}t + \np{0,09}$. \item Étudions le signe de $g'(t)$ sur [8~;~20] Sur $\R,\ -\np{0,006}t + \np{0,09} > 0 \iff - \np{0.006}t > -\np{0,09}\iff t < \dfrac{\np{0,09}}{\np{0,006}}\iff x < 15$ Par conséquent si $t \in [8~;~15[,\ g'(t) > 0$ et si $t \in ]15~;~20],\ g'(t) < 0$. \'Etudions le sens de variation de $g$ et dressons son tableau de variation sur [8~;~20]. Si pour tout $x \in I,\: f'(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour $ t \in[8~;~15[,\: \ g'(t) > 0$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle Si pour tout $x\in I, \: f'(x) < 0$ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$. Pour $t\in]15~;~20],\ g'(t)< 0$, par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \uput[u](0.5,2.45){$t$} \uput[u](1.35,2.45){$8$} \uput[u](4.5,2.45){$15$}\uput[u](7.75,2.45){$20$} \uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(t)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$} \uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.45,0.525){$\np{0.36}$}\uput[u](4.5,1.5){$\np{0.505}$}\uput[dr](7.2,0.51){$\np{0.43}$} \psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item Complétons le tableau des valeurs $g(t)$ donné en annexe 1, à rendre avec la copie. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20\\ \hline $g(t)$ &0,36 &\np{0,40} &\np{0,43} &\np{0,46} &\np{0,48} &\np{0,49} &\np{0,50} &\np{0,50} &\np{0,50} &\np{0,49} &\np{0,48} &\np{0,46} &\np{0,43}\\ \hline \end{tabularx}\end{center} {\footnotesize \emph{ les valeurs sont arrondies à $10^{-2}$ près.}} \item La fonction $g$ est représentée ci-dessous dans le repère de l'annexe 2.%, à rendre avec la copie. \item En utilisant le tableau de valeurs, environ une heure après la prise de ce second médicament le taux d'hématocrite du patient est redevenu normal. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=20cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-2,-0.05)(20.4,0.52) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.05](0,0)(20,0.52) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.15pt,griddots=6,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(20,0.52) \multido{\n=0.00+0.05}{11}{\psline(0,\n)(20,\n)} \uput[d](17.5,-0.025){Durée en heures} \uput[r](0,0.510){Taux d'hématocrite}\uput[l](-0.1,0.44){{\scriptsize \color{green}{\np{0.44}}}} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.44 0.005 4 x sub 2 exp mul sub} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{8}{20}{0.003 neg x 2 exp mul x 0.09 mul add 0.17 sub} \def\Func{0.44 0.005 4 x sub 2 exp mul sub} \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 4 def \Func)(!4 /x 4 def \Func)(4,0) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 1.1716 def \Func)(!1.1716 /x 1.1716 def \Func)(1.1716,0) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 6.8284 def \Func)(!6.8284 /x 6.8284 def \Func)(6.8284,0) \end{pspicture*} \end{center} % \newpage % \begin{center} % \textbf{ANNEXE 1\\ % (à rendre avec la copie) } % \end{center} % \vspace{1cm} % \textbf{Exercice 1} % \bigskip % \begin{center} % \renewcommand\arraystretch{2} % \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} % \multicolumn{1}{c|}{~}&Hommes&Femmes&Total\\ \hline % Infirmiers libéraux&&&\\ \hline % Salariés hospitaliers&&&\\ \hline % Autres salariés&&&\\ \hline % Total&&&\np{516000}\\ \hline % \end{tabularx} % \end{center} \newpage %\thispagestyle{empty} \begin{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.035cm,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(-1,-5)(14.5,530) \psaxes[Ox=0,Oy=200,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(-0.5,-5)(14.25,530) \multido{\n=0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,520)} \multido{\n=0+10}{53}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)} \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,30)(2,81)(3,152)(4,193)(5,219)(6,263)(7,295)(8,343) \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{12.02}{x 43 mul 3.5 add} \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](4.5,197) \def\Func{x 43 mul 3.5 add} \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 12 def \Func)(!12 /x 12 def \Func)(12,0) \rput(0.7,535){\footnotesize Nombre d'équipements IRM} \rput(13,8){\footnotesize rang de l'année} \uput[u](4.5,197){$G$} \end{pspicture} \label{reglin} \end{center} \end{document}