\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès %Sujet aimablement communiqué par Nathalie Leroy %Corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{14 novembre 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie \decofourright\\[4pt]14 novembre 2013}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points} \medskip {\footnotesize Une association s'adresse à une agence de voyage pour organiser un séjour de vacances pour ses 210 adhérents. On constate que, parmi ces adhérents : \setlength\parindent{25mm} \begin{itemize} \item[ ] 30\,\% ont moins de 40 ans ; \item[ ] un tiers souhaite séjourner en Amérique; \item[ ] 40\,\% souhaitent séjourner en Europe, et parmi eux, 75\,\% ont plus de 40 ans; \item[ ] 47 adhérents âgés de plus de 40 ans souhaitent séjourner en Afrique. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} } \medskip \begin{enumerate} \item Complétons le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}c|}\hline & Nombre d'adhérents souhaitant séjourner en Europe& Nombre d'adhérents souhaitant séjourner en Afrique& Nombre d'adhérents souhaitant séjourner en Amérique& {\footnotesize Total}\\ \hline {\footnotesize Nombre d'adhérents âgés de moins de 40 ans}&21&9&33&{\footnotesize 63}\\ \hline \footnotesize Nombre d'adhérents âgés de plus de 40 ans&63&47&37&{\footnotesize 147}\\ \hline \footnotesize Total&84&56&70&{\footnotesize 210}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} {\footnotesize\emph{Dans les questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième.}} \medskip {\footnotesize On choisit au hasard un adhérent de l'association. On suppose que tous les adhérents ont la même probabilité d'être choisis. } \medskip \item L'univers est l'ensemble des adhérents d'une association. La loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. La probabilité d'un événement $A$ est : $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$. Calculons la probabilité de chacun des événements suivants : $A$ : \og l'adhérent souhaite séjourner en Afrique \fg . Ce souhait est exprimé par 56 adhérents, $p(A)=\dfrac{56}{210}\approx \np{0.27}$. $B$ : \og l'adhérent est âgé de plus de 40 ans \fg. Il y a 147 adhérents âgés de plus de 40 ans, $p(B) = \dfrac{147}{210}=\np{0.70}.$ {\footnotesize\emph{Remarque } Sachant qu'il y a 30\,\% d'adhérents de moins de 40 ans, plus de 40 ans est l'événement contraire et sa probabilité $1-\np{0.30}=\np{0.7}$.} \item Calculons la probabilité de chacun des événements $A \cap B$ et $A \cup B$. \begin{itemize} \item L'événement $A \cap B$ est l'événement : \og l'adhérent a plus de 40 ans et souhaite séjourner en Afrique \fg. 47 adhérents sont dans ce cas, $p(A\cap B) = \dfrac{47}{210} \approx\np{0.22}$. \item $p(A\cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B) = \frac{56}{210}+ \frac{147}{210}- \frac{47}{210}=\frac{156}{210} \approx 0,742 \approx 0,74$ au centième près. \end{itemize} \item La probabilité que l'adhérent souhaite se rendre en Afrique sachant qu'il est âgé de plus de $40$~ ans est notée $p_B(A)$. $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{\frac{47}{210}}{\frac{147}{210}} = \frac{47}{147} \approx \np{0.319} \approx 0,32$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip {\footnotesize Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de tableur, donne l'évolution, depuis 2004, du nombre de pactes civils de solidarité (PACS) conclus en France jusqu'en 2010. La ligne 4 est au format pourcentage.} {\footnotesize \begin{center} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.9cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\centering A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1&Année &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline 2&Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 3&Nombre de PACS $y_{i}$ (en milliers) &40,1& 60,5&77,3 & 102 &146 &174,5&205,6\\ \hline 4&Taux d'évolution entre 2 années consécutives (en \,\%)& \multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&&&&&& \\ \hline \multicolumn{9}{r}{\emph{Champ: France (non compris Saint-Martin et Saint-Barthélemy).}}\\ \multicolumn{9}{r}{\emph{Sources: Institut national de la statistique et des études économiques.}}\\ \end{tabularx} \end{center} \emph{Il n'est pas demandé de compléter le tableau.} } \medskip \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution en pourcentage, arrondi à 0,01\,\%, du nombre de PACS entre les années 2004 et 2005. Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$. $t=\dfrac{\np{60.5}-\np{40.1}}{\np{40.1}}\approx \np{0.5087}$. Le taux d'évolution en pourcentage, arrondi à 0,01\,\%, du nombre de PACS entre 2004 et 2005 est de $\np{50.87}\,\%$. \item La formule que nous pouvons saisir en C4 pour vérifier ce résultat et pour obtenir les autres taux d'évolution en faisant une copie vers la droite est =(C\$3-B\$3)/B\$3. \item \begin{enumerate} \item %Sur une feuille de papier millimétré, Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté, dans un repère orthogonal d'unités graphiques : {\scriptsize 1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1~cm pour $20$~milliers de PACS sur l'axe des ordonnées.} \item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[ \overline{x}_G=\frac{1+2+\ldots+6+7}{7}=4 \quad \overline{y}_G=\frac{\np{40.1}+\np{60.5}+\ldots+\np{174.5}+\np{205.6}}{7}\approx\np{115.14}\] G $\left( 4~;~\np{115.14} \right)$ est placé sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize On suppose que la droite $\Delta$ d'équation $y = 28,3x + 1,8$ réalise jusqu'en 2015 un ajustement affine du nuage de points.