\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{multicol} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{colortbl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \def\intervalleA{[0~;~6]} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 19 juin 2013~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip \textbf{QCM} {\footnotesize \emph{Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.} \emph{Le candidat notera sur sa copie, le numéro de la réponse de chaque question suivi de la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte ajoute un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.} } \vspace{0.5cm} L'évolution de l'endettement d'une entreprise est donnée par le tableau ci-desssous, extrait d'une feuille de calcul. \begin{center} \begin{tabular}{|*{8}{>{$}c<{$}|}} \hline & \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} & \text{F} & \text{G} \\ \hline 1 & \text{Année} & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 \\ \hline 2 & \text{Endettement en milliers d'euros} & 400 & 410 & & & & \\ \hline 3 & \multicolumn{1}{m{5cm}}{\hfill Pourcentage d'évolution entre \hfill ~ \par \hfill deux années consécutives \hfill~} & \multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c}{} & & & & & \\ \hline \end{tabular}\end{center} \begin{enumerate} \item Le pourcentage d'augmentation de l'endettement de l'entreprise entre les années 2011 et 2012 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.}~~ \np{0.25}\,\%} &\ovalbox{\textbf{b.}~~ \np{2.5}\,\%}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~\np{10.25}\,\% }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~ \np{0.025}\,\%} \end{tabularx} \medskip \emph{À partir de l'année 2012, on admet que l'endettement de l'entreprise diminuera chaque année de 5\,\%.} \item La formule à saisir dans la cellule \verb+D2+, qui recopiée vers la droite, permettra d'afficher les valeurs en milliers d'euros de l'endettement de l'entreprise pendant les années qui suivent 2012 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=410*0,95 } &\textbf{b.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=C2*0,05} &\ovalbox{\textbf{c.}~~ =C2*0,95 }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~ =\$C\$2*0,95} \\ \end{tabularx} \medskip \item On désigne par $n$ un entier naturel. On note $u_n$ l'endettement de l'année $2012 +n$, ainsi $u_0 = 410$. L'endettement de l'entreprise en milliers d'euros pendant l'année 2020 est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ \ovalbox{$u_8 = 410 \times 0,95^8$ }&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$u_8 = 410 \times 0,95^9$} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~ $u_9 = 410 \times 0,95^8$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~$u_9 = 410 \times 0,95^9$ }\\ \end{tabularx} \medskip \item On cherche à partir de quelle année l'endettement de l'entreprise aura diminué de moitié. Pour cela l'inéquation à résoudre s'écrit $410 \times 0,95^n \leqslant 205$, où $n$ désigne un entier naturel. Les solutions de cette inéquation sont les entiers $n$ tels que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ n \leqslant \frac{\log(0,5)}{\log(0,95)}$ } &\ovalbox{\textbf{b.}~~ $ n \geqslant \frac{\log(0,5)}{\log(0,95)}$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~$ n \geqslant \log \left(\frac{0,5}{0,95}\right)$ }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~$ n \leqslant \log \left(\frac{0,5}{0,95}\right)$} \\ \end{tabularx} \item Dans le tableau les cellules \verb+C3+ à \verb+G3+ sont en pourcentages. La formule à saisir dans la cellule \verb+C3+, qui recopiée vers la droite, permet d'afficher le pourcentage d'évolution de l'endettement de l'entreprise entre deux années consécutives est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~=\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{(\$C2-\$B2)/\$B2 } &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{b.}~~=C2-B2/B2 }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~=C2/B2} &\ovalbox{\textbf{d.}~~=(C2-B2)/B2 }\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill } \medskip {\footnotesize Fin 2010, \np{1200000} personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l'Allocation Personnalisée d'Autonomie (APA), soit à domicile, soit en établissement. Ces personnes sont classées dans quatre Groupes Iso-Ressources (GIR) en fonction des différents stades de pertes d'autonomie. Les résultats, exprimés en milliers de personnes, d'une enquête réalisée en 2010 auprès des conseils généraux ont permis de construire le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5cm}|}\hline &\footnotesize Nombres de personnes bénéficiant de l'APA à domicile (\emph{en milliers})&\footnotesize Nombres de personnes bénéficiant de l'APA en établissement (\emph{en milliers})&Total (\emph{en milliers}) \\ \hline Nombre de personnes en GIR1 (\emph{en milliers}) & 19 & 86 & 105\\ \hline Nombre de personnes en GIR2 (\emph{en milliers}) & 131 & 191 & 322\\ \hline Nombre de personnes en GIR3 (\emph{en milliers}) & 159 & 79 & 238\\ \hline Nombre de personnes en GIR4 (\emph{en milliers}) & 425 & 110 & 535\\ \hline Total (\emph{en milliers}) & 734 & 466 &\np{1200} \\ \hline \multicolumn{4}{m{13cm}}{\footnotesize Source : Enquête trimestrielle en 2010 auprès des conseils généraux par la Direction de la recherche, des études, de l'évaluation et des statistiques du Ministère de la santé.