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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{ Antilles-Guyane Polynésie\hspace{1em}corrigé}}
\rfoot{\small{ juin 2016}}
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%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Antilles-Guyane Polynésie juin 2016 \hspace{1.2em}Corrigé}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

Les annexes A et B sont à rendre avec la copie

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
{\footnotesize
Un exploitant s’approvisionne en poussins chez un accouveur, personne qui fait éclore des \oe ufs au moyen
de couveuses artificielles. Dès l’éclosion, l’accouveur vaccine les poussins contre les maladies. Il n’existe
pour cette exploitation que deux formes de pratiques de vaccinations : par injection ou par l’eau de boisson.
On a constaté que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 30\,\% des poussins ont été vaccinés par l’eau de boisson ;
\item[$\bullet$] 12\,\% de poussins vaccinés par injection ont été malades.
\end{itemize}
On choisit un poussin au hasard. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[] $B$ : \og Le poussin a été vacciné par l’eau de boisson\fg
\item[] $I$ : \og Le poussin a été vacciné par injection\fg
\item[] $M$ : \og Le poussin a été malade\fg
\end{itemize}
}

\begin{enumerate}
\item  Traduisons la situation par un arbre de probabilité (certaines branches resteront incomplètes).

\begin{center}
\psset{labelsep=0.01pt,nodesep=2.5pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$}\taput{0,3}}
	{
	\TR{$M$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.947}}
	}
\pstree{\TR{$I$}\tbput{\np{0.7}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.12}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{0,88}
	}
}
\end{center} 

\item La probabilité que le poussin n’ait pas été malade sachant qu’il a été vacciné par
injection est notée $p_{I}\left(\overline{M}\right)$.

$p_{I}\left(\overline{M}\right) + p_{I}(M) = 1$ d'où $p_{I}\left(\overline{M}\right) =1 - \np{0.12} =\np{0.88}$

\item $I \cap \overline{M}$ est  l’évènement : \og le poussin a été vacciné par injection et il n' a pas été malade\fg.

 $P\left(I \cap \overline{M}\right) = p(I)\times p_{I}\left(\overline{M}\right) =\np{0.7}\times \np{0.88} = 0,616$ .
\item On a constaté aussi que 90\,\% des poussins n’ont pas été malades, c'est-à-dire $p\left(\overline{M}\right) =\np{0.9}$.
\begin{enumerate}
\item  $P\left(B \cap \overline {M}\right) = P\left(\overline{M}\right) - P\left(I\cap\overline{M}\right) = \np{0.9} - \np{0.616} = 0,284$.
\item  $P\left(B \cap \overline {M}\right) = P(B)\times P_{B}\left(\overline{M}\right)$ d'où
 $P_{B}\left(\overline{M}\right) = \dfrac{P\left(B\cap \overline {M}\right)}{P(B)}=\dfrac{\np{0.284}}{\np{0.3}} = 0,947 $  à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item La meilleure vaccination pour cette exploitation semble être la vaccination par l'eau de boisson.

$P_{I}(\overline{M})<P_{B}\left(\overline{M}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)}.

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse
inexacte ou l’absence de réponse n’enlève et n’ajoute pas de point.

\textbf{Entourer}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.
}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip
{\footnotesize
En 2015, l’exploitant a produit 16 tonnes de maïs. Il augmente sa production de 3\,\% par an à partir de 2015
dans le but de devenir autonome pour nourrir ses poulets.

On note  $u_n$ la masse, en tonnes, de maïs produite l’année $2015 + n$ .}
\begin{enumerate}
\item   $u_0=16$ puisque en 2015, l’exploitant a produit 16 tonnes de maïs.

À un taux d'évolution $t$  correspond un coefficient multiplicateur de $1 +t$.

 À un taux de $3\,\%$, correspond un coefficient multiplicateur de $\np{1.03}$.
 
Par conséquent  $u_1=u_0\times \np{1.03}=16\times \np{1.03}=\np{16.48}$.
\item Puisque sa production augmente chaque année de 3\,\%, la production de l'année $n+1$ sera celle de l'année $n$ multipliée par \np{1.03} d'où    $u_{n+1} =1,03u_n$.
\item Pour nourrir tous ses poulets, il lui faut produire une quantité de maïs de 21 tonnes.
\begin{enumerate}
\item  l’algorithme donné en \textbf{annexe B (à rendre avec la copie)} permettant de
déterminer à partir de quelle année sa production personnelle sera supérieure à 21 est complété sur cette annexe.
\item Déterminons, par la méthode de notre choix, la valeur affichée par l’algorithme.

$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.03} et de premier terme 16. 

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q $ est $u_n=u_0q^n$.

