\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox,multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %source : Chlorofil %Tapuscrit : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\setlength{\textheight}{23,5cm} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2.7cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STAV}, pdftitle = {STAV Nouvelle-Calédonie novembre 2015 corrigé}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[np]{numprint} \def\e{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small S. T. A. V.} \lfoot{\small{ Nouvelle-Calédonie\hspace{1em}corrigé}} \rfoot{\small{novembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Nouvelle-Calédonie novembre 2015 corrigé}} \end{center} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisée. \smallskip \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Pour équiper une de ses serres en système d’arrosage \og goutte à goutte\fg, une personne prend des renseignements concernant des goutteurs auprès d’un fournisseur de matériel de jardinage. \emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.} \emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près si nécessaire.} \medskip \textbf{Partie \no 1 :} \medskip On appelle $X$ la variable aléatoire égale au débit, en litre par heure, d’un goutteur. On admet que $X$ est distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu= 2$ et d’écart type $\sigma= 0,3$. \begin{enumerate} \item Déterminons la probabilité que le débit en $\text{L.h}^{-1}$ d’un goutteur pris au hasard soit compris entre 1,4 et 2,6. À l'aide de la calculatrice $p( \np{1.4} \leqslant X \leqslant \np{1.6})\approx \np{0.954}$. \emph{remarque : \footnotesize Nous savons que dans le cas d'une distribution normale $p(\overline{x}-2\sigma\leqslant X\leqslant\overline{x}+2\sigma)\approx \np{0.95}$.} La probabilité que le débit en $\text{L.h}^{-1}$ d’un goutteur pris au hasard soit compris entre 1,4 et 2,6 est d'environ \np{0.954}. \item Un goutteur est dit défectueux si son débit est inférieur à 1,4 $\text{L.h}^{-1}$. Déterminons la probabilité qu’un goutteur pris au hasard soit défectueux, déterminons $p(X<\np{1.4})$. À l'aide de la calculatrice, $p(X<\np{1.4})\approx \np{0.023}$. \emph{remarque : \footnotesize À partir de la considération de la symétrie de la courbe nous pouvons écrire que\\ $p(X<\np{1.4})=p(X>\np{2.6})=\dfrac{1-p(\np{1.4}\leqslant X\leqslant \np{2.6})}{2}=\dfrac{1-\np{0.954}}{2}=\np{0.023}$.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie \no 2 :} \medskip La personne décide d’acheter 50 goutteurs. On suppose le stock du fournisseur suffisamment important pour que le choix puisse être assimilé à un tirage successif avec remise. On admet que la probabilité qu’un goutteur soit défectueux est égale à 0,023. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de goutteurs défectueux parmi les 50. \begin{enumerate} \item La loi de probabilité de $Y$ est binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,023$ puisque il y a répétition de 50 tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit le goutteur est défectueux de probabilité $p=0,023$ soit il n'est pas défectueux de probabilité $q=1-p=0,977$. Par conséquent, $p(X=k)=\dbinom{50}{k}(\np{0.023})^k(\np{0.977})^{50-k}$. \item Calculons la probabilité qu’aucun goutteur ne soit défectueux. $p(Y=0) = \np{0.977}^{50}\approx \np{0.312}$. \item Calculons la probabilité qu’au moins 2 goutteurs soient défectueux. $p(Y\geqslant 2)=1- \left(p(Y = 0) + p(Y = 1)\right) = 1 - \np{0.312} - \np{0.368} = \np{0.320}$. La probabilité qu'au moins deux goutteurs soient défectueux est d'environ \np{0.320}. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ ; \begin{center} \psset{xunit=1.7cm,yunit=1.8cm} \begin{pspicture}(-6.8,-3)(2.6,4) \multido{\n=-6+1}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](\n,-2.5)(\n,3.5)} \multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](-6.5,\n)(2.