} \end{tabularx} \end{center}} \begin{enumerate} \item Justifions, par un calcul approprié, chacune des affirmations suivantes dans lesquelles les résultats ont été arrondis à l'unité. \begin{enumerate} \item Le pourcentage des personnes de l'étude qui vivent à domicile est égal à 61\,\%. Nous calculons la proportion de personnes vivant à domicile par rapport à la population étudiée : $\frac{734}{\np{1200}}\approx \np{0.612}$ soit en pourcentage environ 61\,\%. \item 3\,\% des personnes de l'étude vivant à domicile sont classées en GIR1. Nous calculons la proportion de personnes classées GIR1 parmi les personnes vivant à domicile : $\frac{19}{734}\approx \np{0.259}$ soit environ 3\,\%. \end{enumerate} \emph{Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.} \item On choisit au hasard le dossier d'une personne agée dépendante bénéficiant de l'APA. On considère les événements suivants : \begin{description} \item[$G$ :] \og Le dossier est celui d'une personne classée en GIR1\fg. \item[$E$ :] \og Le dossier est celui d'une personne vivant en établissement\fg. \end{description} L'univers est l'ensemble des personnes âgées dépendantes et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. La probabilité d'un événement A est $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$ \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité des événements $G$ et $E$. \begin{description} \item[]Il y a, en milliers, 105 personnes en GRI1 d'où $P(G)= \frac{105}{\np{1200}} \approx 0,09$. \item Il y a, en milliers, 466 personnes en établissement d'où $P(E) = \frac{466}{\np{1200}} \approx 0,39$. \end{description} \item %Définir par une phrase chacun des événements suivants $G \cap E$ et $G \cup E$ puis calculer leur probabilité. \begin{description} \item[] $G \cap E$ est l'événement : \og le dossier est celui d'une personne classée en GIR1 et vivant en établissement\fg{}; $P(G \cap E) = \frac{86}{1200} \approx 0,07$. \item[] $G \cup E$ est l'événement: \og le dossier est celui d'une personne classée en GIR1 ou vivant en établissement\fg{}; $P(G \cup E) = P(E) +P(G) - P(G \cap E) = 0,09 + 0,039 - 0,07=\np{0.41}$. \end{description} \item Sachant que le dossier choisi est celui d'une personne classée en GIR4, calculons la probabilité $p$ que cette personne vive à domicile. Il y a 425 milliers de personnes vivant à domicile parmi les personnes classées GRI4. $p = \frac{425}{535} \approx 0,81$. \item Calculons $P_E(G)$.$P_E(G) = \dfrac{P(E \cap G)}{P(E)} = \dfrac{\np{0.07}}{\np{0.39}}\approx 0,18$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill } \medskip {\footnotesize Pour traiter un patient, un médecin procède à l'injection intramusculaire d'une dose d'une substance médicamenteuse au temps $t=0$ ($t$ est exprimé en heures). Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé. Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif dans le sang est supérieur ou égale 25 mg.L$^{-1}$ (25 milligrammes par litre). La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser 40 mg.L$^{-1}$ pour éviter les effets secondaires. } \textbf{Étude graphique} {\footnotesize La courbe donnée en annexe représente la concentration en mg.L$^{-1}$ du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulé depuis l'injection du médicament. À l'aide de cette courbe répondre, avec la précision que permet le graphique, aux questions suivantes en faisant apparaître les traits de constructions utiles. } \begin{enumerate} \item Déterminons la concentration du produit actif pour $t = 5$. Pour ce faire, lisons l'ordonnée du point d'abscisse 5 appartenant à la courbe, nous lisons 5.