\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} % Tapuscrit : Denis Vergès %sujet aimablement fourni par Yves IV %corrigé par Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ST2S}, pdftitle = {Polynésie - 7 juin 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \def\e{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)} \lfoot{\small{Polynésie \hspace{1em}correction}} \rfoot{\small{7 juin 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 7 juin 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip {\footnotesize La caisse nationale de l'assurance maladie des travailleurs salariés (CNAMTS) a étudié une population de personnes ayant eu recours à un soin médical suite à un accident de la vie courante. Selon cette enquête : \begin{itemize} \item 61\,\% de ces accidents de la vie courante sont domestiques (survenus dans la maison ou son environnement immédiat) ; \item parmi les accidents domestiques, 9\,\% nécessitent de la rééducation; \item parmi les accidents de la vie courante qui ne sont pas domestiques, 18\,\% nécessitent de la rééducation. \end{itemize} \smallskip On interroge au hasard une personne dans la population étudiée et on considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $D$ : \og la personne a eu un accident domestique \fg{} ; \item $R$ : \og la personne a eu un accident nécessitant de la rééducation \fg. \end{itemize} On note $\overline{D}$ l'évènement contraire de $D$ et $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$. } \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons la probabilité de l'évènement $D$, notée $p(D)$. $p(D)= \np{0.61}$ car 61\,\% de ces accidents de la vie courante sont domestiques. \item La probabilité $p_{\overline{D}}(R)$, probabilité de l'évènement $R$ sachant $\overline{D}$ est \np{0.18} car parmi les accidents de la vie courante qui ne sont pas domestiques, 18\,\% nécessitent de la rééducation. \item L'arbre pondéré de probabilités qui décrit la situation est complété sur l'annexe. \item \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité que la personne ait eu un accident domestique nécessitant de la rééducation. Cette probabilité est notée $p(D\cap R)$. $p(D\cap R)= p(D)\times p_{D}(R)=\np{0.61}\times \np{0.09}\approx \np{0.055}$. Elle est environ égale à $0,055$, valeur arrondie au millième. \item $\overline{D} \cap R$ est l'évènement : \og La personne a eu un accident non-domestique nécessitant de la rééducation \fg. Calculons la probabilité de cet évènement. $p(\overline{D}\cap R)= p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(R)=\np{0.39}\times \np{0.18}\approx \np{0.070}$. Le résultat est arrondi au millième. \item Suite à cette enquête, la CNAMTS estime que 12,5\,\% des accidents de la vie courante nécessitent de la rééducation. %Justifier ce résultat. Calculons la probabilité que les accidents de la vie courante aient nécessité une rééducation. $p(R)= p(D\cap R)+p(\overline{D}\cap R)=\np{0.055}+\np{0.070}\approx \np{0.125}$. L'estimation est donc bien de 12,5\,\%. \end{enumerate} \item Calculons la probabilité $p_R\left(\overline{D}\right)$, probabilité de l'évènement $\overline{D}$ sachant $R$. $p_R\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{D}\cap R\right)}{p(R)}= \dfrac{\np{0.070}}{\np{0.125}}\approx \np{0.56}$. Le résultat est arrondi au centième. Nous pouvons en déduire que 56\,\% des accidents qui ne sont pas domestiques ont nécessité une rééducation. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip {\footnotesize Le tableau suivant donne l'évolution entre 2004 et 2011 de la dépense liée à la consommation de médicaments en France, en milliards d'euros. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline Dépense en milliards d'euros : $y_i$ (valeurs approchées à 0,1 milliard d'euros) &30,1 &30,7 &31,2 &32,4 &33,1 &33,6 &34 &34,3\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Drees, Comptes de la santé (base $2010$)}} \end{tabularx} \end{center} } \medskip \begin{enumerate} \item %Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie, Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans un repère orthogonal d'unités graphiques : {\footnotesize \begin{itemize} \item \np[cm]{1} pour une unité sur l'axe des abscisses. On commencera la graduation à $0$. \item \np[cm]{1} pour 0,5 milliard d'euros sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à $30$ milliards d'euros. \end{itemize} } \item Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[\overline{x}_G=\frac{0+1+2+\dots+7}{8}=\np{3.5} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{30.1}+\np{30.7}+\dots+\np{34.3}}{8}=\np{32.425}\] Le