\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit du sujet: Sandra Forner-Fedossof %Corrigé : Jean-Claude Souque %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}}% recommendation pour l'espérance \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.5cm, bottom=2.8cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STAV}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - novembre 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small S. T. A. V.} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie\hspace{1em}correction}} \rfoot{\small{Novembre 2018}} \addtolength{\headheight}{\baselineskip} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STAV Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt] novembre 2018}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisée. \smallskip L'annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Sur un champ d'expérimentation, des techniciens étudient la croissance de plants de maïs semés en avril. Ils effectuent des relevés de la hauteur de ces plants à partir du 1\up{er} mai. Les hauteurs moyennes obtenues, au centième près, sont présentées dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}c|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &1\up{er} mai &1\up{er} juin &1\up{er} juillet &1\up{er} août &\small 1\up{er} sept.\\ \hline Hauteur (en mètres) &0,49&& 2,57& 3,08& 3,22\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On admet que la modélisation de la hauteur moyenne, exprimée en mètres, d'un plant de maïs en fonction du temps, est donnée par la fonction $h$ définie sur [0~;~130] par : \[h(t) = \dfrac{3,26}{1 + 5,7\e^{-0,05t}}\] où $t$ est le temps exprimé en jours à partir du premier relevé, $t = 0$, le 1\ier{} mai. On rappelle que les mois de juin et septembre comportent 30 jours, mai, juillet et août en comportent 31. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons, au centième près, la hauteur moyenne d'un plant de maïs le 1\up{er} juin. Le 1\up{er} juin, $t= 31$. Calculons alors $h(31)$ : $h(31)=\dfrac{\np{3.26}}{1+\np{5.7}\e^{-\np{0.05}\times 31}}\approx \np{1.48}$. \item En utilisant un logiciel de calcul formel, on obtient pour la dérivée, de $h$ : \[h'(t) = \dfrac{\np{0,9291}\text{e}^{ -0,05t}}{\left(1 + 5,7\text{e}^{-0,05t}\right)^2}.\] \begin{enumerate} \item Pour tout $t\in [0~;~130],\ h'(t)>0$ comme quotient de réels strictement positifs. Par conséquent, la fonction $h$ est croissante sur [0~;~130]. \item Bien sûr, nous pouvions nous attendre à ce résultat, au vu de ce que modélise la fonction $h$, puisque il s'agit de la croissance de plants de maïs.%Justifier. \end{enumerate} \item Déterminons, par le calcul, le nombre minimal de jours nécessaires pour que la hauteur d'un plant de maïs soit supérieure à $2$ mètres. Pour ce faire, résolvons $h(t)\geqslant 2$. \smallskip $\dfrac{\np{3.26}}{1+\np{5.7}\e^{-\np{0.05} t}}\geqslant 2 \iff \np{3.26}\geqslant 2 \left(1+\np{5.7}\e^{-\np{0.05}t}\right) \iff \np{1.26} \geqslant\np{11.4}\e^{-\np{0.05}t} \iff $ $\e^{-\np{0.05} t}\leqslant\dfrac{\np{1.26}}{\np{11.4}} %\phantom{\dfrac{\np{3.26}}{1+\np{5.7}\e^{-\np{0.05} t}}\leqslant 2} \iff -\np{0.05}t\leqslant \ln\left(\dfrac{\np{1.26}}{\np{11.4}}\right) \iff \np{0.05}t\geqslant -\ln\left(\dfrac{\np{1.26}}{\np{11.4}}\right) \iff t\geqslant \dfrac{-\ln\left(\dfrac{\np{1.26}}{\np{11.4}}\right)}{\np{0.05}}$ \smallskip Or $\dfrac{-\ln\left(\dfrac{\np{1.26}}{\np{11.4}}\right)}{\np{0.05}\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\approx \np{44.05}$, donc le nombre minimal de jours pour que le plant de maïs atteigne et dépasse les deux mètres est 45. %Expliquer votre démarche. %Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative sera prise en compte dans l'évaluation. %On pourra déterminer au choix la solution par le calcul, ou en utilisant la calculatrice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le