} La droite $\Delta$ est tracée dans le repère précédent. \item Déterminons graphiquement une estimation du nombre de PACS en 2012. En 2012, le rang de l'année est 9, lisons l'ordonnée du point appartenant à $\Delta$ d'abscisse 9. Avec la précision permise par le graphique, nous lisons environ 257. Le nombre de PACS en 2012 est environ de \np{257 000}. \item Déterminons, par le calcul, l'année au cours de laquelle, le nombre de PACS devrait dépasser \np{300000}. Pour ce faire, déterminons l'abscisse du point de $\Delta$ d'ordonnée 300. Résolvons $\np{28.3}x+\np{1.8}=300$. $\np{28.3}x+\np{1.8}=300\iff x=\dfrac{300-\np{1.8}}{\np{28.3}}\qquad x\approx \np{10.5}$. L'année au cours de laquelle le nombre de PACS devrait dépasser \np{300000}, est 2014. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip {\footnotesize Un laborantin souhaite tester l'efficacité d'un médicament M. À l'instant $t = 0$, il injecte à un malade une dose de 2 ml de ce médicament et il étudie la quantité de médicament présent dans le sang au bout de $t$~heures. Il s'aperçoit alors que cette quantité diminue de $12$\,\% par heure. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité, en ml, de médicament présent dans le sang au bout de $n$ heures. On a alors $u_{0} = 2$. \medskip } \begin{enumerate} \item Calculons $u_{1}$ et $u_{2}$. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution au taux $t$ est $1+t$. Pour une diminution de 12\,\%, le coefficient multiplicateur est donc \np{0.88}. $u_1=2\times \np{0.88}=\np{1.76}$ ; $u_2=\np{1.76}\times \np{0.88}=\np{1.5488}$. \item Pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1}=\np{0.88}\times u_{n}$. \item Puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison \np{0.88}. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc $u_n=2\times(\np{0.88})^n$. \item Calculons la quantité de médicament présent dans le sang au bout de $10$~heures. Pour $n=10$ nous obtenons $u_{10}=2\times \np{0.88}^{10}\approx \np{0.557}$. Au bout de 10 heures, la quantité de médicament présent dans le sang est d'environ \np[ml]{0.56} au centième près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize On note, dans cette partie, $f(t)$ la quantité de médicament présent dans le sang au bout de $t$ heures, $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~24]. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ est donnée en \textbf{annexe}. } \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons graphiquement une valeur approchée de la quantité de médicament présent dans le sang au bout de 15 heures. Pour ce faire, lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 15. Avec la précision du graphique, nous lisons \np{0.29}. Au bout de 15 heures, la quantité de médicament présent dans le sang est d'environ \np[ml]{0.29}. \item Résolvons graphiquement l'inéquation $f(t) < 0,2$. Traçons la droite d'équation $y=\np{0.2}$ et lisons les abscisses des points pour lesquels la courbe se situe strictement en dessous de cette droite. Nous obtenons ]18~;~24] \item On admet que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~24], $f(t) = 2 \times (0,88)^t$. Vérifions par le calcul les résultats des questions 1. et 2. $f(15)=2\times(\np{0.88})^{15}\approx \np{0.29}$. Résolvons $f(t)<\np{0.2}$. $2\times \np{0.88}^t<\np{0.2}\iff \np{0.88}^t<\np{0.1} \iff t\log \np{0.88}<\log\np{0.1}\iff t>\dfrac{\log\np{0.1}}{\log \np{0.88}}\quad t>\np{18.01}$. L'ensemble des solutions de l'inéquation est $]\np{18.01}~;~24]$. À partir de 18 heures, la quantité de médicament présent dans le sang est inférieure à \np[ml]{0.2}. Les résultats graphiques sont cohérents avec ceux obtenus par le calcul. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE\\ EXERCICE 3}} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.2)(25,2.1) \multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,2.1)} \multido{\n=0.0+0.1}{22}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,\n)(25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(25,2.1) \uput[u](24.5,0){$t$}\uput[l](0,2.07){$y$} \uput[d](22.5,-0.1){Temps en heure} \uput[r](0,2.15){Quantité de produit en ml} \uput[dl](0,0){O} \psset{arrowscale=2} \def\Func{0.88 x exp 2 mul} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{0.88 x exp 2 mul} \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 15 def \Func)(!15 /x 15 def \Func)(15,0) \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 18 def \Func)(!18 /x 18 def \Func)(18,0) \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(0,0)(13,330) \psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(13,325) \multido{\n=10+10}{32}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)} \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,320)} \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,40.1)(2,60.5)(3,77.3)(4,102)(5,146)(6,174.5)(7,205.6) \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{11.25}{x 28.3 mul 1.8 add} \uput[d] (10.95,312.5){$\Delta$}\uput[u](4,115,143){G} \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](4,115.143) \def\Func{x 28.3 mul 1.8 add} \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 9 def \Func)(!9 /x 9 def \Func)(9,0) \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 10.537 def \Func)(!10.537 /x 10.537 def \Func)(10.537,0) \rput(0.7,330){\footnotesize Nombre de PACS} \rput(0.7,325){\footnotesize en milliers } \rput(12.7,5){\footnotesize rang de l'année} \end{pspicture}\end{center} \end{document}