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6.5,-2.5)(2.5,3.5) \psbezier[linecolor=blue](-6.5,1.92)(-5,1.8)(-4,1.6)(-2.5,1.5) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,2)(-0.5,2.4)(0,3) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,3)(0.5,3.3)(0.72,3.15) \psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.72,3.15)(1.15,2.2)(1.26,-1)(1.5,-2.5) \uput[u](-2.5,1.5){A}\uput[u](0.5,3.3){B}\uput[u](-6.2,2){\blue $\mathcal{C}$} \psdots[dotstyle=*](-2.5,1.5)(0.5,3.3) \psline[linewidth=1pt](-4,1.5)(-1,1.5)\psline[linewidth=1pt](-1,3.3)(2,3.3) \uput[dr](-4,1.5){$\mathcal{T}$}\uput[dr](-1,3.3){$\mathcal{D}$} %\pscustom[linewidth=1pt,fillstyle=hlines]{ %\psline(-2,0)(-2,1.57)\pscurve(-2,1.58)(-1.5,1.73)(-1,2)(-0.5,2.4)(0,3)\psline(0,3)(0,0) %} \pscustom[linewidth=1pt,fillstyle=hlines]{ \pscurve(-2,1.58)(-1.5,1.71)(-1,2)(-0.5,2.4)(0,3) \psline(0,0)(-2,0)(-2,1.58) } \rput (-1,1){\color{red}{\huge $\mathcal{A}$}} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,1.5)(-2,1.58)(-1.5,1.71)(-1,2) \end{pspicture} \end{center} La droite $\mathcal{T}$ est tangente à ($\mathcal{C}$) au point A. La droite $\mathcal{D}$ est tangente à ($\mathcal{C}$) au point B. Les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$ sont parallèles à l’axe des abscisses. La droite d’équation $y = 2$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $-\infty$. Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}. Justifier vos réponses. Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point. Une réponse inexacte n’enlève pas de point. \vspace{0.25cm} \begin{description} \item[Proposition 1 :] L’ensemble des solutions de l’inéquation $f (x) > 2$ est $[-1~;~0]$. La proposition est \textbf{fausse} car $f(-1)=2$ par conséquent $-1$ ne doit pas faire partie de l'ensemble solution. \item[Proposition 2 :] L’équation $f'(x)=0$ admet une seule solution sur $\R$. La proposition est \textbf{fausse} car la tangente en A et celle en B sont parallèles à l'axe des abscisses par conséquent aux abscisses de ces points le nombre dérivé est nul. L'équation \og $f'(x) = 0$\fg{} admet au moins deux solutions sur $\R$. \item[Proposition 3 :] $\displaystyle \int_{-2}^0 f(x )\mathrm{d}x \geqslant 3$. La proposition est \textbf{vraie} car $f$ étant positive sur [-2~;~0], l'intégrale peut s'interpréter comme l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=0$. Cette aire a plus de trois unités d'aire ou plus de trois carreaux. \item[Proposition 4 :] $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} f(x) = 2 $. La proposition est \textbf{vraie} car, par hypothèse, la droite d’équation $y = 2$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $-\infty$. \end{description} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip Lors de la première insémination artificielle, on considère que la proportion de vaches fécondées est de 65\,\%. Dans une exploitation, sur un échantillon de 120 vaches, 72 ont été fécondées dès la première insémination. On suppose la population assez grande pour assimiler cet échantillon à un tirage effectué avec remise. \bigskip \textbf{On rappelle que :} Pour une proportion connue $p$ dans une population, l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est \[\Bigg[p-1,96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigg] .\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminons l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence des vaches fécondées pour un échantillon de taille 120.%, les bornes étant arrondies à $10^{-3}$ près. $n=120>30,\quad np=120\times \np{0.65}=78>5,\quad n(1-p)=120\times \np{0.35}=42>5$. \[\left[\np{0.65} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.65}(1 - \np{0.65})}{120}}~;~\np{0.65} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.65}(1 - \np{0.65})}{120}}\right] \approx \Bigg[\np{0.564}~;~\np{~0.736}\Bigg]\] {\footnotesize Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-3}$ près.} \item Le résultat de la fréquence observée sur l’échantillon de vaches fécondées n'est pas en contradiction avec la proportion théorique $p = 0,65$ annoncée puisque cette fréquence est $\frac{72}{120}$ soit $\np{0.6}$. Ce nombre appartient à l'intervalle de fluctuation. \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$ par : \[g(x) =\ln(2x + 3) - 3x +1.