\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} %\usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %source : Chlorofil %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-all,pst-eucl,pst-func} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{xcolor} \usepackage{diagbox} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STAV}, pdftitle = {STAV Métropole-Réunion septembre 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma %\frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small S. T. A. V.} \lfoot{\small{Métropole-Réunion -- Corrigé}} \rfoot{\small{septembre 2018}} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat STAV \\[5pt] Métropole-La Réunion septembre 2018}} \end{center} %\vspace{0,25cm} % %La calculatrice est autorisée. % %\smallskip % %\textbf{Les annexes A et B sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip La masse en kg d'un lapin en fonction de l'âge $x$ exprimé en semaines est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x) = - 4,5\e^{-0,06 x} + 4,56$. On désigne par $\mathcal C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, donnée en \textbf{annexe~A}. \medskip \begin{enumerate} \item % Aucune méthode n'est imposée pour les questions \textbf{1.a.} et \textbf{1.b.}, mais elle doit être expliquée. \begin{enumerate} \item Un lapin est abattu le plus souvent à l'âge de 10 semaines.% Donner sa masse à \np[g]{100} près. Sa masse est donc en kilogrammes: $f(10)\approx 2,1$. \item L'éleveur a une commande d'un lapin de $\np[kg]{3,2}$. %À combien de semaines se fera l'abattage ? D'après le graphique, le nombre de semaines sera autour de 20. Vérification: $f(20) \approx 3,2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On calcule la limite de $f$ en $+\infty$. $\left . \begin{array}{l} \ds\lim_{x \to +\infty} -0,06x = -\infty\\ \text{on pose } X = -0,06x\\ \ds\lim_{X \to -\infty} \e^{X} =0 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \ds\lim_{x \to +\infty} \e^{-0,06x} = 0 \text{ donc } \ds\lim_{x \to +\infty} f(x)= 4,56$ \item %Donner une interprétation de cette limite dans le contexte de l'exercice. On peut donc dire que le poids limite d'un lapin est de $\np[kg]{4,56}$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$, $f'(x)=-4,5\times (-0,06)\e^{-0,06x} + 0 = 0,27 \e^{-0,06x}$. \item Pour tout réel $X$, on sait que $\e^{X}>0$ donc $f'(x)>0$ sur $[0~;~+\infty[$. On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. \item% Pouvait-on s'attendre au résultat de la question \textbf{3.b.} à partir du contexte de l'exercice ? Expliquer. En vieillissant, le lapin grossit donc la fonction $f$ donnant la masse du lapin est croissante. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} %\medskip % %\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} % %\medskip % %\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $\mathbf{10^{-3}}$ près.} \smallskip Une entreprise spécialisée dans la fabrication de tartes aux pommes, indique sur l’emballage de ses produits, la mention \og au moins 50\,\% de fruits bio\fg. Une étude statistique a établi que : 38\,\% des fruits livrés à l'entreprise sont \og bio\fg. Parmi les fruits \og bio \fg, 95\,\% sont sélectionnés pour la fabrication des tartes. Parmi les fruits \og non bio \fg, 45\,\% sont sélectionnés pour la fabrication des tartes. \medskip \textbf{Partie A} On prélève dans le stock de l'entreprise un fruit au hasard, on note : \begin{itemize} \item[]$B$ l'événement : \og le fruit est bio \fg. \item[] $S$ l'événement : \og le fruit est sélectionné pour la fabrication des tartes \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On représente la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\naput{$0,38$}} { \TR{$S$}\naput{$0,95$} \TR{$\overline{S}$}\nbput{\blue $1-0,95=0,05$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,38=0,62$}} { \TR{$S$}\naput{$0,45$} \TR{$\overline{S}$}\nbput{\blue $1-0,45=0,55$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que le fruit soit \og bio \fg{} et sélectionné pour la fabrication des tartes est $P\left (B \cap S \right ) = P(B) \times P_{B}(S) = 0,38\times 0,95 = 0,361$. \item D'après la formule des probabilités totales: $P(S) = P\left (B \cap S \right ) + P\left (\overline B \cap S \right ) = 0,361 + 0,62\times 0,45 = 0,64$. \item \begin{enumerate} \item La probabilité que le fruit choisi soit \og bio\fg{} sachant qu'il est sélectionné pour la fabrication des tartes est $P_{S}(B) = \dfrac{P(B \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0,361}{0,64}\approx 0,564$. \item Parmi les fruits sélectionnés, il y a une probabilité de $0,564$ que le fruit soit bio, ce qui fait une proportion de $\np[\%]{56,4}$, donc la probabilité est en accord avec la mention indiquée sur l'emballage des tartes \og au moins 50\,\% de fruits bio \fg{}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse à la masse en grammes des tartes fabriquées. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tarte prélevée au hasard dans la chaîne de fabrication, associe sa masse exprimée en grammes. On admet que $X$ est distribué suivant la loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans un premier temps, l'entreprise ne commercialise que les tartes dont la masse est comprise entre $496$ et $504$ grammes. \begin{enumerate} \item On admet que $P(X \leqslant 496) = 0,159$. L'aire correspondant à cette probabilité est hachurée sur le graphique donné en annexe B. \item $P(496 \leqslant X \leqslant 504) = P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,683$. Le pourcentage de tartes conformes est donc de $68,3$. % , et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item L'entreprise se rend compte qu'elle rejette trop de tartes. Elle décide d'assouplir ses règles de commercialisation et accepte à présent les tartes dont la masse est comprise entre $492$ et $508$ grammes. La probabilité que la tarte soit commercialisée avec cette nouvelle règle est donc $P(492 \leqslant X \leqslant 508) = P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans la chaîne de production fonctionnant normalement, 6\,\% des tartes ne sont pas commercialisées. Le responsable de la chaîne souhaite savoir s'il est nécessaire de procéder à un réglage de cette dernière. Pour cela, il prélève au hasard 230 tartes. La production est suffisamment importante pour que le choix des 230 tartes puisse être assimilé à un prélèvement avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item% Justifier que l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de tartes non commercialisées obtenue sur un échantillon de taille $230$ est $[0,029~;~0,091]$. On fait l'hypothèse que 6\,\% des tartes ne sont pas commercialisées, ce qui fait une proportion de $p=0,06$. On va tester cette hypothèse sur un intervalle de taille $n=230$ au moyen d'un intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$. C'est légitime car $n=230 \geqslant30$, $np=13,8 \geqslant 5$ et $n\left (1-p\right ) = 216,2 \geqslant 5$. $I_{230} = \left [ p-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\,;\,p+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\right ]\\[5pt] \phantom{I_{230}} = \left [ 0,06-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{230}}\,; \,0,06+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{230}}\right ] \approx \left [ 0,029\,;\,0,091\strut\right ]$ \item Sur l'échantillon de $230$ tartes prélevées, $16$ tartes ne sont pas commercialisées ce qui fait une fréquence dans l'échantillon de $f=\dfrac{16}{230} \approx 0,070$. Cette fréquence dans l'échantillon appartient à l'intervalle $I_{230}$ donc il n'y a pas lieu d'envisager un réglage de la machine, au risque de 5\,\% de se tromper. %Le responsable doit-il envisager un réglage de la chaîne de production ? \end{enumerate} %\vspace{0,25cm} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip Dans un département, on a recensé les élèves de bac STAV (filles et garçons) suivant quatre options. \begin{itemize} \item Option AE (Aménagement et Environnement) \item Option T (Transformation) \item Option STE (Sciences et technologies des équipements) \item Option SMR (Services en milieu rural) \end{itemize} Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves en fonction de l'option choisie : \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering\arraybackslash \small}X|}}\hline \diagbox [width=3cm]{Sexe}{Option}&AE &T& STE& SMR&Total\\\hline %,trim=l Fille &39& 17& 34 &54& 144\\\hline Garçon &42& 28& 45& 10& 125\\\hline Total& 81& 45& 79& 64& 269\\\hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item %Dans le tableau donné en \textbf{annexe B}, expliquer comment on a obtenu la valeur 0,57. Dans le tableau, pour le profil STE, il y a 45 garçons pour 79 élèves, ce qui fait $\dfrac{45}{79}\approx 0,57$. \item On complète le tableau donné en \textbf{annexe B}. Pour AE: $\dfrac{39}{81}\approx 0,48$ et $\dfrac{42}{81}\approx 0,52$. Pour SMR: $\dfrac{54}{64}\approx 0,84$ et $\dfrac{10}{64}\approx 0,16$. \item %Exploiter les résultats obtenus pour déterminer s'il y a dépendance ou indépendance entre l'option choisie et le sexe des élèves. Justifier. Il y aurait indépendance entre l'option choisie et le sexe des élèves s'il y avait la même proportion de filles (ou de garçons) dans chaque option. Pour T il y a 38\,\% de filles et pour STE, il y en a 43\,\%. Donc il y a dépendance entre l'option choisie et le sexe des élèves. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} %\medskip % %\textbf{ VRAI ou FAUX} % %Dans cet exercice, les questions sont indépendantes. % %Pour chacune des affirmations, préciser si elles sont vraies ou fausses. Justifier la réponse. % %Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de %point. % %\medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $( u_n )$ définie par $u_0 = 10$ et pour tout $n$, $u_{n +1} =0,9 u_n$. Ci-dessous un même algorithme est programmé à l'aide de deux calculatrices différentes : \begin{tabular}[]{|l|m{3cm}|l|} \multicolumn{1}{l}{Calculatrice 1}&\multicolumn{1}{l}{} &\multicolumn{1}{l}{Calculatrice 2}\\ \cline{1-1} \cline{3-3} PROGRAM: ALGO&&=====ALGO\\ :$10\rightarrow U$&&$10\rightarrow U$:$0\rightarrow N $\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\ :$0\rightarrow N$&& While $U>5$ \rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\ :While $U>5$&&$0.9U\rightarrow U$\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\ :$0.9*U\rightarrow U$&&$N+1\rightarrow N$\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\ :$N+1\rightarrow N$&&WhileEnd\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\ :End&&$N$\\ :Disp $N$&&\\ \cline{1-1} \cline{3-3} \end{tabular} \smallskip (N est la valeur affichée lorsque le programme a été exécuté.) On lance le programme de la calculatrice une fois. $N$ est alors affiché. \smallskip \textbf{Affirmation 1 }: Pour cette valeur de $N$, $u_N >5$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Dans l'algorithme, la boucle tourne tant que $u_n>5$ donc on sort dès que $u_n \leqslant 5$. \textbf{Affirmation 1 fausse.