$u_n=16\times (\np{1.03})^n$. Résolvons alors  $16\times(\np{1.03})^n\geqslant 21$

\begin{align*}
16\times(\np{1.03})^n&\geqslant 21\\
(\np{1.03})^n&\geqslant \dfrac{21}{16}\\
\ln(\np{1.03})^n&\geqslant \ln \dfrac{21}{16}\\
n\ln \np{1.03}&\geqslant \ln \dfrac{21}{16}\\
n&\geqslant \dfrac{\ln \frac{21}{16}}{\ln \np{1.03}}\\
\text{or }\dfrac{\ln \frac{21}{16}}{\ln \np{1.03}}&\approx \np{9.200}\\
\end{align*}
Par conséquent la valeur affichée par l'algorithme est 10.

\emph{\footnotesize Nous pouvions traduire cet algorithme en un programme fonctionnant sur calculatrice, en sortie nous lisons 10.}
\end{enumerate}
\item Calculons la quantité totale, à la tonne près, de maïs produite de 2015 à 2025 par cet exploitant.

  $\displaystyle \sum_{n=0}^{n=10}u_n=16\times \dfrac{\np{1.03}^{11}-1}{\np{1.03}-1}\approx \np{204.925}$.
  
\emph{\footnotesize Nous aurions pu modifier l'algorithme pour calculer la somme  et sa valeur en sortie. Nous aurions obtenu \np{204.925}.} 

La quantité totale, à la tonne près, de maïs produite de 2015 à 2025 par cet exploitant est de \np[t]{205}. 

\end{enumerate}



\vspace{0.5cm}
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près si nécessaire.}

\medskip

Début 2015, l’exploitant fait mesurer la masse de matière organique, en kg pour \np[kg]{100}  de terre, présente
dans la terre d’une de ses parcelles de maïs.

Pour pouvoir augmenter sa production de maïs, il décide d’enrichir sa terre. La masse de matière organique
présente dans la terre est alors modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$
par   
\[f(t)=4- \dfrac{4}{1+\e^{0,15t}}\]
 exprimée en kg pour \np[kg]{100}  de terre, où $t$ est le temps écoulé, exprimé en années, à
partir du jour où la mesure a été réalisée. Début 2015 correspond à $t = 0$.
}
\begin{enumerate}
\item  Calculons le résultat de la mesure effectuée début 2015 c'est-à-dire $f(0)$. 

$f(0)=4-\dfrac{4}{1+\e^{0}}=4-2=2$.

\item On veut estimer l’évolution de cet enrichissement.
\begin{enumerate}
\item  Calculons la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty}f(t)=4 \quad \lim_{t\to+\infty}\dfrac{4}{1+\e^{\np{0.15}t}}=0$
\item Déterminons $f'(t)$.

 $f'(t)=0-4\times \dfrac{-\np{0.15}\e^{\np{0.15}t}}{(1+\e^{\np{0.15}t})^2}=\dfrac{0,6\e^{0,15t}}{\left(1+ \e^{0,15t}\right)^2}$.
\item  La fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ puisque, pour tout $t\in[0~;~+\infty[\quad f'(t)>0$ comme quotient de termes positifs.
\item  Donnons une interprétation des résultats obtenus en \textbf{2.a.} et en \textbf{2.c.} dans le contexte de cet exercice.

La masse de matière organique présente dans le sol en 2015 est de \np[kg]{2}  pour \np[kg]{100} de terre. En en ajoutant chaque année, celle-ci augmente mais ne pourra dépasser le seuil de \np[kg]{4} pour \np[kg]{100} de terre.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On donne en \textbf{annexe B} la portion de la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle [5;15].

\begin{enumerate}[resume]
\item Le tracé de la courbe sur l’intervalle [0~;~20] est complété en \textbf{annexe B (à rendre avec la copie)} .
\item  On désigne par $Q_m$  la masse moyenne de matière organique présente dans la terre entre la 5\ieme{} et
la 10\ieme{} année.

 On admet que $\displaystyle  Q_m= \dfrac{1}{5}\int_5^{10}f(t)\mathrm{d}t$.
 
À l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de  $Q_m$ arrondie au dixième est \np{3.0}. 

\emph{\footnotesize Puisque la courbe est proche d'un segment de droite, nous pouvons considérer $Q_m$ comme la hauteur du rectangle calculée au  milieu de l'intervalle [5~;~10] $Q_m \approx f(\np{7.5})$  c'est-à-dire $Q_m \approx \np{3.0}$.\\
Autre possibilité, compter les carreaux donnant une approximation de l'aire comprise entre la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=5$ et $x=10$. Nous trouvons environ 75 carreaux soit 15 unités d'aire. Par conséquent $Q_m=\dfrac{1}{5}\times 15 =3$}

\end{enumerate}
\newpage 
\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip
Les quatre courbes représentées ci-dessous sont des courbes de GAUSS associées à des variables
aléatoires distribuées suivant une loi normale.

