\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} %\usepackage{slashbox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Original aimablement fourni par Françoise Poirier %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : J. C. Souque \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \def\e{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small S. T. A. V.} \lfoot{\small{Corrigé du baccalauréat Métropole--Antilles--Guyane--\\La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STAV~\decofourright\\[5pt]Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion juin 2013 }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize Une enquête est réalisée auprès de touristes étrangers ayant séjourné dans une région française sur leur consommation de produits du terroir. Les résultats sont les suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 89\,\% des touristes ont consommé des produits du terroir pendant leur séjour en France et, parmi ceux-ci, 90\,\% en ont acheté pour ramener dans leur pays ; \item[$\bullet~$] 25\,\% des touristes qui n'en n'ont pas consommé pendant leur séjour, en ont malgré tout acheté pour ramener dans leur pays. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On interroge au hasard un de ces touristes. On désigne par : $C$ l'événement: \og Le touriste a consommé des produits du terroir pendant son séjour en France\fg ; $R$ l'événement : \og Le touriste a acheté des produits du terroir pour ramener dans son pays \fg. } \bigskip \begin{enumerate} \item \begin{description} \item[] $p(C)=\np{0.89}$ car 89\,\% des touristes ont consommé des produits du terroir pendant leur séjour. \item[]$p_{C}(R)=\np{0.9}$ car parmi ceux-ci, 90\,\% en ont acheté pour ramener dans leur pays. \item $p\left(\overline{C} \cap R\right)= \np{0.25}$ car 25\,\% des touristes en ont malgré tout acheté pour ramener dans leur pays. \end{description} \item Construisons un arbre de probabilités décrivant cette situation en précisant les valeurs des probabilités sur chaque branche. \begin{center} \psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{C}\taput{\np{0.89}}} {\TR{R}\taput{\np{0.9}} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.1}} } \pstree{\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.11}}} {\TR{R}\taput{\np{0.25}} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.75}} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculons $p(C \cap R)$ et $p\left(\overline{C} \cap R\right)$. \begin{description} \item[] $p(C \cap R)=p(C)\times p_{C}(R)=\np{0.89}\times \np{0.9}=\np{0.801}$. \item[] $p\left(\overline{C} \cap R\right)=p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(R)=\np{0.11}\times \np{0.25}=\np{0.0275}$. \end{description} \item La probabilité que le touriste ramène des produits du terroir dans son pays est $p(R)$. $ p(R)= p(C \cap R)+p\left(\overline{C} \cap R\right)=\np{0.801}+\np{0.0275}=\np{0.8285}$. \end{enumerate} \item Les événements $R$ et $C$ sont indépendants si $ p(C \cap R)=p(C)\times p(R)$. $ p(C \cap R)= \np{0.89}\quad p(C)\times p(R)= \np{0.89}\times \np{0.8285}=\np{0.737}$. Les événements ne sont pas indépendants \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 QCM\hfill 4 points} \medskip {\footnotesize %Compléter le QCM donné en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie). Pour chaque question, une et une seule des trois réponses proposées est exacte. Cocher la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point.\\ L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point.\\ Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.} \medskip Une urne contient $30$~boules rouges et $20$~boules vertes indiscernables au toucher. On prélève successivement et avec remise $4$~boules de cette urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes obtenues après les quatre tirages. } \bigskip \begin{enumerate} \item X suit une loi binomiale de paramètres : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} \hspace{-3.5mm}\ding{52}$n=4$ et $p=\dfrac{2}{5}$& $n=4$ et $p=\dfrac{3}{5}$&$n=50$ et p=$\dfrac{2}{5}$\\ \end{tabularx} {\footnotesize répétition de 4 épreuves et la probabilité d'obtenir une boule verte est $\frac{20}{50}$}. \medskip \item La probabilité $P(\text{X}=2)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2$& $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\ \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$6 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$\\ \end{tabularx} {\footnotesize $p(\text{X}=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{4-2}$} \medskip \item La probabilité $P(\text{X}\leqslant 1)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} \np{0.1296}& \np{0.3456}&\hspace{-3.5mm}\ding{52}\np{0.4752}\\ \end{tabularx} {\footnotesize $p(\text{X}=0)=\np{0.1296}\quad p(\text{X}=1)=\np{0.3456}\quad p(\text{X}\leqslant 1)=p(\text{X}=0)+p(\text{X}=1)$}. \medskip \item L'espérance de la variable aléatoire X est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} \hspace{-3.5mm}\ding{52}\np{1.6}& \np{4.4}&80\\ \end{tabularx} {\footnotesize E(X)=$np$ or $np=4\times \frac{2}{5}=\np{1.6}$.} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 11 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (1 - x)\text{e}^x.$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. \bigskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminons la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(1-x)\times \lim_{x \to +\infty}(\e^x)=-\infty \times +\infty=-\infty$ \item Puisque $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$, nous pouvons donc affirmer que la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses sont asymptotes lorsque $x$ tend vers $- \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x, \ f'(x)=-1\e^x+(1-x)\e^x=-x\e^x$. \item Pour tout réel $x,\ \e^x >0$ par conséquent $f'(x)$ est du signe de $- x$ pour tout réel $x$. Il en résulte que pour tout réel $x\in \R_{-}^{*},\ f'(x)>0$ et pour tout réel $x\in \R_+^{*},\ f'(x)>0$. \item \'Etudions la variation de $f$. Si pour tout $x\in I, \ f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour $x\in ]-\infty~;~0[,\ f'(x)>0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. Pour $x \in]0~;~+\infty[,\ f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Dressons le tableau de variation de $f$ sur $\R$. \begin{center}\scalebox{0.7}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](4.5,2.45) {$0$} \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$} \uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$} \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[dr](7.32,0.45){$-\infty$} \psline{->}(1.75,0.5)(4,1.55)\psline{->}(5,1.55)(7.3,0.5) \uput[u](4.5,1.5){$1$} \end{pspicture} } \end{center} \end{enumerate} \item Résolvons dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$ c'est-à-dire $(1-x)\e^x=0$. Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit. Or nous savons que pour tout $x\in\R, \ \e^x>0$, par conséquent cela revient à résoudre $1-x=0$ d'où $x=1$. L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\{1\}$. Les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses sont alors (1~;~0). \item \begin{enumerate} \item Complétons le tableau de valeurs donné ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$- 2$ &$- 1,5$&$- 1$ &$- 0,5$ &$0$&$0,5$ &$1$&$1,25$\\ \hline $f(x)$ &\np{0.4} &\np{0.6} &\np{0.7} & \np{0.9} &\np{1} & \np{0.8} &0 &$-\np{0.9}$\\ \hline \end{tabularx} \emph {\small Les résultats sont arrondis au dixième près}. \medskip \item La courbe $\mathcal{C}$ a été tracée ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traçons la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 1$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$. \item Résolvons dans $\R$, l'équation : $f(x) = - x + 1$. $(1-x)\e^{x}=-x+1 \iff (1-x)\e^{x}-(1-x)=0 \iff (1-x)(\e^x-1)=0$ Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit. d'où $1-x=0$ ou $\e^x-1=0$. Il en résulte $x=1$ ou $x=0$ Les solutions de l'équation $f(x)=-x+1$ sont $0$ ou $1$. \end{enumerate} \item Soit la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (2 - x)\text{e}^x$. \begin{enumerate} \item La fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si pour tout $x, \ F'(x)=f(x)$. \[F'(x)=-1\e^x+(2-x)\e^x=-\e^x+2\e^x-x\e^x=\e^x-x\e^x=(1-x)\e^x=f(x).\] $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$. \item $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x=\left[F(x)\right]_0^1=F(1)-F(0)=(2-1)\e^1-(2-0)\e^0=\e-2$. \item Pour tout $x\in[0~;~1],\ f>0$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est, en unités d'aire, $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\mathrm{d}x$. L'unité d'aire vaut 16\,cm$^2$. $\mathcal{A}=16 (\e^{1}-2)\approx \np{11.4925}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine vaut au mm$^2$ près \np[cm^2]{11.49}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{2cm} \psset{xunit=4cm, yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-2.5,-1)(1.5,1) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-2.1,-1.1)(1.45,1.15) \multido{\n=-2.1+0.1}{36}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-1.1)(\n,1.1)} \multido{\n=-1.1+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](-2.1,\n)(1.4,\n)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{-2.1}{1.25}{2.72818 x exp 1 x sub mul} \psplot[linecolor=red,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{-0.1}{1.4}{1 x sub } \uput[r](0,1.1){$y$}\uput[d](1.4,0){$x$}\uput[ur](1.25,-0.9){$\mathcal{C}$}\uput [l](1.4,-0.2){$\Delta$} \pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{ \psline(0,0)(0,1) \psplot[plotpoints=8000,linecolor=cyan, linewidth=0.75pt]{0}{1}{2.71828 x exp 1 x sub mul} %\psline(1,3)(1,0) } \rput(0.25,0.5){\Large \textcolor {cyan}{$\mathcal{A}$}} \end{pspicture} \end{document}