} \end{tabular} \item On note $\mathcal C_f$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère \Oij \textbf{Affirmation 2 }: L'équation de la tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse 1 est : $y = x -1$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)\left (x-a\right ) + f(a)$. $f(x)=\ln(x)$ donc $f(1) = \ln(1)=0$, et $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=1$. L'équation est donc $y=1\left (x-1\right ) + 0$ soit $y=x-1$. \textbf{Affirmation 2 vraie.} \end{tabular} \medskip \item Une urne contient 13 boules noires et 7 boules blanches. On procède à un tirage avec remise de 5 boules. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches extraites lors de ces 5 tirages. \textbf{Affirmation 3 }: $P(X = 3) < P(X = 4)$ \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Sur 20 boules, il y en a 7 blanches, donc, lors d'un tirage d'une boule, la probabilité d'obtenir une boule blanche est $p=\dfrac{7}{20}=0,35$. On procède à un tirage avec remise de 5 boules donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de boules blanches extraites lors de ces 5 tirages suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,35$. Pour $k$ entier entre 0 et 5, $P(X=k) = \ds\binom{5}{k} p^k \left (1-p\right )^{n-k}$ donc: $P(X=3) = \ds\binom{5}{3} \times 0,35^3 \times 0,65^{2} \approx 0,18$ et $P(X=4) = \ds\binom{5}{4} \times 0,35^4 \times 0,65^{1} \approx 0,05$ \smallskip \textbf{Affirmation 3 fausse.} \end{tabular} \end{enumerate} \newpage \textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \vspace{1.25cm} \begin{center} Courbe représentative de la fonction $f$ \end{center} \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true} \begin{pspicture}(0,00)(47,5) \multido{\n=0+1}{48}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.7)} \multido{\n=0+0.1}{48}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(47.0,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Dy=0.5]{->}(0,0)(47,4.8) \def\Func{2.71828 x 0.06 neg mul exp 4.5 neg mul 4.56 add} %\def\Func{x 0.06 mul neg 2.71828 exp 4.5 neg mul 4.56 add} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{47}{\Func} \uput[u](42,0){ Nombre de semaines} \uput[d](45,4.2){\blue $\displaystyle \mathcal C_f$} \uput[ur](0,4.5){masse du lapin en kg} \psset{linecolor=red} \psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowsize=3pt 2](10,0)(10,2.1)(0,2.1) \psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowsize=3pt 2](0,3.2)(19.9,3.2)(19.9,0) \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2 :} \bigskip \scalebox{0.8}{ \psset{xunit=0.75cm,yunit=49.5cm,labelFontSize=\small,comma=true} \begin{pspicture}(-10.5,-0.002)(13,0.13) \multido{\n=-10+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.12)} \multido{\n=0+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-11,\n)(12.5,\n)} \uput[d](0,-0.005){$\small 500$} \psaxes[linewidth=0.95pt,Ox=500,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-11,-0.005)(12.3,0.13) \def\inf{-11} \def\sup{-4} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psGauss[mue=0,sigma=4]{\inf}{\sup} \psplot{\sup}{\inf}{0} \closepath % indispensable ! } \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=0,sigma=4]{-11}{12} \end{pspicture} }% fin du scalebox \vspace{3cm} EXERCICE 3 : \vspace{1cm} \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|}}\hline \diagbox[height=4\line]{Sexe}{Option}& Profil\newline colonne\newline AE & Profil\newline colonne\newline T & Profil\newline colonne\newline STE & Profil\newline colonne\newline SMR & Profil\newline colonne\newline marginal\\ \hline Fille&\textcolor{blue}{0,48} &0,38& 0,43& \textcolor{blue}{0,84}&0,54\\\hline Garçon&\textcolor{blue}{0,52} &0,62& 0,57& \textcolor{blue}{0,16}&0,46\\\hline Total& 1& 1 &1& 1& 1\\\hline \end{tabular} \end{center} %\begin{center} %\begin{tabular}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}p{1.5cm}|}}\hline %\diagbox[height=4\line]{Sexe\\~}{~\\Option}& \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\AE} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\T}& \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\STE} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\SMR} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\marginal}\\ %\hline %Fille& &0,38& 0,43& &0,54\\\hline %Garçon& &0,62& 0,57& &0,46\\\hline %Total& 1& 1 &1& 1& 1\\\hline %\end{tabular} %\end{center} \end{document}