\medskip
\psset{yAxis=false,xunit=2,yunit=5,comma=true}
\begin{pspicture}(-2.1,-0.35)(5.61,1.2)
\multido{\n=-1.9+0.1}{76}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](\n,-0.2)(\n,1.1)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](-1.9,\n)(5.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1.9,-0.1)(5.6,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=0.6pt]{-2}{5.6}{x 3.4 0.5 GAUSS}
\psplot[linecolor=cyan,plotpoints=200,linewidth=0.9pt,linestyle=dotted ]{-2}{5.6}{x 3.2 0.4 GAUSS}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=0.6pt,linestyle=dashed,dash=3mm 3mm 1mm 1mm]{-2}{5.6}{x 3.2 0.8 GAUSS}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=0.6pt,linestyle=dashed ]{-2}{5.6}{x 0.5 1 GAUSS}
\uput[u](-1,0.1){$C_2$}\uput[u](1.2,0){\red $C_1$}\uput[d](3.5,1){\cyan $C_3$}\uput[ur](3.8,0.5){\blue $C_4$}
\end{pspicture}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque grain de maïs (d’une certaine variété), associe sa masse en gramme. La variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 3,4$ et d’écart-type $\sigma  = 0,5$ .

\begin{enumerate}
\item   La courbe de GAUSS associée à la variable aléatoire X est

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $C_1$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $C_2$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $C_3$}&\psframebox[linewidth=0.05pt]{$C_4$}
 \end{tabularx}

\item On prélève au hasard un grain de maïs. La probabilité d’avoir prélevé un grain de maïs dont la
masse est comprise entre 2,4 et 3,4 grammes est à $10^{-2}$ près

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psframebox[linewidth=0.05pt]{$0,48$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $0,5$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,95$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$1$}
 \end{tabularx}

 
\item On prélève au hasard un grain de maïs. Un grain de maïs est commercialisable quand sa masse est
supérieure à 2,4 grammes.

La probabilité d’avoir prélevé un grain de maïs commercialisable est à $10^{-2}$ près

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $0,03$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,5$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $0,95$}&  \psframebox[linewidth=0.05pt]{$0,98$}
 \end{tabularx}

\end{enumerate}

$C_1$ est associée à une variable aléatoire suivant la loi normale N( $\mu_1$ ; $\sigma_1$ ) et $C_3$ est associée à une variable
aléatoire suivant la loi normale N( $\mu_3$ ; $\sigma_3$ ).

\begin{enumerate}[resume]
\item On peut dire que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\mu_1 < \mu_3$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\mu_3 < \mu_1$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\sigma_1 < \sigma_3$}& \psframebox[linewidth=0.05pt]{ $\sigma_3 <\sigma_1$}
 \end{tabularx}


\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 question 3.b.}

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\hspace{3em}\textbf{Variables :}

\hspace{5em}U réel

\hspace{5em}N entier naturel

\hspace{3em}\textbf{Initialisation :}

\hspace{5em}Affecter à N la valeur 0

\hspace{5em}Affecter à U la valeur \textcolor{violet}{16}\hfill \phantom{x}

\hspace{3em}\textbf{Traitement :}

\hspace{5em}Tant que \textcolor{violet}{U<21}

\hspace{8em}U prend la valeur \textcolor{violet}{1,03 $\times$ U}

\hspace{8em}N prend la valeur \textcolor{violet}{N+1}

\hspace{5em}Fin du Tant que

\hspace{3em}\textbf{Sortie :}

\hspace{5em}Afficher \textcolor{violet}{N}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4 question 3}

\psset{yAxis=true,xunit=0.7cm,yunit=1.8cm ,labelFontSize=\scriptscriptstyle}
\begin{pspicture}(-2,-0.4)(21,5.75)
\multido{\n=-2+1}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,5.2)}
\multido{\n=-0.4+0.2}{29}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(20.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.9,-0.4)(21,5.21)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{15}{4 4 2.71828 0.15 x mul exp 1 add div sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1pt,linecolor=violet]{15}{20}{4 4 2.71828 0.15 x mul exp 1 add div sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1pt,linecolor=violet]{0}{5}{4 4 2.71828 0.15 x mul exp 1 add div sub}

\uput[ur](0,5.1){\scriptsize $y$}\uput[u](20.5,-0.05){\scriptsize$x$}
\end{pspicture}

\end{document}