point G $\left( \np{3.5}~;~\np{32.425} \right)$ est placé dans le repère précédent. \item On admet que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 0,64x + 30,185$ réalise un ajustement affine du nuage de points. La droite $(\Delta)$ est tracée dans le repère. Précisons les points utilisés. Outre le point moyen, nous pouvons choisir le point de coordonnées (\np{0.5}~,~\np{30.5}). \item En supposant que cet ajustement affine soit fiable jusqu'en 2016, estimons la dépense liée à la consommation de médicaments en France en 2016. Le rang de l'année 2016 est 12. Remplaçons $x$ par cette valeur dans l'équation de ($\Delta$). $y=\np{0.64}\times 12+\np{30.185}=\np{37.865}$. Selon ce modèle, une estimation de la dépense liée à la consommation de médicaments en France en 2016 est d'environ \np{37.9} milliards d'euros. {\footnotesize \emph{remarque} En utilisant le graphique nous pourrions lire l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 12} %Préciser la démarche utilisée. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize En réalité, comme le montre le tableau ci-dessous extrait d'une feuille de calcul, la consommation de médicaments a diminué en France après l'année 2011. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{A} &\textbf{B} &\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}&\textbf{G}\\ \hline 1 &Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline 2 &Rang de l'année $n$&0 &1 & & & &\\ \hline 3 &Dépense en milliard d'euros (valeurs approchées à 0,1 milliard d'euros) &34,3 &33,9 &33,5 & & &\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\emph{Source : Drees, Comptes de la santé (base $2010$)}} \end{tabularx} \end{center} } \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution de la consommation de médicaments en France entre 2004 et 2013. Le taux $t$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $t=\dfrac{\np{33.5}-\np{30.1}}{\np{30.1}}\approx \np{0.112957}$. Le taux d'augmentation de ces dépenses entre 2004 et 2013 est, arrondi à 0, 1\,\% près, d'environ \np{11.3}\,\%. %On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,1\,\%. \item On admet que depuis l'année 2011, la consommation de médicaments en France (en milliard d'euros) peut être modélisée par une suite arithmétique de terme général $u_n$ où $n$ désigne un entier naturel et $u_n$ représente la consommation de médicaments à l'année $(2011 + n )$. \begin{enumerate} \item Donnons $u_0$ et $u_1$ les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. $u_0=\np{34.3}$, valeur des dépenses en 2011 et $u_1=\np{33.9}$, valeur des dépenses en 2012. La raison $r$ d'une suite arithmétique est la différence entre deux termes consécutifs. $r=u_1-u_0=\np{33.9}-\np{34.3}=-\np{0.4}$. \item Une formule que nous pouvons saisir dans la cellule D3 puis recopier vers la droite pour obtenir les nombres recherchés sur la ligne 3 est = C\$3 $-$0,4. \item Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+nr$. Par conséquent, $u_n=\np{34.3}-\np{0.4}n$. \item Donnons une estimation de la dépense de la consommation de médicaments en France en 2016. Le rang de 2016 est 5. $u_5=\np{34.3}-\np{0.4}\times 5=\np{32.3}$. Une estimation de la dépense de la consommation de médicaments en France en 2016, selon ce modèle, est de $32,3$ milliards d'euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \medskip {\footnotesize Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Lors de sa première année de vie, un enfant a deux types d'anticorps dans le sang : les anticorps transmis par la mère lors de la grossesse et les anticorps produits par l'enfant à partir de sa naissance. La somme des concentrations de ces deux anticorps est appelée \textbf{concentration globale} en anticorps dans le sang. La concentration en anticorps dans le sang sera exprimée en grammes par litre (g/L). } \medskip \textbf{Partie A : Étude graphique} \medskip {\footnotesize On a tracé en \textbf{annexe}, dans un repère orthogonal du plan : \begin{itemize} \item la courbe $C$ représentative de la fonction $f$ (en tiretés) correspondant à la concentration en anticorps maternels ; \item la courbe $C'$ représentative de la fonction $g$ (en trait plein) correspondant à la concentration globale en anticorps. \end{itemize} \emph{Pour chacune des questions suivantes, on répondra à l'aide du graphique et on laissera les traits de construction apparents sur l'annexe à rendre avec la copie. On arrondira les réponses à l'unité.