\] On note $(\mathcal{C}_g)$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item Calculons la valeur exacte de $g(3)$. $g(3)=\ln (2\times 3+3)-3\times 3+1=\ln9-8$ or $9=3^2$ par conséquent $\ln 9=2\ln 3$. Nous obtenons bien la valeur donnée $g(3)=2\ln 3- 8$. \item Déterminons la limite de $g$ en $-\dfrac{3}{2}$. \[\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}g(x)=-\infty.\] En effet $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}2x+3=0\quad \lim_{X\to 0}\ln X=-\infty $. Par conséquent $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}\ln 2x+3=-\infty$, d'autre part nous avons $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}(-3x+1)=-\dfrac{-9}{2}+1=\dfrac{11}{2} $. %et interpréter graphiquement ce résultat. La fonction n'étant pas définie en $-\frac{3}{2}$ et la limite étant infinie, alors la droite d'équation $x=-\frac{3}{2}$ est asymptote à la courbe représentative de $g$. \item Déterminons la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$ \[g'(x)=\dfrac{2}{2x + 3} - 3=\dfrac{2 - 3(2x + 3)}{2x + 3}=\dfrac{-6x - 7}{2x + 3}\] Par conséquent, pour tout $x$ appartenant $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$, $g'(x)=\dfrac{-6x-7}{2x+3}$. \item \begin{enumerate} \item Étudions le signe de $g'(x)$. Sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right],\ 2x+3>0$ par conséquent le signe de $g'(x)$ est celui de $-6x-7$. Sur $\R\, -6x-7>0 \iff x<-\dfrac{7}{6}$. Il en résulte : si $x\in \left]-\dfrac{3}{2}~;~-\dfrac{7}{6}\right[, \ g'(x) > 0$, si $x\in \left]-\dfrac{7}{6}~;~3\right],\ g'(x) < 0$. \item Dressons le tableau de variations de la fonction $g$. Étudions d'abord le sens de variation de $g$. Si pour tout $x\in I,\:f'(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~-\dfrac{7}{6}\right[ \ g'(x) > 0 $ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x \in I, \:f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $\left]-\dfrac{7}{6}~;~3\right],\ g'(x) < 0$ par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Construisons enfin le tableau de variation de $g$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){\scriptsize $-\frac{3}{2}$} \uput[u](4.5,2.45) {\scriptsize $-\frac{7}{6}$} \uput[u](7.73,2.45){$3$} \uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $g$} \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[d](7.32,0.45){\scriptsize $2\ln3-8$} \psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55) \uput[u](4.5,1.425){\scriptsize $\ln 2-\ln 3+\frac{9}{2}$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item %\emph{Pour cette question, toute trace de recherche ou d’initiative sera prise en compte.} Résolvons %par la méthode de votre choix (par le calcul ou à l’aide de la calculatrice) et en détaillant votre démarche l’équation $g(x)=-3x+1$: \begin{align*} \ln (2x+3)-3x+1&=-3x+1\\ \ln (2x+3) &=0\\ \ln (2x+3) &=\ln 1\\ 2x+3&=1\\ 2x&=-2 \\ x&=-1\\ \end{align*} L'ensemble des solutions de l'équation est $\left\lbrace -1 \rule{0pt}{12pt} \right\rbrace $. \vfill \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm} \def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-7} \def\ymax{5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] \uput[dl](0,0){$O$} \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale \uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$} \def\f{3 2 x mul add ln 3 x mul sub 1 add }% définition de la fonction \psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-1.499999}{3}{\f}% tracé de la courbe \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-1.5,\ymin)(-1.5,\ymax) \def\g{1 -3 x mul add} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{-2}{3}{\g} \uput[ur](1.5,-1.7){\blue $\mathcal C_g$} \uput{10pt}[d]{-56.31}(1,-2){\red $y=-3x+1$} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed,showpoints=true](-1,0)(-1,4) \uput*[d](-1,0){\red $-1$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \end{document}