\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{diagbox} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{textcomp} % Corrigé Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-node,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ST2S}, pdftitle = {Métropole 11 septembre 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{11 septembre 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 11 septembre 2013~\decofourright}} \vspace{0,25cm} L'usage d'une calculatrice est autorisé. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève aucun point.} \medskip \emph{On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.} \medskip } \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~10]$ dont la représentation graphique $C_{f}$ est donnée dans le repère orthonormal ci-dessous. La droite (D) est tangente à la courbe au point A d'abscisse 5. \begin{center}\scalebox{0.7}{ \psset{unit=0.725cm} \begin{pspicture*}(-5.5,-3.5)(11.5,7.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-3.5)(11.5,7.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-6,-4)(12,8) \psplot{2}{10}{11.5 1.5 x mul sub} %\psplot[linecolor=red]{-5}{10}{0.25 x 4 exp mul x 3 exp 3 mul sub x dup mul add 48 x mul add 15.04 div 2 add} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5,3)(-4,1.6)(-3,0)(-2,-1)(-1,0)(0,2)(1,4)(2,5.4)(3,6)(4,5.4)(5,4)(6,2.6)(7,1.45)(8,1)(9,1.75)(10,3) \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](5,4){A}\uput[dl](-4.5,2.4){$C_{f}$} \end{pspicture*}} \end{center} \begin{enumerate} \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[0~;~10]}&\ovalbox{\textbf{b.~~} $[-5~;~-3] \cup [-1~;~10]$}& \textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[-2~;~3] \cup [8~;~10]$}. \end{tabularx} {\emph{\footnotesize La courbe doit se situer dans le demi-plan des $y\geqslant 0$}} \medskip \item L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\{2\}$}&\ovalbox{\textbf{b.~~} $\{-3~;~- 1\}$}&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\{-2~;~3~;~8\}$}. \end{tabularx} {\emph{\footnotesize Nous lisons l'abscisse des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.}} \medskip \item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x = 5$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 5}&\ovalbox{\textbf{b.~~} $- \dfrac{3}{2}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 2$} \end{tabularx} {\emph{\footnotesize Nous lisons le coefficient directeur de la droite (D).}} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \np{2500} \times 0,7^x$. \begin{enumerate} \item L'image, arrondie à l'unité, de 5 par la fonction $g$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} \ovalbox{420}&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{8750}}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{7500}}. \end{tabularx} \medskip \item Les solutions de l'inéquation $g(x) < 100$ sont les nombres réels $x$ tels que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} \ovalbox{$x > \dfrac{\log (0,04)}{\log (0,7)}$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $x < \dfrac{\log (0,04)}{\log (0,7)}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$x < \dfrac{\log (0,7)}{\log (0,04)}$} \end{tabularx} {\emph{\footnotesize $\log (\np{0.7}) < 0$}} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points} \medskip Les parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip {\small Le service de l'eau d'une ville a été privatisé en 1990, puis géré par la commune à partir de 1996. \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution du prix de l'eau de cette ville, en euros pour $120$~m$^3$, entre les années 1990 et 1996. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|m{4.65cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1 &Année &1990 &1991 &1992 &1993 &1994 &1995 &1996\\ \hline 2 &Prix de $120$~m$^3$ d'eau (en euros) &185 &177 &189 &208 &216 &222 &228\\ \hline 3&Taux d'évolution entre deux années consécutives (en \,\%)&\cellcolor[gray]{0.85}&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} } \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre 1990 et 1991. Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$. $t=\dfrac{177-185}{185}\approx -\np{0.043243}$ Le taux d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre 1990 et 1991 est , à un dixième de pourcent près, de $-\np{4.3}\,\%$. %\emph{On donnera le résultat sous forme de pourcentage arrondi à} 0,1\,\%. \item Une formule qu'on peut entrer dans la cellule D3, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre deux années consécutives est : =(D\$2$-$C\$2)/C\$2 ou =(D2$-$C2)/C2 %(\emph{On admet que les cellules} C3 \emph{à} H3 \emph{sont en pourcentage}). \medskip On admet que, si le service de l'eau était resté privatisé, le prix de $120$~m$^3$ aurait augmenté de $2,5$\,\% par an à partir de l'année 1996. \medskip On note alors $u_{n}$ le prix de $120$~m$^3$ d'eau pour l'année $(1996 + n)$ où $n$ est un entier naturel. On a alors $u_{0} = 228$. \item À un taux d'évolution de \np{2,5}~\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.025}. Chaque année, le prix précédent est multiplié par \np{1,025}, la suite $\left(u_{n}\right)$ est, par définition, une suite géométrique de raison \np{1,025} et de premier terme $u_{0} = 228$. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. $u_{n}= 228\times(\np{1,025})^n$. \item Le prix de $120$~m$^3$ d'eau en 2012 si le service était resté privatisé aurait été de $428$ euros ; en effet pour 2012, $n = 16 \quad u_{16}= 228\times(\np{1,025})^{16}\approx \np{338,467} \approx 338$ %(\emph{Le résultat sera arrondi à l'unité}). \item Déterminons à partir de quelle année, le prix de $120$~m$^3$ d'eau aurait dépassé $300$\,\euro{}. Pour ce faire, résolvons $228\times(\np{1,025})^n \geqslant 300$. $228\times(\np{1,025})^n \geqslant 300 \hfill (\np{1,025})^n \geqslant \dfrac{300}{228} \hfill n \log \np{1,025}\geqslant \log \dfrac{300}{228} \hfill n\geqslant \dfrac{\log\frac{300}{228}}{\log \np{1,025}}\hfill n\geqslant \np{11,114}$. Par conséquent $n=12$ nous aurons donc à partir de 2008, le prix de $120$~m$^3$ d'eau supérieur à $300$\,\euro{} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La ville gère le service de l'eau depuis 1996. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau depuis 1998. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008 &2010 &2012\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$&0 &2 &4 &6 &8 &10 &12 &14\\ \hline Prix de $120$~m$^3$ d'eau en euros $y_{i}$&191 &202 &198 &202 &204 &208 &215 &220\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item %Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie, Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté dans un repère orthogonal :% d'unités graphiques : \psset{xunit=0.8cm, yunit=0.2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.75,-1)(15.79,38) \psaxes[Ox=0,Oy=190,Dx=2,Dy=2]{->}(15,35) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,34)} \multido{\n=0+2}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)} \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,1)(2,12)(4,8)(6,12)(8,14)(10,18)(12,25)(14,30) \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{14.5}{x 1.8 mul 2.4 add} \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](7,15) \uput[u](7,15){G}\rput (14.1,25.8){$(\Delta)$} \rput(0.7,36.8){\footnotesize prix de $120$~m$^3$ } \rput(0.7,35.6){\footnotesize d'eau en euros } \rput(15,1.4){\footnotesize rang de }%l'année} \rput(15,0.6){\footnotesize l'année} \end{pspicture} \medskip % \setlength\parindent{7mm} % \begin{itemize} % \item 1~cm pour 1 rang d'année sur l'axe des abscisses. On commencera la graduation à $0$. % \item 1~cm pour 4~\euro{} sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à 190. % \end{itemize} % \setlength\parindent{0mm} \item Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[ \overline{x}_G=\frac{0+2+\dots+12+14}{8}=7 \quad \overline{y}_G=\frac{191+202+\dots+215+220}{8}=205\] G $\left( 7~;~205 \right)$ est placé sur le graphique précédent. \item On admet que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 1,8x + 192,4$ réalise un ajustement affine du nuage de points. Cet ajustement est fiable jusqu'en 2020. \begin{enumerate} \item Le point moyen G appartient à la droite $(\Delta)$ car l'ordonnée du point d'abscisse 7 appartenant à $\Delta$ est $\np{1.8}\times 7+\np{192.4}=205$ qui est bien celle du point G. \item La droite $(\Delta)$ est tracée dans le repère précédent. \item En tenant compte de cet ajustement affine, déterminons le prix de $120$~m$^3$ d'eau que l'on peut prévoir pour l'année 2020. Le rang de l'année 2020 est 22. Remplaçons $x$ par 22, dans l'équation de la droite. $y=\np{1.8}\times 22 +\np{192.4}=232$. Selon ce modèle, le prix de $120$~m$^3$ d'eau en 2020 serait de 232 euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Une enquête a été menée auprès de \np{1 700} habitants de diverses régions françaises consommant de l'eau du robinet ou de l'eau en bouteille. Les résultats de l'enquête sont répartis par région dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}& Nombre de personnes consommant de l'eau du robinet&Nombre de personnes consommant de l'eau en bouteille&TOTAL\\ \hline Nombre de personnes habitant en région parisienne&557&274 &831\\ \hline Nombre de personnes habitant en région nord&224 &243 &467\\ \hline Nombre de personnes habitant en région sud-ouest &309 &93& 402\\ \hline TOTAL &\np{1090} &610 &\np{1700}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{7mm} \begin{description} \item[ ] $N$ : \og La personne interrogée habite dans la région nord. \fg \item[ ] $R$ : \og La personne interrogée consomme de l'eau du robinet. \fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} \emph{Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées. L'univers est l'ensemble des personnes interrogées. Le nombre d'éléments de cet ensemble est \np{1700}. Sur cet ensemble la loi mise est la loi équirépartie. La probabilité d'un évènement $A$ est $p(A)=\frac{\text{\footnotesize nombre d'éléments de A}}{\text{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}$ \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité de l'évènement $R$. Il y a \np{1090} personnes consommant de l'eau du robinet. $p(R) = \dfrac{\np{1090}}{\np{1700}}\approx \np{0,641} \approx 0,64$ au centième près. \item L'évènement $\overline{R}$ est l'évènement : \og La personne interrogée ne consomme pas de l'eau du robinet \fg. Calculons sa probabilité. $p\left(\overline{R}\right) = 1 - p(R) = 1- \dfrac{\np{1090}}{\np{1700}}=\dfrac{\np{610}}{\np{1700}} \approx 0,358 \approx 0,36$ au centième près. \item L'évènement $N \cap R$ est l'évènement : \og La personne interrogée habite dans la région nord et consomme de l'eau du robinet. \fg Il y a $224$ personnes habitant le nord et qui consomme de l'eau du robinet. $p(N\cap R) = \dfrac{224}{\np{1700}}\approx \np{0.13}$. \item L'évènement $N \cup R$ est l'évènement : \og La personne interrogée habite dans la région nord ou consomme de l'eau du robinet. \fg $p(N\cup R) = p(R)+p(N)-p(N \cap R)$. Calculons d'abord $p(N)$. Il y a $467$ personnes habitant la région nord donc $p(N) = \dfrac{467}{\np{1700}}$. $p(N\cup R) = \dfrac{\np{1090}}{\np{1700}} + \dfrac{467}{\np{1700}} - \dfrac{224}{\np{1700}} = \dfrac{\np{1090} + 467 - 224}{\np{1700}} = \dfrac{\np{1333}}{\np{1700}} \approx 0,784 \approx 0,78$ au centième près. \end{enumerate} \item On veut comparer le type de consommation d'eau suivant les régions : \begin{enumerate} \item La probabilité qu'une personne interrogée consomme de l'eau du robinet sachant qu'elle habite la région nord est notée $p_{N}(R)$. Elle est égale à $\dfrac{224}{467} \approx 0,479 \approx 0,48$ (valeurs lues dans le tableau). Autre méthode : on sait que $p_{N}(R) = \dfrac{p(N\cap R)}{p(N)} = \dfrac{\frac{224}{\np{1700}}}{\frac{467}{\np{1700}}} = \dfrac{224}{467} \approx \np{0,48}$. \item Dans quelle région faudrait-il se placer pour que la probabilité qu'une personne interrogée consomme de l'eau du robinet soit la plus élevée ? Pour répondre à cette question, calculons la probabilité qu'une personne interrogée consomme de l'eau du robinet \begin{description} \item[\textbullet] sachant qu'elle habite la région parisienne : $\dfrac{557}{831}\approx \np{0,67}$; \item[\textbullet] sachant qu'elle habite en région sud-ouest : $\dfrac{309}{402}\approx \np{0,77}$. \end{description} Il faut donc se placer dans la région sud-ouest. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}