} } \medskip \begin{enumerate} \item L'enfant retrouve la même concentration globale en anticorps qu'à la naissance à 10 mois. À la naissance, la concentration globale est de \np[g/\ell]{12}. En traçant la droite d'équation $y=12$, nous lisons l'abscisse de l'autre point d'intersection de cette droite avec $C'$. \item $f(3)\approx 5$ et $g(3)\approx 6$. Nous lisons les ordonnées des points d'abscisse 3, respectivement sur $C$ et $C'$. La concentration en anticorps produits par l'enfant à l'âge de 3 mois est alors d'environ \np[g/\ell]{1} (6-5). \end{enumerate} \textbf{Partie B : Évolution de la concentration en anticorps transmis par la mère} \medskip On modélise la concentration en anticorps maternels dans le sang de l'enfant à l'aide de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par : \[f(x) = 12 \times 0,75^x.\] Le nombre $f(x)$ représente la concentration en anticorps maternels dans le sang en fonction de l'âge $x$, exprimé en mois, de l'enfant. \medskip \begin{enumerate} \item {\footnotesize On admet que sur l'intervalle [0~;~12] la fonction $f$ admet le même sens de variation que la fonction $u$ définie par $u(x) = 0,75^x$.} Nous savons que si $00 \iff x > 5$. Par conséquent si $x \in [0~;~5[, \ g'(x)< 0$ et si $x \in ]5~;~12],\ g'(x)>0$. Étudions le sens de variation de $g$. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $[0~;~5[,\:g'(x)<0$ par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $]5~;~12],\:g'(x)>0$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle. Construisons le tableau de variation de $g$ sur [0 ; 12]. \begin{center}\scalebox{1}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$5$} \uput[u](7.73,2.45){$12$} \uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $g$} \uput[u](1.37,1.45){$12$}\uput[u](7.32,1.45){$\np{18.72}$} \psline{->}(1.7,1.55)(4,0.45)\psline{->}(5,0.45)(7.3,1.55) \uput[d](4.5,0.45){$5$} \end{pspicture}} \end{center} \item La fonction $g$ étant strictement décroissante sur [0~;~5[ et strictement croissante sur ]5~;~12], elle admet en 5 un minimum égal à 5. Il en résulte qu'à l'âge de cinq mois la concentration globale en anticorps dans le sang est minimale. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \medskip \textbf{EXERCICE 1} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,nrot=:U,labelsep=0.1pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$D$~}\naput{0,61}} {\TR{$R$}\naput{\np{0.09}} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\np{0.91}} } \pstree{\TR{$\overline{D}$~}\nbput{\np{0.39}}} {\TR{$R$}\naput{\np{0.18}} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\np{0.82}} } } \bigskip \textbf{EXERCICE 3} \medskip Évolution de la concentration en anticorps dans le sang du nourrisson \medskip \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(13,20) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(13,20) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(13,20) \uput[r](0,19.5){concentration (en g/L)} \uput[d](11.5,-0.5){âge (en mois)} \uput[u](12.8,0){$x$}\uput[l](0,19.5){$y$} \uput[u](11.5,0.6){$C$}\uput[u](11.5,18){\blue $C'$} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.001}{12}{0.75 x exp 12 mul} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x dup mul 0.28 mul 2.8 x mul sub 12 add} \psset{arrowscale=2} \def\Func {0.75 x exp 12 mul } \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 3 def \Func)(!3 /x 3 def \Func)(3,0) \def\Funct {x dup mul 0.28 mul 2.8 x mul sub 12 add} \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 3 def \Funct)(!3 /x 3 def \Funct)(3,0) \end{pspicture} \end{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(14.75,8.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(14.5,8.2) \multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,8)} \multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(14,\n)} \uput[u](14.5,0){\footnotesize Rang de l'année}\uput[r](-0.3,8.25){\footnotesize Dépense en milliards } \psdots(0,0.1)(1,0.7)(2,1.2)(3,2.4)(4,3.1)(5,3.6)(6,4)(7,4.3) \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3.5,2.425) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.15}{x 0.64 mul 0.185 add} \uput[dl](11,7.3){$(\Delta)$} \psset{arrowscale=2} \def\Func {x 0.64 mul 0.185 add} \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 12 def \Func)(!12 /x 12 def \Func)(12,0) \uput[l](0,7.865){\scriptsize \textcolor{violet}{$\approx\np{37.9}$}} \uput[r](3.5,2.425){\textcolor{red}{$G$}} \end{pspicture} \end{document}