( traits en bleu) Au bout de 5 heures la concentration du produit actif est de 5 mg.L$^{-1}$ \item Le médecin a respecté la dose à ne pas dépasser car le maximum de la fonction est très inférieure à la dose maximale 40 mg.L$^{-1}$. \item Déterminons les temps en heures et minutes pour lesquelles la quantité de produit actif est de 15 mg.L$^{-1}$. Pour ce faire, traçons la droite d'équation $y=15$ et lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous lisons environ 0,5 soit 30 minutes ou 4,1 soit 4 heures 6 minutes. (traits en cyan) \item Déterminons la durée pendant laquelle le médicament est resté efficace. Traçons la droite d'équation $y=25$. Les abscisses des points d'intersection de cette droite et de la courbe sont 1 et 3,2. Entre ces valeurs la courbe est au-dessus de cette droite. La durée est la différence entre ces deux abscisses ; la durée est donc 2,2 soit 2~heures et 12 minutes. (traits en rouge) \item Le médicament est complétement éliminé lorsque la courbe recoupe l'axe des abscisses c'est-à-dire pour $t=6$. Le médicament est entièrement éliminé au bout de 6 heures. \end{enumerate} \textbf{Étude numérique} On admet que la concentration, exprimée en mg.L$^{-1}$, du produit actif dans le sang du malade est donnée en fonction du temps $t$, exprimé en heures, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervalleA$ par : \[ f(t) =t^3 - 12t^2 + 36t. \] \begin{enumerate} \item Complétons le tableau de valeurs numériques suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{8}{X|}}\hline $t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $f(t)$ & 0&25 &32 & 27& 16& 5& 0\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervalleA$. $f'(t)=3t^2-12(2t)+36=3t^2-24t+36$. \item Vérifions que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $\intervalleA$, on a : $f'(t) = (t-6)(3t-6)$. $(t-6)(3t-6)=3t^2-6t-18t+36=3t^2-24t+36=f'(t)$ \item Résolvons l'équation $f'(t) = 0$ sur l'intervalle $\intervalleA$. Résolvons $(t-6)(3t-6)=0$ Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit. $t-6=0$ ou $3t-6=0$ \hspace{3em}$t=6$ ou $t=2$ Les solutions de l'équation $f'(t)=0$ sont 6 ou 2. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudions le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $\intervalleA$. Sur $\R,\ t-2>0 \iff t>2, \quad t-6<0 \iff t<6$ Par conséquent sur $\intervalleA$, le signe de $f'(t)$ est le signe de $-(t-2)$. Si $t\in[0~;~2[,\ f'(t)>0$ et si $ t\in]2~;~6[,\ f'(t)<0$ \item Si pour tout $x \in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $[0~;~2[, \: f'(t)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \ f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $]2~;~6[, \: f'(t)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Dressons maintenant le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervalleA$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) %\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3) \uput[u](0.5,2.45){$t$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$2$} \uput[u](7.73,2.45){$6$} \uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}\rput(7.73,2.2){0} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$} \uput[dl](1.37,0.45){$0$}\uput[dr](7.32,0.45){$0$} \psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55) \uput[u](4.5,1.5){$32$} \end{pspicture} \end{center} La fonction admet un maximum en 2 et celui-ci vaut 32, par conséquent la concentration maximale du produit actif dans le sang du malade est 32 mg.L$^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\textsc{\large Annexe}\\ à remettre avec la copie} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \vspace{0.5cm} \psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-1)(7.5,55) \psaxes[Dx=1,Dy=5]{->}(7.3,52) \multido{\n=0.5+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,50)} \multido{\n=0.1+0.1}{70}{\psline[linewidth=0.05pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,50)} \multido{\n=5+5}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)} \multido{\n=0+1}{50}{\psline[linewidth=0.05pt,linecolor=orange](0,\n,)(7,\n)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.95pt,plotpoints=800]{0}{6}{x^3-12*x^2+36*x} \psCoordinates[arrows=->,linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Add,dotangle=45,dotscale=2](*5 {x^3-12*x^2+36*x}) \psCoordinates[arrows=<-,linecolor=cyan,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3](*0.49496 {x^3-12*x^2+36*x}) \psCoordinates[arrows=<-,linecolor=cyan,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3](*4.08338 {x^3-12*x^2+36*x}) \psCoordinates[arrows=<-,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Bar,dotangle=45,dotscale=4](*1 {x^3-12*x^2+36*x}) \psCoordinates[arrows=<-,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Bar,dotangle=135,dotscale=4](*3.2087 {x^3-12*x^2+36*x}) \rput(7,1){\footnotesize temps en heures} \rput(1,53){\footnotesize Concentration en milligrammes par litre (mg.L$^{-1}$)} \rput(0.5,-0.7){\tiny \textcolor{cyan}{$\approx \np{0.5}$}}\rput(4.08,-0.7){\tiny \textcolor{cyan}{$\approx \np{4.1}$}} \rput(3.2,-0.7){\tiny \textcolor{red}{$\approx \np{3.2}$}} \psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt](0,40)(7,40) \rput(3.5,40.2){\scriptsize \textcolor{green}{ valeur limite}} \end{pspicture} \end{document}