blé tendre est la première céréale produite en France. Lorsqu'il est d'assez bonne qualité pour être destiné à la fabrication du pain, il est dit \og panifiable~\fg. En France, 58\,\% de la production de blé tendre est panifiable. Ses autres utilisations sont pour l'alimentation animale, mais aussi pour des productions industrielles (le papier, les cosmétiques, les produits pharmaceutiques, la production de bioéthanol). Un étudiant en stage s'intéresse aux remorques de blé tendre livrées dans une coopérative. \begin{center} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip On admet que la proportion $p$ de remorques remplies de blé panifiable attendues pour une coopérative est $0,58$. L'étudiant choisit au hasard $40$ remorques remplies. On considère que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise. Il constate que parmi ces remorques, $19$ contiennent du blé panifiable. \textbf{On rappelle que} : \emph{L'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est} : \[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de remorques de blé panifiable sur un échantillon de taille $40$ (les bornes seront arrondies à $10^{-2}$ près). $p=0,58$ et $n=40$ donc: \[I=\left[\np{0.58} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.58}(1 - \np{0.58})}{40}}~;~\np{0.58} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.58}(1 - \np{0.58})}{40}}\right]\approx \left[\np{0.43}~;~\np{0.73}\strut\right].\] \item La fréquence observée est $f_{40} = \dfrac{19}{40}=\np{0.475}$; $f_{40}\in I$ donc la proportion de $0,58$ de remorques de blé panifiable de cette coopérative ne peut pas être remise en cause au vu de cet échantillon (au seuil de $95\,\%$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On considère que chaque remorque a la probabilité 0,58 de contenir du blé panifiable. L'étudiant choisit au hasard 40 remorques. On considère que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise de 40 remorques. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de remorques contenant du blé panifiable parmi les 40. \medskip \begin{enumerate} \item Justifions que $X$ est distribuée suivant la loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p = 0,58$. $X$ est distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p= \np{0.58}$ puisque il y a répétition de 40 tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit le contenu de la remorque contient du blé panifiable avec une probabilité $p=0,58$ soit le contenu de la remorque ne contient pas du blé panifiable de probabilité $q=1-p=0,42$. Par conséquent, $p(X=k)=\ds\binom{40}{k}(\np{0.58})^k(\np{0.42})^{40-k}$. \item Déterminons la probabilité (les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près) des évènements suivants: \begin{enumerate} \item Exactement $19$ remorques contiennent du blé panifiable. Calculons $p(X=19)$. $p(X=19)=\ds\binom{40}{19}(\np{0.58})^{19}(\np{0.42})^{40-19}\approx \np{0.05}$. \item Au plus $19$ remorques contiennent du blé panifiable. Calculons $p(X\leqslant 19)$. $\displaystyle p(X\leqslant 19)=\sum_{k=0}^{k=19}p(X=k)$. À l'aide d'une calculatrice, nous trouvons $p(X\leqslant 19) \approx \np{0.12}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminons l'espérance de la variable aléatoire $X$. $\E(X)=np=40\times \np{0.58}=\np{23.2}$. \item Quelle interprétation l'étudiant peut-il donner à cette espérance? L'étudiant peut considérer que c'est le nombre moyen de remorques contenant du pain panifiable qu'il pourra trouver dans une série de 40 remorques. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}. \emph{Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.} \textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip On estime qu'en Nouvelle-Calédonie, la production de fruits et légumes augmente de 5\,\% par an. En 2014, la production était de \np{16714} tonnes sur plus de \np{1100} hectares. \medskip \begin{enumerate} \item Calculons la production, arrondie à la tonne, de fruits et légumes en 2015. À une augmentation de 5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.05}. En 2015, la production sera alors $\np{16714} \times \np{1.05}=\np{17550}$ arrondie à la tonne. \item Soit $n$ un nombre entier naturel. On note $u_n$ la production de fruits et légumes en Nouvelle-Calédonie pendant l'année $2014 + n$. Ainsi, $u_0 = \np{16714}$. \begin{enumerate} \item $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$ puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par le même nombre, le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 5\,\%. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est : $u_n=u_0\times (q)^n$. $u_n=\np{16714}\times (\np{1.05})^n$. \item Donnons une estimation, arrondie à la tonne, de la production en 2018. En 2018 ,$n=4$ d'où $u_4=\np{16714}\times (\np{1.05})^4\approx \np{20316}$. \end{enumerate} \item L'algorithme \textbf{en annexe A (à rendre avec la copie)} permet de déterminer l'année à partir de laquelle la production de fruits et légumes en Nouvelle-Calédonie aura doublé par rapport à 2014. \begin{enumerate} \item L'algorithme est complété sur l'\textbf{annexe A (à rendre avec la copie)} . \item Déterminons, par la méthode de notre choix, l'année à partir de laquelle la production aura doublé par rapport à 2014.% Expliquer votre démarche. Pour ce faire, résolvons $u_n=2u_0$ c'est-à-dire $u_0(\np{1.05})^n=2 u_0$ soit $(\np{1.05})^n=2$ $\np{1.05}^n=2 \iff \ln\np{1.05}^n=\ln 2\iff n\ln \np{1.05}=\ln 2 \iff n=\dfrac{\ln 2}{\ln \np{1.05}}$ Or $\dfrac{\ln 2}{\ln \np{1.05}\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\approx \np{14.21}$ donc l'année à partir de laquelle la production aura doublé par rapport à 2014 est $2014+15=2029$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \end{center} \textbf{EXERCICE 3} \medskip Cochons, pour chaque question posée, la réponse qui convient. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire distribuée suivant la loi normale de paramètres \textmu = 40 et \textsigma = 6. $P(X < 28)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\Box~~0,05$&$\Box~~ 0,95$&$\Box~~P(X < 52)$&$\Box~~P(X > 52)$\hspace{-19.35mm}\ding{52}\\ \end{tabularx} \medskip \item Le plus petit entier $n$ possible tel que : $2,08^n \geqslant 500$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\Box~~6$&$\Box~~7$&$\Box~~8$&$\Box~~9$\hspace{-5.85mm}\ding{52} \end{tabularx} \medskip \item $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants d'une même expérience aléatoire. On a $P(A) = 0,6$ et $P(A \cap B) = 0,3$. Alors, la valeur de $P(B)$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\Box~~~$\parbox{2.5cm}{impossible \\à déterminer} &$\Box~~0,3$&$\Box~~0,5$\hspace{-8.85mm}\ding{52}&$\Box~~0,9$ \end{tabularx} \medskip \item On considère l'algorithme ci-dessous: \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline Saisir $x$\\ Si $x > 0$\\ Alors $x$ prend la valeur $\ln (x)$\\ Sinon $x$ prend la valeur $2 - x$\\ Fin Si\\ Afficher $x$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} En exécutant cet algorithme, le résultat affiché est $1$. Quel nombre $x$ a été saisi initialement par l'utilisateur ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\Box~~0$&$\Box~~1$&$\Box~~$\e\hspace{-6.85mm}\ding{52}& $\Box~~3$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{EXERCICE 4} \medskip Question 3 \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline $u$ prend pour valeur \np{16714}\\ $n$ prend pour valeur $0$\\ Tant que $u < \np{33428}$.($=2\times \np{16714}$)\\ \hspace{1.5cm}$n$ prend la valeur $n+ 1$\\ \hspace{1.5cm}$u$ prend la valeur $u\times \np{1.05}$\\ Fin tant que\\ Afficher $2014 + n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}